课时分层作业(二) 数列中的递推
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．符合递推关系式an＝an－1的数列是( )
A．1,2,3,4，…
B．1,
，2,2，…
C.，2,
，2，…
D．0,
，2,2，…
B [由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的倍为后一项，所以只有B符合．]
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n(n∈N＋)，则a2＋a18等于( )
A．33
B．34
C．35
D．36
B [a2＝S2－S1＝(22－4)－(1－2)＝1，
a18＝S18－S17＝(182－36)－(172－34)＝33，
∴a2＋a18＝1＋33＝34，故选B.]
3．已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n≥2)，则a4等于( )
A.
B.
C．－
D.
C [由题知a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.]
4．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则an与an－1的关系为( )
A．an＝2an－1
B．an＝an－1
C．an＝－2an－1
D．an＝－an－1
A [∵Sn＝2an－2，∴当n＝1时，a1＝2a1－2，即a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，故选A.]
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )
A．2＋ln
n
B．2＋(n－1)ln
n
C．2＋nln
n
D．1＋n＋ln
n
A [an＋1－an＝ln＝ln，∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，…，a3－a2＝ln
，a2－a1＝ln
2.各式相加后得an＝ln＋ln＋…＋ln＋ln
2＋a1＝ln＋2＝ln
n＋2.]
二、填空题
6．已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5＝________.
31 [因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3，a3＝7，a4＝15，所以a5＝2a4＋1＝31.]
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n，则数列{an}的通项公式an＝________.
1 [当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝1.(
)
显然n＝1时满足(
)式，
∴an＝1.]
8．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系可以是________．
an＝2n＋1，n∈N＋ [a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，an＝2n＋1，n∈N＋.]
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和Sn分别是：
(1)Sn＝n2＋n＋1；
(2)Sn＝2n－1.求通项an.
[解] (1)当n＝1时，a1＝S1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.
∵a1不适合an，
∴an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝1.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.
∵a1适合an，
∴an＝2n－1.
10．已知各项均不为零的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N＋)，求数列{an}的通项公式．
[解] ∵anan－1＝an－1－an，且an≠0，
∴－＝1，
∴当n≥2时，
＝2＋
＝2＋n－1
＝n＋1.
∴an＝(n≥2)，
又n＝1时，a1＝满足上式，故an＝.
11．(多选题)已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则下列说法正确的有( )
A．a2＝－
B．a2＝
C．a2
021＝2
D．a2
021＝－2
AC [法一：由已知可得，a1＝2，a2＝－，a3＝2，a4＝－，∴{an}是周期为2的数列，则a2
021＝a1
010×2＋1＝a1＝2.
法二：a2＝－＝－，
∵an＝－(n≥2)，∴an＋2＝－＝an，∴{an}是周期为2的数列，则a2
021＝a1
010×2＋1＝a1＝2.]
12．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于( )
A．2n
B.
C．2n－1
D．2n－1
C [由an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，
得an－1＝a0＋a1＋…＋an－2(n≥2)，
两式相减得，an＝2an－1，
即＝2(n≥2)，
则an＝a1···…·＝a1·2n－1，
又a1＝a0＝1，∴an＝2n－1(n≥2)．
又∵a1＝1也适合，∴an＝2n－1.]
13．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，则an＝_______.
[由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×?＝.又∵a1＝，∴an＝.]
14．若数列{an}的前n项积为n2，那么n≥2时，an＝________.
[设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，
∴n≥2时，an＝＝.]
15．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)由S2＝a2，得(a1＋a2)＝a2，
又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
∴a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝an－an－1，
∴an＝an－1，即＝.
∴an＝··…···a1
＝··…···1
＝.
又a1＝1满足上式，
∴an＝.
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