课时分层作业(三) 等差数列的定义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( )
A．52
B．62
C．－52
D．－62
A [d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)×3＝52.]
2．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．6
B [法一：设{an}的首项为a1，公差为d，则有得所以a6＝a1＋5d＝0.
法二：因为a6－a4＝a4－a2，所以a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.]
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－91，它的项数是( )
A．92
B．47
C．46
D．45
B [a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－91＝－2n＋3，得n＝47.]
4．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列是( )
A．公差为1的等差数列
B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列
D．不是等差数列
B [由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列．]
5．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项
B．第8项
C．第9项
D．第10项
B [a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.]
二、填空题
6．数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝______.
0 [因为{an}是等差数列，∴{an}的通项不含n的二次项，故a＝0.]
7．在数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝_____.
3n [因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．
所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.]
8．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
13 [设公差为d，则a5－a2＝3d＝6，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.]
三、解答题
9．在等差数列{an}中．
(1)已知a1＝8，a9＝－2，求d与a14；
(2)已知a3＋a5＝18，a4＋a8＝24，求d.
[解] (1)由a9＝a1＋8d＝－2，
∵a1＝8.∴d＝－，∴a14＝a1＋13d＝8＋13×＝－.
(2)由(a4＋a8)－(a3＋a5)＝4d＝6.∴d＝.
10．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋1＝，
∴＝＝＝
＝＋，
即－＝，∴是等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)×＝，即an＝，n∈N＋.
11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
C [设an＝－24＋(n－1)d，
由解得
12．(多选题)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N＋)，则下列说法正确的是( )
A．{an}是等差数列
B.
是等差数列
C．an＝
D．an＝n
BC [由＝＋，得－＝－，则数列是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.]
13．(一题两空)等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________，通项公式an＝________.
46 －2n＋3(1≤n≤46且n∈N＋) [由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，
可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.通项公式an＝－2n＋3(1≤n≤46，且n∈N＋)．]
14．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
5 [an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.]
15．已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式．
[解] 由an－an＋2＝2可知an＋2－an＝－2，即{an}的奇数项，偶数项分别成等差数列．
(1)当n＝2k－1时，
a2k－1＝10＋(k－1)×(－2)＝12－2k，
∴an＝12－(n＋1)＝11－n(n为奇数)．
(2)当n＝2k时，a2k＝5＋(k－1)×(－2)＝7－2k，
∴an＝7－n(n为偶数)．
∴an＝
2/4课时分层作业(四) 等差数列的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
A [由a1＋a9＝2a5＝10得a5＝5，故选A.]
2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14
B．21
C．28
D．35
C [由题意可知a3＋a4＋a5＝3a4＝12，即a4＝4，
又a1＋a2＋…＋a7＝3(a1＋a7)＋a4＝7a4，
∴a1＋a2＋…＋a7＝7×4＝28，故选C.]
3．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的通项公式为( )
A．an＝2n－5
B．an＝2n－3
C．an＝2n－1
D．an＝2n＋1
B [∵a－1，a＋1,2a＋3是等差数列{an}的前三项，∴2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，解得a＝0，
∴a1＝－1，a2＝1，a3＝3，
∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.故选B.]
4．下列说法中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列
C [由a，b，c成等差数列知2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝a＋2＋c＋2，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]
5．在古老的数学著作中，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的1份为( )
A.
B.
C.
D.
A [设五个人分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100，∴a＝20，由(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝，
∴最小的一份为a－2d＝20－＝.故选A.]
二、填空题
6．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．
－3 [设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝＝－3.]
7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________.
100 [∵{an}，{bn}都是等差数列，
∴{an＋bn}也是等差数列．
又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，
∴an＋bn＝100，故a37＋b37＝100.]
8．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图像与x轴的交点的个数为________．
1或2 [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图像与x轴的交点个数为1或2.]
三、解答题
9．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解] 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，
∴d＝1.故所求的四个数为－2,0,2,4.
10．(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
[解] (1)法一：根据等差数列的性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
由a2＋a6＋a10＝1，
得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
法二：设公差为d，根据等差数列的通项公式，
得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d，由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.
(2)设公差为d，∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5.
又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
11．(多选题)设{an}是等差数列，则下列结论中错误的是( )
A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0
B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0
C．若0
D．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0
ABD [若等差数列是an＝5－3n，满足a1＋a2＝2＋(－1)＝1>0，但a2＋a3＝(－1)＋(－4)＝－5<0，A错误；
an＝5－3n也满足a1＋a3＝2＋(－4)＝－2<0，但a1＋a2＝2＋(－1)＝1>0，B错误；
若0，C正确；
设等差数列{an}的公差为d，则(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0，D错误．故选ABD.]
12．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1
B.
C.
D.
C [设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，
a4＝＋＝.
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|
＝＝.]
13．在等差数列{an}中，已知a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则a50＋a20＋a80＝________.
[由题意，知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a99＝10.又因为{an}是等差数列，所以a50＝＝5，故a50＋a20＋a80＝a50＝×5＝.]
14．(一题两空)在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4＝________，an＝________.
[由题意可知＝＋，
15．在数列{an}中，已知a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2，且n∈N＋)．
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)因为a1＝5，
所以a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列为等差数列，
则，，成等差数列，
所以2×＝＋，
即＝＋.
解得λ＝－1.
当λ＝－1时，－
＝[(an＋1－1)－2(an－1)]
＝(an＋1－2an＋1)
＝[(2an＋2n＋1－1)－2an＋1]
＝×2n＋1
＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列．
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