课时分层作业(五) 等差数列的前n项和
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )
A．7
B．15
C．20
D．25
B [设{an}的首项为a1，公差为d，则有所以
所以S5＝5a1＋d＝15.]
2．等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋5n，则公差d等于( )
A．1
B．2
C．5
D．10
B [∵a1＝S1＝6，a1＋a2＝S2＝14，∴a2＝8，∴d＝a2－a1＝2.]
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5
B．7
C．9
D．11
A [法一：∵a1＋a5＝2a3，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，
∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故选A.
法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.]
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )
A．1
B．－1
C．2
D.
A [＝＝＝×＝1.]
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，那么的值为( )
A.
B.
C.
D.
D [设S4＝m，则S8＝3m，由性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，S4＝m，S8－S4＝2m，所以S12－S8＝3m，S16－S12＝4m，所以S16＝10m，∴＝＝.]
二、填空题
6．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．
23或24 [∵a24＝0，∴a1<0，a2<0，…，a23<0，故S23＝S24最小．]
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝22，S5＝100，则S10＝________.
350 [法一：设等差数列{an}的公差为d，则解得所以S10＝10×8＋×10×9×6＝350.
法二：设Sn＝An2＋Bn,
则解得所以S10＝3×102＋5×10＝350.]
8．等差数列{an}中，d＝，S100＝145，an＝－，则n＝________.
21 [∵S100＝100a1＋50×99d＝145，d＝，∴a1＝－，an＝a1＋(n－1)d＝－，解得n＝21.]
三、解答题
9．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小．
[解] (1)由题意得
解得a1＝－9，d＝3，
∴an＝3n－12.
(2)法一：Sn＝＝(3n2－21n)
＝2－，
∴n＝3或4，此时S3＝S4＝－18.
∴当n＝3或4时，前n项和取得最小值－18.
法二：设前n项的和取得最小，
则
得3≤n≤4，
∴n＝3或4.此时S3＝S4＝－18.
∴当n＝3或4时，前n项和取得最小值－18.
10．一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．
(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？
(2)如果每辆车的行驶速度都是60
km/h，这支车队当天总共行驶了多少路程？
[解] 由题意，知第1辆车在休息之前行驶了240
min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.
(1)∵a15＝－10×15＋250＝100，
∴到下午6时，最后一辆车行驶了100
min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15＝2
550(min)＝(h)，∴这支车队当天总共行驶的路程为×60＝2
550(km)．
11．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2
011＝S2
017，Sk＝S2
007，则正整数k为( )
A．2
016
B．2
019
C．2
018
D．2
021
D [因为等差数列的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2
011＝S2
017，Sk＝S2
007，可得＝，解得k＝2
021.故选D.]
12．(多选题)已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则下列说法正确的有( )
A．a6<0
B．a7<0
C．a6＋a7<0
D．a6＋a7>0
BD [由题知，S13＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以a7<0，a6＋a7>0.所以a6>－a7>0.故选BD.]
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于________．
100 [A，B，C三点共线?a1＋a200＝1，
∴S200＝(a1＋a200)＝100.]
14．(一题两空)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________，使得为整数的n的个数是________．
9 5 [由等差数列的性质，知＝＝＝9.又＝＝＝＝∈Z，则n＋1只能取2,3,4,6,12这5个数，故满足题意的n有5个．]
15．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.
(1)求{an}的通项公式；
(2){an}的前多少项和最大；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.
[解] (1)法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝33－1＝32满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.
法二：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.
(2)法一：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，
故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝.
距离最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的
图像可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an<0.
所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当n≥18时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544.
故Sn′＝
6/6
