课时分层作业(七) 等比数列的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于( )
A.
B.
C.
D．π
C [由题意可知a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝，故选C.]
2．已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于( )
A.
B.
C.
D.
D [由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝，故选D.]
3．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
B [由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，
∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.]
4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于( )
A．－24
B．0
C．12
D．24
A [由题意可知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前4项依次为－3，－6，－12，－24，故选A.]
5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．4
B．6
C．7
D．5
D [∵{an}为等比数列，
∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，
∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50，
又{an}各项为正，故a4a5a6＝5.]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，若a2，a8是方程x2－3x＋6＝0的两个根，则a4a6＝________.
6 [由题知a2·a8＝6，根据等比数列的性质，a4·a6＝a2a8＝6.]
7．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________.
1 [设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4.
∴q4＝，q2＝，
∴a3＝a1q2＝2×＝1.]
8．等差数列{an}的公差d≠0，a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，则d＝________.
－2 [由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝a，
即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2，
化简得2a1d＋20d2＝0，
由a1＝20，d≠0，得d＝－2.]
三、解答题
9．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
[解] 法一：因为a1a3＝a，
a1a2a3＝a＝8，所以a2＝2.
从而
解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.
当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.
故an＝2n－1或an＝23－n.
法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2.
代入已知，得
即
即
将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝.
由②得或
故an＝2n－1或an＝23－n.
10．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．
[解] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，
解得d＝6或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，
解得d＝－6或d＝0(舍去)．
此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，
则22＝(2＋d)(2－d)，∴d＝0(舍去)．
综上可求得此三数为－4,2,8或8,2，－4.
11．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
D [由已知，a4－2a＋3a8＝0，
即4a7－2a＝0，
又各项不为0，a7＝2，
所以b7＝2，则b2b8b11＝b＝8.]
12．(多选题)在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝( )
A.
B．1
C.
D．2
AC [因为a7a11＝a4a14＝6，
又a4＋a14＝5，
所以或所以＝q10＝，
所以＝或＝.]
13．(一题两空)等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a10a11a12a13＝________，a8a15＝________.
4 2 [∵T13＝4T9，
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9.
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2.]
14．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
－9 [由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.
又∵|q|>1，
∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝＝－，∴6q＝－9.]
15．在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
[解] 依题意得an＝a1＋(n－1)d，a＝a1a4，
∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，∵d≠0，
∴d＝a1，得an＝nd.
∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列．
又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝＝3，由此得k1＝9.
等比数列{kn}的首项k1＝9，公比q＝3，∴kn＝9×3n－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.
2/5课时分层作业(六) 等比数列的定义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a2
020＝8a2
019，则公比q的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
D [由等比数列的定义知q＝＝8.]
2．设a1＝2，数列{2an＋1}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．606
B．607
C．608
D．609
B [由题意可知2an＋1＝(1＋2a1)·3n－1＝5×3n－1，
∴2a6＋1＝5×36－1＝5×35，即a6＝＝607.]
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64
B．81
C．128
D．243
A [∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.]
4．在等比数列{an}中，若a1＝1，公比|q|≠1，且am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．8
B．9
C．10
D．11
D [由题意可知am＝a·q10，又a1＝1，am＝qm－1，∴qm－1＝q10，即m－1＝10，解得m＝11.故选D.]
5．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则通项公式an＝( )
A．(－2)n－1
B．－(－2)n－1
C．(－2)n
D．－(－2)n
A [由a5＝－8a2知＝－8＝q3.所以q＝－2，
又因为a5>a2，所以a5>0，a2<0，
所以a1＝>0，
所以a1＝1，所以an＝(－2)n－1.]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝4，则a7＝________.
8 [由a4＝a1q3得q3＝2，∴a7＝a4q3＝4×2＝8.]
7．若数列{an}满足a9＝1，an＋1＝2an(n∈N
)，则a5＝_________.
[由an＋1＝2an可知数列{an}是公比为2的等比数列，
又a9＝1，∴an＝a9qn－9＝2n－9，∴a5＝2－4＝.]
8．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
3×2n－3 [由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝，求n.
[解] (1)因为a5＝a3q2，所以q2＝＝.所以q＝±.
当q＝时，an＝a3qn－3＝32×n－3＝28－n；
当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×n－3.
所以an＝28－n或an＝32×n－3.
(2)当an＝时，28－n＝或32×n－3＝，
解得n＝9.
10．已知数列{an}，{bn}满足下列条件：
a1＝0，a2＝1,2an＋2＝an＋an＋1，bn＝an＋1－an.
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：由条件得
＝＝＝－.
∴{bn}是等比数列．
(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，
∴bn＝1×n－1＝n－1.
11．(多选题)在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则下列说法正确的有( )
A．a1＝8
B．公比q＝
C．an＝2n－4
D．an＝24－n
ABD [设公比为q，则＝q3＝＝，所以q＝，又a1＋a3＝a1＋a1q2＝10，所以a1＝8，所以an＝8·n－1＝24－n，故选ABD.]
12．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )
A.
B.
C.
D.
C [第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.]
13．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg
an}的通项公式为________．
lg
an＝(n－3)lg
2 [∵a5＝a4q，∴q＝2，∴a1＝＝，
∴an＝·2n－1＝2n－3，∴lg
an＝(n－3)lg
2.]
14．(一题两空)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则公比q＝________，a1a2…an的最大值为________．
64 [设等比数列{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，∴a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.]
15．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
[证明] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)．
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
∴＝2·.
故是以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知＝4·(n≥2)．
于是Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2)，
又∵a2＝3S1＝3，
故S2＝a1＋a2＝4a1.
因此对于任意正整数n≥1，都有Sn＋1＝4an.
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