课时分层作业(八) 等比数列的前n项和
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．数列
{2n－1}的前99项和为( )
A．2100－1
B．1－2100
C．299－1
D．1－299
C [数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1.]
2．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝( )
A.
B.
C.
D.
C [当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.]
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31
B．32
C．63
D．64
C [法一：由(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即144＝3(S6－15)，解得S6＝63.
法二：由S4＝S2＋q2S2?15＝3＋3q2?q2＝4，所以S6＝S2＋q2S4＝3＋4×15＝63.]
4．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝( )
A．－
B.
C．－或1
D.或1
C [由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或1.]
5．数列{an}的通项公式为an＝，其前10项的和为( )
A.
B.
C.
D.
D [设{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝1×1＋2×2＋…＋n×n，
两边乘以，
Sn＝1×2＋2×3＋…＋n×n＋1，
两式相减，
Sn＝＋2＋…＋n－n×n＋1
＝－n×n＋1
＝1－n－n×n＋1，
所以Sn＝2－(n＋2)n，
所以S10＝2－12×10＝.]
二、填空题
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]
7．已知等比数列{an}的公比q＝，则＝________.
3 [∵q＝，∴＝＝3.]
8．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
－ [显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.]
三、解答题
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
[解] (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝.
10．记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn.
[解] (1)设{an}的公比为q.
由题设可得
解得
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝
＝－＋(－1)n.
11．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N＋)，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2
B.(2n－1)2
C．4n－1
D.(4n－1)
D [a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．]
12．(多选题)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N＋)，则下列说法正确的有( )
A．{an}是等比数列
B．{Sn}是等比数列
C．a6＝3×44
D．a6＝3×44＋1
BC [an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，
∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
同理可证Sn＋1＝4Sn，
故A错误，B正确，C正确，D错误，所以选BC.]
13．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
2 [设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.
由题意得＝.
∴1＋q＝3，∴q＝2.又当q＝1时，不合题意，∴公比q＝2.]
14．(一题两空)如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________，数列{an}的前n项和Sn＝________.
2n－1 2n＋1－n－2 [an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1.
其前n项和Sn＝－n＝2n＋1－n－2.]
15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝2，等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a4＋1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.
[解] (1)由a1＝1，an＋1－an＝2得，
an＝2n－1，b1＝1，b4＝8，所以公比q＝2，所以bn＝2n－1.
(2)cn＝(2n－1)2n－1，
Sn＝1·1＋3·2＋5·22＋…＋(2n－1)2n－1，
2Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)2n，
上述两式作差得
－Sn＝1＋2·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－1－(2n－1)2n，
即－Sn＝1＋2－(2n－1)2n，
所以Sn＝3－2n(3－2n).
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