课时分层作业(十三) 导数的概念及其几何意义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设f
′(x0)＝0，则曲线y＝f
(x)在点(x0，f
(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交但不垂直
B [由导数的几何意义可知选项B正确．]
2．已知函数f
(x)在x＝x0处可导，若
＝1，则f
′(x0)＝( )
A．2
B．1 C． D．0
C [∵
＝1∴
＝，
即f
(x0)＝
＝.故选C.]
3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1
B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3
D．y＝－2x－2
B [由题意可知，
曲线在点P处的切线方程为
y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.]
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1，1)
B．(－1，1)
C．(1，1)或(－1，－1)
D．(2，8)或(－2，－8)
C [因为y＝x3，所以y′＝
＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.
故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)，故选C.]
5．如图，函数y＝f
(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f
(2)＋f
′(2)等于( )
A．－4
B．3
C．－2
D．1
D [直线l的方程为＋＝1，
即x＋y－4＝0.
又由题意可知f
(2)＝2，f
′(2)＝－1，
∴f
(2)＋f
′(2)＝2－1＝1.]
二、填空题
6．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________.
2 [∵f
′(1)＝2，
又
＝
＝
(aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f
(1)＝a＋b＝3，∴b＝2.
∴＝2.]
7．(一题两空)已知f
(x)＝mx2＋n，且f
(1)＝－1，f
(x)的导函数f
′(x)＝4x，则m＝________，n＝________.
2 －3 [＝
＝＝mΔx＋2mx，
故f
′(x)＝
＝
(mΔx＋2mx)＝2mx＝4x.
所以m＝2.
又f
(1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，
故m＝2，n＝－3.]
8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
(0，0) [设P(x0，y0)，则
y′|x＝x0＝
＝
(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0)．]
三、解答题
9．若曲线y＝f
(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值．
[解] ∵f
′(a)＝
＝3a2，∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为.
∴三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1.
10．在曲线y＝x2上取一点，使得在该点处的切线：
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
分别求出满足上述条件的点的坐标．
[解] 设y＝f
(x)，则f
′(x)＝
＝
＝
(2x＋Δx)＝2x.
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为点P处的切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝4，即P(2，4)．
(2)因为点P处的切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为，所以2x0·＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.
(3)因为点P处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan
135°＝－1，即2x0＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.
11．(多选题)过点(2，0)作曲线f
(x)＝x3的切线l，则直线l的方程可能为( )
A．y＝0
B．x＝0
C．12x－y－24＝0
D．27x－y－54＝0
AD [∵f
(x)＝x3，设切点(x0，x)．则k＝
＝[3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2]＝3x，
∴在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
把点(2，0)代入并解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，切线方程为y＝0；
当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，整理为27x－y－54＝0.故选AD]
12．已知函数f
(x)的图象如图所示，f
′(x)是f
(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0′(2)′(3)(3)－f
(2)
B．0′(3)(3)－f
(2)′(2)
C．0′(3)′(2)(3)－f
(2)
D．0(3)－f
(2)′(3)′(2)
B [由函数的图象可知函数f
(x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f
′(2)>f
′(3)．记A(2，f
(2))，B(3，f
(3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝＝f
(3)－f
(2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f
′(2)>f
(3)－f
(2)>f
′(3)>0.故选B.]
13．(一题两空)已知曲线y＝f
(x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f
(x)在交点处的切线方程为________．
(1，1) x－2y＋1＝0 [由得∴两曲线的交点坐标为(1，1)．
由f
(x)＝，得f
′(x)＝
＝
＝，
∴y＝f
(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.]
14．已知二次函数f
(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f
′(x)，f
′(0)＞0，对于任意实数x，有f
(x)≥0，则的最小值为________．
2 [由导数的定义，得f
′(0)
＝
＝
＝
(a·Δx＋b)＝b.
因为对于任意实数x，有f
(x)≥0，
则所以ac≥，
所以c＞0，
所以＝≥≥＝2.]
15．设函数f
(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f
(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
[解] ∵Δy＝f
(x＋Δx)－f
(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，
∴f
′(x)＝
＝3x2＋2ax－9＝3－9－≥－9－.
由题意知f
′(x)的最小值是－12，
∴－9－＝－12，即a2＝9，∵a＜0，∴a＝－3.
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