课时分层作业(十四) 基本初等函数的导数 导数的四则运算法则
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f
(x)＝，则该函数的导函数f
′(x)＝( )
A．
B．
C．
D．2x－cosx
B [由题意可得f
′(x)＝＝，故选B.]
2．已知f
(x)＝ax3＋3x2＋2，若f
′(－1)＝4，则a的值为( )
A． B． C． D．
B [∵f
(x)＝ax3＋3x2＋2，
∴f
′(x)＝3ax2＋6x，
又f
′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.]
3．已知函数f
(x)的导函数为f
′(x)且满足f
(x)＝2x·f
′(1)＋ln
x，则f
′＝( )
A．－2
B．e－2
C．－1
D．e
B [由题意得：f
′(x)＝2f
′(1)＋，令x＝1得：f
′(1)＝2f
′(1)＋1，解得f
′(1)＝－1∴f
′(x)＝－2＋，
∴f
′＝e－2.故选B.]
4．曲线y＝2sin
x＋cos
x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0
B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0
D．x＋y－π＋1＝0
C [当x＝π时，y＝2sin
π＋cos
π＝－1，即点(π，－1)在曲线y＝2sin
x＋cos
x上．∵y′＝2cos
x－sin
x，∴y′|x＝π＝2cos
π－sin
π＝－2，则y＝2sin
x＋cos
x在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.]
5．已知函数f
(x)＝aex＋x＋b，若函数f
(x)在(0，f
(0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [∵f
′(x)＝aex＋1，∴f
′(0)＝a＋1＝2，解得
a＝1，f
(0)＝a＋b＝1＋b＝3，∴b＝2，∴ab＝2.故选B.]
二、填空题
6．已知f
(x)＝x2，g(x)＝ln
x，若f
′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
1 [因为f
(x)＝x2，g(x)＝ln
x，
所以f
′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f
′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.]
7．曲线C：y＝xln
x在点M(e，e)处的切线方程为________．
y＝2x－e [y′＝ln
x＋1，y′|x＝e＝ln
e＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，化简得2x－y－e＝0.]
8．水波的半径以0.5
m/s的速度向外扩张，当半径为25
m时，圆面积的膨胀率是________．
25π [因为水波的半径扩张速度为0.5
m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝πt2故水波面积的膨胀率为S′＝πt.当水波的半径为25时，由vt＝25，解得t＝50即可得S′＝π×50＝25π.]
三、解答题
9．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lg
，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2
019.
[解] 因为y＝xn＋1，所以y′＝(n＋1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为k＝n＋1，
切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得x＝，即xn＝，
所以an＝lg＝lg(n＋1)－lg
n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2
019
＝lg
2－lg
1＋lg
3－lg
2＋lg
4－lg
3＋…＋lg
2
020－lg
2
019＝lg
2
020＝1＋lg
202.
10．设f
(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f
′(x)满足f
′(1)＝2a，f
′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f
(x)在点(1，f
(1))处的切线方程．
[解] 因为f
(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f
′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f
′(1)＝3＋2a＋b，又f
′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f
′(2)＝12＋4a＋b，又f
′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f
(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f
(1)＝－.
又f
′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f
(x)在点(1，f
(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
11．(多选题)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是( )
A．＝
B．(cos
2x)′＝－2sin
2x
C．＝3x
D．(lg
x)′＝
BC [＝－，(cos
2x)′＝－2sin
2x，＝3x，(lg
x)′＝.故选BC.]
12．(多选题)直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线是( )
A．f
(x)＝
B．f
(x)＝x4
C．f
(x)＝sin
x
D．f
(x)＝ex
BCD [f
(x)＝，故f
′(x)＝－＝，无解，故A排除；f
(x)＝x4，故f
′(x)＝4x3＝，故x＝，即曲线在点的切线为y＝x－，B正确；f
(x)＝sin
x，故f
′(x)＝cos
x＝，取x＝，故曲线在点的切线为y＝x－＋，C正确；f
(x)＝ex，故f
′(x)＝ex＝，故x＝－ln
2，曲线在点的切线为y＝x＋ln
2＋，D正确．故选BCD.]
13．(一题两空)已知f
(x)＝xex，则f
′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．
2e (－4，0) [f
′(x)＝(x＋1)ex，∴f
′(1)＝2e，设点B(x0，x0e)为曲线C上任意一点．
∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为y－x0e＝(x0＋1)e
(x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0e＝(x0＋1)e
(a－x0)，即x－a－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.
∴a的取值范围是(－4，0)．]
14．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.
eln
3 [设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln
3，
所以k＝3ln
3，所以y＝3ln
3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3ln
3·x0＝3，
所以x0＝＝log3
e.
所以k＝eln
3.]
15．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)分别求过P点，Q点的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解] (1)因为y′＝2x.
P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即
2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.
5
