课时分层作业(十五) 简单复合函数的导数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若f
(x)＝exln
2x，则f
′(x)＝( )
A．exln
2x＋
B．exln
2x－
C．exln
2x＋
D．2ex·
C [f
′(x)＝exln
2x＋ex×＝exln
2x＋.]
2．已知函数f
(x)＝2ln(3x)＋8x，则
的值为( )
A．10
B．－10
C．－20
D．20
C [∵f
(x)＝2ln(3x)＋8x，∴f
′(x)＝＋8＝8＋.根据导数定义知
＝－2
＝－2f
′(1)＝－20.故应选C.]
3．已知f
(x)＝，则f
′＝( )
A．－2－ln
2
B．－2＋ln
2
C．2－ln
2
D．2＋ln
2
D [依题意有f
′(x)＝，
故f
′＝＝2＋ln
2，所以选D.]
4．已知函数f
(x)是偶函数，当x＞0时，f
(x)＝xln
x＋1则曲线y＝f
(x)在x＝－1处的切线方程为( )
A．y＝－x
B．y＝－x＋2
C．y＝x
D．y＝x－2
A [因为x＜0，f
(x)＝f
(－x)＝－xln(－x)＋1，f
(－1)＝1，
f
′(x)＝－ln(－x)－1，f
′(－1)＝－1，所以曲线y＝f
(x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x.故选A.]
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1
B．2 C．－1 D．－2
B [设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]
二、填空题
6．若函数f
(x)＝，则f
′(x)＝________.
[∵f
(x)＝，∴f
′(x)＝＝.]
7．若曲线y＝xln
x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(e，e) [设P(x0，y0)．∵y＝xln
x，
∴y′＝ln
x＋x·＝1＋ln
x.
∴k＝1＋ln
x0.又k＝2，
∴1＋ln
x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln
e＝e.
∴点P的坐标是(e，e)．]
8．已知P为指数函数f
(x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________．
[设f
(x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，由f
′(x)＝ex，f
′(x0)＝e＝1，x0＝0，f
(0)＝1，即P(0，1)．P到直线y＝x－1的距离是d＝＝.]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝a2x－3；(2)y＝x2cos；
(3)y＝e－xln
x；(4)y＝.
[解] (1)因为y＝a2x－3，
所以y′＝a2x－3ln
a·(2x－3)′＝2a2x－3ln
a.
(2)因为y＝x2cos，
所以y′＝2xcos＋x2′
＝2xcos－x2sin′
＝2xcos－2x2sin.
(3)因为y＝e－xln
x，
所以y′＝(e－x)′ln
x＋e－x·＝－e－xln
x＋＝.
(4)因为y＝＝(1－2x)eq
\s\up10(－)，
所以y′＝－(1－2x)eq
\s\up10(－)×(－2)＝.
10．曲线y＝esin
x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
[解] ∵y＝esin
x，∴y′＝esin
xcos
x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin
x在(0，1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0.
由＝得m＝－1或3.
∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11．(多选题)下列结论中不正确的是( )
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sin
x2，则y′＝2xcos
x2
C．若y＝cos
5x，则y′＝－sin
5x
D．若y＝xsin
2x，则y′＝xsin
2x
ACD [对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；
对于B，y＝sin
x2，则y′＝2xcos
x2，故正确；
对于C，y＝cos
5x，则y′＝－5sin
5x，故错误；对于D，y＝xsin
2x，则y′＝sin
2x＋xcos
2x，故错误．故选ACD]
12．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A．
B．
C．
D．1
A [依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.]
13．(一题两空)设函数f
(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f
′＝，则φ＝________；若f
(x)＋f
′(x)是奇函数，则φ＝________.
或 [f
′(x)＝－sin(x＋φ)．
由条件知，f
′＝－sin(π＋φ)＝sin
φ＝，
∴sin
φ＝，∵0＜φ＜π，∴φ＝或.
又f
(x)＋f
′(x)
＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)
＝2sin.
若f
(x)＋f
′(x)为奇函数，
则f
(0)＋f
′(0)＝0，
即0＝2sin，
∴φ＋＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.]
14．设P是曲线y＝x－x2－ln
x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
[由y＝x－x2－ln
x，得y′＝1－x－(x＞0)，
∵1－x－＝1－≤1－2＝－1，
当且仅当x＝1时等号成立．
∴y′≤－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，
∴tan
θ≤－1，又θ∈[0，π)，
∴θ∈.]
15．设函数f
(x)＝aexln
x＋.
(1)求导函数f
′(x)；
(2)若曲线y＝f
(x)在点(1，f
(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．
[解] (1)由f
(x)＝aexln
x＋，
得f
′(x)＝(aexln
x)′＋＝aexln
x＋＋.
(2)由于切点既在曲线y＝f
(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，
将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f
(x)得f
(1)＝b，
∴b＝2.
将x＝1代入导函数f
′(x)中，
得f
′(1)＝ae＝e，
∴a＝1.
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