课时分层作业(十六) 函数的单调性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f
(x)＝xln
x，则f
(x)( )
A．在(0，＋∞)上递增
B．在(0，＋∞)上递减
C．在上递增
D．在上递减
D [函数的定义域为(0，＋∞)，求导函数，可得f
′(x)＝1＋ln
x，
令f
′(x)＝1＋ln
x＝0，可得x＝，
∴0＜x＜时，f
′(x)＜0；x＞时，f
′(x)＞0.
∴在上递减，在上递增．故选D.]
2．在R上可导的函数f
(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f
′(x)＞0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B [当x＞0时，x·f
′(x)＞0?f
′(x)＞0?函数单调递增；
根据图形知，x＞1或x＜－1?x＞1；当x＝0时，不成立；
当x＜0时，x·f
′(x)＞0?f
′(x)＜0?函数单调递减；
根据图形知，－1＜x＜1?－1＜x＜0.综上所述：x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，故选B.]
3．已知函数f
(x)＝2x－ln|x|，则f
(x)的大致图象为( )
A
B
C
D
A [当x＜0时，f
(x)＝2x－ln(－x)，f
′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f
(x)在(－∞，0)单调递增，则B、D错误；
当x＞0时，f
(x)＝2x－ln
x，f
′(x)＝2－＝，则f
(x)在单调递减，单调递增，所以A正确，故选A.]
4．函数f
(x)＝x3＋kx2－7x在区间[－1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．[－2，2]
C．[－2，＋∞)
D．[2，＋∞)
B [∵f
(x)＝x3＋kx2－7x，∴f
′(x)＝3x2＋2kx－7，
由题意可知，不等式f
′(x)≤0对于任意的x∈[－1，1]恒成立，
所以解得－2≤k≤2.
因此，实数k的取值范围是[－2，2]．故选B.]
5．函数f
(x)的定义域为R，f
(－1)＝2，对任意x∈R，f
′(x)＞2，则f
(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
B [依题意可设g(x)＝f
(x)－2x－4，所以g′(x)＝f
′(x)－2＞0.
所以函数y＝g(x)在R上单调递增，又因为g(－1)＝f
(－1)＋2－4＝0.
所以要使g(x)＝f
(x)－2x－4＞0，即g(x)＞g(－1)，只需要x＞－1，故选B.]
二、填空题
6．函数f
(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
(1，2) [f
′(x)＝6x2－18x＋12，令f
′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]
7．已知函数f
(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．
[－，] [f
′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤.即a的取值范围是[－，]．]
8．若函数f
(x)＝2x2－ln
x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
[因为f
(x)定义域为(0，＋∞)，又f
′(x)＝4x－，
由f
′(x)＝0，得x＝.当x∈时，f
′(x)＜0；当x∈时f
′(x)＞0.据题意，k－1＜＜k＋1，k－1≥0，解得1≤k＜.]
三、解答题
9．已知函数f
(x)＝aln
x－bx2，a，b∈R，函数f
(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f
(x)在上的单调性．
[解] (1)f
′(x)＝－2bx，由题意，解得
(2)由(1)知f
(x)＝ln
x－x2，f
′(x)＝－x＝－，
∴当x∈时，f
′(x)≥0，f
(x)单调递增，当x∈[1，e]时，f
′(x)≤0，f
(x)单调递减，
∴函数f
(x)的增区间是，减区间是[1，e]．
10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f
(x)＝6ln
x＋h(x)．
(1)求函数f
(x)的解析式；
(2)若函数f
(x)在区间(1，m＋)上是单调函数，求实数m的取值范围．
[解]
(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
∴解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f
(x)＝6ln
x＋x2－8x＋2.
(2)∵f
′(x)＝＋2x－8
＝(x＞0)．
∴当x变化时，f
′(x)，f
(x)的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，3)
3
(3，＋∞)
f
′(x)
＋
0
－
0
＋
f
(x)
↗
↘
↗
∴f
(x)的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，
f
(x)的单调递减区间为(1，3)．
要使函数f
(x)在区间上是单调函数，
则解得＜m≤.
即实数m的取值范围为.
11．(多选题)若函数y＝exf
(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f
(x)的定义域上单调递增，则称函数f
(x)具有M性质，下列函数中所具有M性质的函数的选项为( )
A．f
(x)＝2－x
B．f
(x)＝3－x
C．f
(x)＝x3
D．f
(x)＝x2＋2
AD [A中，exf
(x)＝ex·2－x＝在R上单调递增，故f
(x)＝2－x具有M性质；
B中，exf
(x)＝ex·3－x＝在R上单调递减，故f
(x)＝3－x不具有M性质；
C中，exf
(x)＝ex·x3，令g(x)＝ex·x3，则g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，∴当x＞－3时，g′(x)＞0，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴exf
(x)＝ex·x3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f
(x)＝x3不具有M性质；
D中，exf
(x)＝ex(x2＋2)，令g(x)＝ex(x2＋2)，则
g′(x)＝ex(x2＋2)＋ex·2x＝ex[(x＋1)2＋1]＞0，∴exf
(x)＝ex(x2＋2)在R上单调递增，故f
(x)＝x2＋2具有M性质．]
12．(多选题)下列命题为真命题的是( )
A．＞ln
2
B．ln
2＜ln
C．ln
2＜
D．2＞5
ABC [构造函数f
(x)＝，导数为f
′(x)＝，
当0＜x＜e时，f
′(x)＞0，f
(x)递增；当x＞e时，f
′(x)＜0，f
(x)递减．
因为32＞23，因为y＝ln
x在定义域上单调递增，所以ln
32＞ln
23，所以2ln
3＞3ln
2，所以＞ln
2，故A正确；
∵e＞＞2，∴f
＞f
(2)，∴＞，ln＞ln
2，故B正确；
∵f
(2)＜f
(e)＝，∴＜，即ln
2＜，故C正确；
∵e＞＞2，∴f
()＞f
(2)，∴＞，∴2ln＞ln
2，
∴ln()2＞ln(2)，∴5＞2，故D错误．
故选ABC.]
13．(一题两空)已知函数f
(x)＝＋aln
x＋x，且曲线y＝f
(x)在点P(1，f
(1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数的单调增区间是________．
－1 (2，＋∞) [∵f
(x)＝＋aln
x＋x，定义域为(0，＋∞)，
f
′(x)＝－＋＋1＝，
由题知f
′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1，
这时f
′(x)＝，则f
′(x)＝0，得x1＝2或x2＝－1(舍)，
令f
′(x)＞0，即x2－x－2＞0且x＞0，得x＞2，
所以函数y＝f
(x)的递增区间为(2，＋∞)．]
14．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
(0，＋∞) [若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.]
15．已知函数f
(x)＝ax2＋2x－ln
x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f
(x)的单调区间；
(2)若函数f
(x)存在单调增区间，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝3时，f
(x)＝x2＋2x－ln
x，其定义域为(0，＋∞)．
∴f
′(x)＝3x＋2－＝.
令f
′(x)＜0，得0＜x＜，令f
′(x)＞0，得x＞，
∴函数f
(x)的减区间为，增区间为.
(2)∵f
(x)＝ax2＋2x－ln
x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，
∴f
′(x)＝ax＋2－＝(a∈R)．
若函数f
(x)存在单调增区间，则f
′(x)＞0在区间(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1＞0在区间(0，＋∞)上有解．
分离参数得a＞，令g(x)＝，则依题意，只需a＞g(x)min即可．
∵g(x)＝＝－1，
∴g(x)min＝－1，
∴a＞－1，
即所求实数a的取值范围为(－1，＋∞)．
5
