课时分层作业(一) 数列的概念及简单表示法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是( )
A．an＝1＋(－1)n＋1
B．an＝1－(－1)n
C．an＝1＋(－1)n
D．an＝1－cos
nπ
C [经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合．]
2．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为( )
A．
B．－
C．
D．－
D [易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－.]
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
B [∵an＋1－an＝－＝＜0，
∴an＋1＜an.故该数列是递减数列．]
4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．103
B．108
C．103
D．108
D [把an＝－2n2＋29n＋3看成二次函数，对称轴为n＝＝7，∴n＝7时a7最大，最大项的值是a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.]
5．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于( )
A．20
B．28
C．0
D．12
A [a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20.]
二、填空题
6．已知数列，，，，…，则它的第10项是________．
[根据数列的前几项，可归纳an＝.所以第10项a10＝＝.]
7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
9 [由an＝19－2n>0，得n<.
∵n∈N
，∴n≤9.]
8．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N
)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
2 [∴a2－a＝2，
∴a＝2或a＝－1，又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.]
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)1，3，6，10，15，…；
(3)7，77，777，….
[解] (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝.
(2)注意6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝.
(3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，因而有an＝(10n－1)．
10．已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．
[解] 设f(n)＝
＝＝.
(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝＝＝1－，
又n∈N
，
∴0<<1，∴0
即数列中的各项都在区间(0，1)内．
11．(多选题)有下面四个结论，不正确的是( )
A．数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
BCD [结合数列的定义与函数的概念可知，A正确；有穷数列的项数就是有限的，因此B错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式，D错误．]
12．(多选题)已知数列{an}满足：an＝(n∈N
)，且数列{an}是递增数列，则实数a的可能取值是( )
A．2 B． C． D．3
BC [根据题意，an＝f(n)＝，n∈N
，要使{an}是递增数列，必有据此有：综上可得2＜a＜3，故应选BC.]
13．(一题两空)根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，那么第5个图有________个点，试猜测第n个图中有________个点．
21 n2－n＋1 [观察图形可知，第5个图形有5×4＋1＝21个点，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．]
14．(一题两空)如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
图1 图2
2 [因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1，(i＝1，2，3，…)为直角三角形，∴OA2＝，OA3＝，OA4＝＝2，依此类推可归纳为OAn＝an＝.]
15．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
[解] (1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．
令an＝1，得＝1，
而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，
则有an＝an＋1，即＝.
解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．
5课时分层作业(二) 数列的递推公式与an和Sn的关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为( )
A．an＝n
B．an＝n＋1
C．an＝2n
D．an＝2n－1
D [由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D.]
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是( )
A． B． C． D．6
B [由an＋1＝＋1，a1＝1得，a2＝＋1＝3，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝.故选B.]
3．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2
020＝( )
A．6
B．－6
C．3
D．－3
D [a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，∴周期为6，即an＋6＝an.∴a2
020＝a6×336＋4＝a4＝－3.所以D选项是正确的．]
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N
)，则a5等于( )
A．－16
B．16
C．31
D．32
B [由Sn＝2an－1知a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1，又n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1，∴an＝2an－1.∴n＝2，3，4，5时，a2＝2a1＝2，a3＝2a2＝4，a4＝2a3＝8，a5＝2a4＝16.故选B.]
5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值等于( )
A．7
B．8
C．9
D．10
C [因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.]
二、填空题
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N
，则an＝________.
[根据递推公式，可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1，
由通项公式与求和公式的关系，可得an＝Sn－Sn－1，代入化简得an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.
经检验，当n＝1时，S1＝4，a1＝3，所以S1≠a1，∴an＝]
7．已知数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2
020的值是________．
[数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，
可得a2＝－3；a3＝；a4＝；所以数列的周期为3，a2
020＝a673×3＋1＝a1＝.]
8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N
)，则a10的值为________．
[法一：由an＋1＝an＋得an＋1－an＝－，故a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，a10－a9＝－，所以累加得a10－a1＝1－，a10＝.
法二：由an＋1＝an＋，得an＋1＋＝an＋，故a10＋＝a1＋1＝2，即a10＝.]
三、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N
)，求通项an.
[解] 将an＋1＝两边同时取倒数得：
＝，
则＝＋，
即－＝，
∴－＝，－＝，…，－＝，
把以上这(n－1)个式子累加，
得－＝.
∵a1＝1，∴an＝(n∈N
)．
10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项．
[解] 假设第n项an为最大项，则
即eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(?n＋2?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))≥?n＋1?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))，,?n＋2?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))≥?n＋3?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))，))
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
11．(多选题)已知函数f
(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f
(an)，n∈N
，则下列说法正确的是( )
A．该数列是周期数列且周期为3
B．该数列不是周期数列
C．a2
020＋a2
021＝
D．a2
020＋a2
021＝
BC [a2＝f
＝－1＝；
a3＝f
＝－1＝；
a4＝f
＝＋＝；
a5＝f
＝2×－1＝；
a6＝f
＝2×－1＝；
…
∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2
020＋a2
021＝a4＋a5＝.∴C正确，D错误．故选BC.]
12．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于( )
A．2n－1
B．n2
C．
D．
D [设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，Tn－1＝(n－1)2(n≥2)，∴n≥2时，an＝＝]
13．(一题两空)数列{(25－2n)2n－1}的第4项是________，最大项所在的项数为________．
136 11 [令an＝(25－2n)2n－1，则a4＝(25－2×4)×24－1＝136.
当n≥2时，设an为最大项，则
即解得≤n≤.
而n∈N
，所以n＝11，
又n＝1时，有a1＝23＜a2＝42，
所以数列{(25－2n)2n－1}的最大项所在的项数为11.]
14．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n，n为奇数时，,a，n为偶数时))(n∈N
)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．
640 [由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．]
15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N
，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N
，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
[解] (1)∵an＝1＋(n∈N
，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N
)．
结合函数f
(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N
)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N
，都有an≤a6成立，结合函数f
(x)＝1＋的单调性，
可知5＜＜6，即－10＜a＜－8.
即a的取值范围是(－10，－8)．
2