课时分层作业(四) 等差数列的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于( )
A．－1
B．－2 C．－3 D．－4
C [由a1＋a7＝2a4＝－8可得a4＝－4，又a2＝2，∴a4－a2＝2d，即2d＝－6，d＝－3.]
2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝( )
A．6
B．7
C．8
D．9
B [∵2an＝an－1＋an＋1，∴{an}是等差数列，
由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
∴a3＋a4＝3＋4＝7.]
3．在等差数列{an}中，若a2＋a9＝10，则3a4＋a10＝( )
A．10
B．15
C．20
D．25
C [由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＝2a1＋9d＝10，又由3a4＋a10＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20，故选C.]
4．下列说法中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
C [因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]
5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位)，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”这个问题中，甲所得为( )
A．钱
B．钱
C．钱
D．钱
B [根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，
①
a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，
②
联立①②得a＝1，d＝－，则甲所得为1－2×＝.]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________.
132 [在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.∴a45＝33＋3×33＝132.]
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
1或2 [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]
8．(一题多空)在通常情况下，从地面到10
km高空，高度每增加1
km，气温就下降某一个固定数值．如果1
km高度的气温是8.5
℃，5
km高度的气温是－17.5
℃，则2
km，4
km，8
km高度的气温分别为________、________、________.
2
℃ －11
℃ －37
℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2
km，4
km，8
km高度的气温分别为2
℃，－11
℃，－37
℃.]
三、解答题
9．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.求数列{an}的通项公式．
[解] 法一：设{an}的首项为a1，公差为d，
则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.
代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±.
当d＝时，a1＝－，an＝n－；
当d＝－时，a1＝，an＝－n＋.
法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4.
a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28，
∴16－25d2＝7，∴d＝±.
当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝n－；
当d＝－时，an＝－n＋.
法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，
∴a8＝4，∴
∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，
∴或
由a3＝1，a13＝7，得d＝＝，
∴an＝a3＋(n－3)d＝n－.
同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－n＋.
10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解] 法一：设这三个数为a，b，c(a法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，
由已知得
由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝2，
∴这三个数为4，6，8.
11．(多选题)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．数列{nan}是递增数列
C．数列是递增数列
D．数列{an＋3nd}是递增数列
AD [在等差数列{an}中，∵d＞0，∴数列{an}为递增数列，∴A正确；令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，可能是先减后增，∴B错误；＝＝＋d.当b＞0时，数列递减，∴C错误；an＋3nd＝4dn＋b，∵d＞0，∴是递增数列．故D正确，应选AD.]
12．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的量为( )
A．个
B．个
C．个
D．个
C [易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为a1，公差为d(d＞0)，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝.故最小一份的量为个，故选C.]
13．(一题两空)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a3＋b3＝________，an＋bn＝________.
100 100 [设两个等差数列的公差分别为d1，d2，∴a2＝a1＋d1，b2＝b1＋d2，∴a2＋b2＝a1＋b1＋d1＋d2，
即100＝100＋d1＋d2，∴d1＋d2＝0.∴a3＋b3＝a1＋b1＝100，∵d1＋d2＝0，∴{an＋bn}是常数列，即an＋bn＝100.]
14．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________．
[n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.]
15．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场平均出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
甲 乙
请您根据提供的信息说明，求：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
(3)哪一年的规模最大？请说明理由．
[解] 由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10.
从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.
(1)由a1＝1，a6＝2，得∴?a2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，得
∴?b2＝26.
∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.
(2)c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．
(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，
bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．
∵对称轴为n＝，∴当n＝2时，cn最大．
答：(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；(3)第2年的规模最大．
2课时分层作业(三) 等差数列的概念及简单表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．49
B．50 C．51 D．52
D [∵an＋1－an＝，
∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)×＝2＋，
∴a101＝2＋＝52.]
2．若等差数列{an}的公差d＝2，a8∶a7＝7∶8，则a1＝( )
A．－15
B．－28
C．15
D．28
B [设a8＝7k，a7＝8k，a8－a7＝7k－8k＝－k＝2，则k＝－2.
即a7＝－16，故a1＝a7－6d＝－16－12＝－28，故选B.]
3．等差数列{an}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2(n∈N
)
B．an＝2n＋4(n∈N
)
C．an＝－2n＋12(n∈N
)
D．an＝－2n＋10(n∈N
)
D [由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，且d＜0，解得a2＝6，a4＝2，所以d＝＝＝－2，则an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝－2n＋10.故选D.]
4．若lg
2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于( )
A．0
B．log25
C．32
D．0或32
B [依题意得2lg(2x－1)＝lg
2＋lg(2x＋3)，
∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，
∴(2x)2－4·2x－5＝0，
∴(2x－5)(2x＋1)＝0，
∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x＝log25.]
5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为( )
A．21
B．22
C．23
D．24
B [公差d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，
令即?21，∴n＝22.]
二、填空题
6．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
3n [因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.]
7．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________.
[设公差为d，∵－＝－＝＝2d，∴d＝.∴＝＋4×d＝＋4×＝.∴a10＝]
8．若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________.
[法一：利用等差中项，b＝＝，
a＝＝，c＝＝.∴c－a＝－＝.
法二：利用通项公式．设公差为d，则c－a＝2d，而9－2＝4d，∴d＝，故c－a＝2×＝.]
三、解答题
9．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.求数列的通项公式．
[解] 由an＋2－2an＋1＋an＝0得2an＋1＝an＋an＋2，
根据等差中项知，该数列为等差数列．设公差为d，
则a4－a1＝3d，即d＝＝＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝8＋(n－1)×(－2)＝－2n＋10.
10．已知函数f
(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f
(xn－1)(n≥2且n∈N
)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2
015.
[解] (1)证明：∵xn＝f
(xn－1)＝(n≥2且n∈N
)，
∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2且n∈N
)，
∴是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝，
∴＝＝，
∴x2
015＝.
11．(多选题)已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N
)的等差数列，若2
019是该数列的一项，则公差d可能是( )
A．2
B．3 C．4 D．5
ABC [由题可设an＝3＋(n－1)d，2
019是该数列的一项，即2
019＝3＋(n－1)d.∴n＝＋1.
∵d∈N
，所以d是2
016的约数，选项当中2，3，4均为2
016的约数，只有5不是2
016的约数，故选ABC.]
12．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是( )
A．构成的新数列是等差数列，公差为10
B．构成的新数列是等差数列，公差为12
C．该数列共有16项
D．该数列共有18项
BC [等差数列2，6，10，…，190，公差为4，等差数列2，8，14，…，200，公差为6，
所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，
其公差为12，首项为2，所以通项为an＝12n－10，
所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N
，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16.故选BC.]
13．(一题两空)已知各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn，并且an＋1＝2，则首项a1＝________，通项an＝________.
1 2n－1 [∵an＋1＝2，an＞0，∴2＝4Sn，
当n＝1时，2＝4S1＝4a1，解得a1＝1.
当n≥2时，(an－1＋1)2＝4Sn－1，
则(an＋1)2－(an－1＋1)2＝4Sn－4Sn－1＝4an，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∴an－an－1＝2，或an＋an－1＝0(舍去)，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.]
14．(一题两空)等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列的通项公式为________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________．
an＝36－3n an＝38－5n(n∈N
) [若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36.若公差为整数，且前7项大于0，第7项以后均为负数，可得即
解得－又∵d∈Z，∴d＝－5，
∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n.]
15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，
…
)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列
{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，
且a1＝1，
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)不存在实数λ，使数列{an}成为等差数列．
证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，
则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，
解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列矛盾．
所以，不存在λ使{an}是等差数列．
6
