课时分层作业(五) 等差数列的前n项和公式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝( )
A．138
B．135 C．95 D．23
C [∵∴∴
∴S10＝10a1＋×d＝－40＋135＝95.]
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a12＝a7＋6，则S11＝( )
A．99
B．33
C．198
D．66
D [因为a1＋a12＝a7＋6，所以a6＝6，则
S11＝＝11a6＝11×6＝66，故选D.]
3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765
B．665
C．763
D．663
B [由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.]
4．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9
B．10
C．19
D．29
B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，
为10根．]
5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布．现在一月(按30天计算)共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14＋a15＋a16＋a17的值为( )
A．55
B．52
C．39
D．26
B [由题意可得{an}为等差数列，a1＝5，∴S30＝30×5＋d＝390，
解得d＝，
∴a14＋a15＋a16＋a17＝a1＋13d＋a1＋14d＋a1＋15d＋a1＋16d＝4a1＋58d＝4×5＋58×＝52.]
二、填空题
6．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
27 [由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.]
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝________.
－10 [设该等差数列的公差为d，
根据题中的条件可得3＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.]
8．已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}前12项之和为________．
304 [因为a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40?d＝－8，所以an＝40－8n.所以|an|＝|40－8n|＝所以前12项之和为＋＝80＋224＝304.]
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时求n的值．
[解] 法一：由解得则Sn＝－n2＋16n＝－(n－8)2＋64，则当n＝8时，Sn取得最大值．
法二：因为{an}是等差数列，所以S16＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)＝0，则a9＝－a8＝－1，即数列{an}的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以当n＝8时，Sn取得最大值．
11．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是( )
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N
，均有Sn＞0
D．若对任意n∈N
，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
ABD [显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A，B正确．
又若对任意n∈N
，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确．
而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确．]
12．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S2
019＞0，S2
020＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则下列判断正确的是( )
A．a1
010＞0
B．a1
011＞0
C．|a1
010|＞|a1
011|
D．k的值为1
010
AD [由等差数列{an}，可得S2
019＝＞0，S2
020＝＜0，
即：a1＋a2
019＞0，a1＋a2
020＜0，可得：2a1
010＞0，a1
010＋a1
011＜0，
∴a1
010＞0，a1
011＜0，∴A正确B错误．又等差数列{an}为递减数列，
且a1
010＋a1
011＜0，∴|a1
010|＜|a1
011|，∴C错误．
而对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为1
010.故D正确．故选AD.]
13．(一题两空)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则d＝________，a5＝________.
－2 －1 [由题意知
解得所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.]
14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
2
000 [假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2
000(米)．]
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.
(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；
(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；
(3){Sn}有多少项大于零？
[解] (1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．
(2)Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N
，
∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减．
{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.
(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．
3课时分层作业(六) 等差数列前n项和的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2
B．－1 C．0 D．1
B [等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.]
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝( )
A．110
B．150
C．210
D．280
D [∵等差数列{an}前n项和为Sn，
∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，∴S30＝150.
又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，∴S40＝280.故选D.]
3．在等差数列{an}中，a1＝－2
018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2
018的值等于( )
A．－2
018
B．－2
016
C．－2
019
D．－2
017
A [由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋(2
018－1)×1＝－2
018＋2
017＝－1.所以S2
018＝－2
018.]
4．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝( )
A．
B．
C．
D．
D [因为等差数列{an}和{bn}，所以＝＝，又S21＝21a11，T21＝21b11，
故令n＝21有＝＝，即＝，所以＝，故选D.]
5.＋＋＋＋…＋等于( )
A．
B．
C．
D．
C [通项an＝＝，
∴原式＝
＝
＝.]
二、填空题
6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.
5 [∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.]
7．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N
)，则a2
019的值为________．
1 [因为an＋1＝an＋(n∈N
)，所以an＋1－an＝＝－，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
…
a2
019－a2
018＝－，
各式相加，可得a2
019－a1＝1－，a2
019－＝1－，
所以a2
019＝1，故答案为1.]
8．数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N
都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________.
820 [因为an＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3，
a3－a2＝4，a4－a3＝5，
…，an－an－1＝n＋1(n≥2)，上面n－1个式子左右两边分别相加得an－a1＝，即an＝，
所以a39＝＝820.]
三、解答题
9．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值．
[解] 法一：＝＝＝＝＝＝＝.
法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列，
∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n.
又＝，∴令Sn＝tn(2n＋1)，
Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R.
∴an＝Sn－Sn－1
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)
＝t(4n－1)(n≥2)，
bn＝Tn－Tn－1
＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)
＝t(6n－5)(n≥2)．
∴＝＝(n≥2)，
∴＝＝＝.
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．
因为Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.
解得－≤d≤－.因此d＝－3.
所以数列{an}的通项公式为an＝13－3n.
(2)bn＝＝.
于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋
＝＝.
11．(多选题)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N
且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为( )
A．S13＝0
B．a7＝0
C．{an}为递增数列
D．a13＝0
AB [对B，由题意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6?S7－S6＝0?a7＝0，故B正确．对A，S13＝＝13a7＝0.故A正确．
对C，当an＝0时满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确．故C错误．
对D，由A，B项，可设当an＝7－n时满足Sn＝S13－n，但a13＝－6.故D错误．
故AB正确．]
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12
B．14
C．16
D．18
B [Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，
所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，
由Sn＝＝210，得n＝14.]
13．(一题两空)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是________，项数是________．
11 7 [设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．]
14．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为________．
5 [设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.
由已知条件，得
解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.]
15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，则
解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝17－2(n－1)＝－2n＋19.
(2)由(1)得Sn＝＝－n2＋18n，
∴Tn＝－n2＋18n－10.
当n＝1时，b1＝T1＝7；
当n≥2且n∈N
时，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋19.
经验证b1≠17，∴bn＝
当1≤n≤9时，bn＞0；当n≥10时，bn＜0.
∴当1≤n≤9时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝－n2＋18n－10；
当n≥10时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋b9－(b10＋b11＋…＋bn)＝2(b1＋b2＋…＋b9)－(b1＋b2＋…＋b9＋b10＋b11＋…＋bn)＝－Tn＋2T9＝n2－18n＋152，
综上所述：Rn＝
1
