课时分层作业(七) 等比数列的概念及简单表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是( )
A．等差数列
B．既是等差数列又是等比数列
C．等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
A [由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，
∴log2b2＝log2ac，
即2log2b＝log2a＋log2c，
∴log2a，log2b，log2c成等差数列．]
2．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝( )
A． B． C． D．
A [由条件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝，把q＝代入②得a2＝，∴a1＝＝＝.]
3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－是此数列的( )
A．第2项
B．第4项
C．第6项
D．第8项
B [由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4，
∴首项为－4，公比为.
∴由－4×＝－13，解得n＝4.]
4．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是( )
A．
B．－
C．或－
D．
A [由于－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1.
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2＜0，∴b2＝－2，
∴＝＝.]
5．已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增，且a1·a3＝36，a1＋a2＋a3＝26，则a4＝( )
A．24
B．36
C．48
D．54
D [因为a1·a3＝36，且为各项是正数的等比数列，得a2＝6，所以由于为递增的等比数列，可得∴q2＝＝9.∵an＞0，∴q＝3.
∴a4＝a1q3＝2×33＝54.故选D.]
二、填空题
6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
3×2n－3 [由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]
7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
27，81 [设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.
所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.]
8．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
64 [设等比数列的公比为q，由得，解得所以a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝8n×eq
\s\up12()＝2eq
\s\up10(－n2＋n)，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64.]
三、解答题
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？
[解] (1)因为2an＝3an＋1，
所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，
所以a＝，由于各项均为负，
故a1＝－，an＝－.
(2)设an＝－，则－＝－，＝，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．
10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝(n∈N
)．
11．(多选题)有下列四个命题，正确的是( )
A．等比数列中的每一项都不可以为0
B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
AC [对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．因此，正确的说法有AC，故选AC.]
12．(一题两空)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.
－1 [∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.
①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.
②
由①②解得a1＝，d＝－1.]
13．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．
[已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因为b＞a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去)．]
14．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．
(1)证明：2，2，2，2依次构成等比数列；
(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由．
[解] (1)因为eq
\f(2,2)＝2＝2d(n＝1，2，3)是同一个常数且d≠0，所以2，2，2，2依次构成等比数列．
(2)令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．
假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，
则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.
令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，化简得t3＋2t2－2＝0 (
)，且t2＝t＋1.
将t2＝t＋1代入(
)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－.
显然t＝－不是上面方程的解，与假设矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列．
5课时分层作业(八) 等比数列的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )
A．1
B．2 C．4 D．8
A [法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝.
所以a5＝a1·24＝·24＝1.
法二：由等比数列的性质，知a＝a3a11＝16.
又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4.
又a7＝a5×q2，则a5＝＝1.]
2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21
B．42
C．63
D．84
B [∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.
∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.]
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为( )
A．32
B．64
C．256
D．±64
B [由题意得，a1a99＝16，
∴a40a60＝a＝a1a99＝16，
又∵a50>0，∴a50＝4，
∴a40a50a60＝16×4＝64.]
4．在各项不为零的等差数列中，2a2
017－a＋2a2
019＝0，数列是等比数列，且b2
018＝a2
018，则log2的值为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
C [因为等差数列中a2
017＋a2
019＝2a2
018，所以2a2
017
－a
＋2a2
019＝
4a2
018－a＝0，
因为各项不为零，所以a2
018＝4，因为数列是等比数列，所以b2
017·b2
019＝a＝16.所以log2＝log216＝4，故选C.]
5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于( )
A．
B．或
C．
D．以上都不对
B [不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则m＝，其另一根为4，
对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1∴等比数列为，x1，x2，4，
∴q3＝＝8，∴q＝2，
∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，
∴＝＝.同理，若x＝是方程x2－nx＋2＝0的根，解得＝，故选B.]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
256 [因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256.]
7．已知数列满足an>0，且lg
an，lg
an＋1，lg
an＋2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝________.
[∵lg
an，lg
an＋1，lg
an＋2成等差数列，∴a＝anan＋2，即为等比数列，∴a3a7＝a4a6＝a，从而a3a4a6a7＝a＝4，则a5＝±，又an>0，∴a5＝.]
8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln
a1＋ln
a2＋…＋ln
a20＝________.
50 [因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.
所以ln
a1＋ln
a2＋…＋ln
a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln
e5＝50ln
e＝50.]
三、解答题
9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
[解] ∵a1a5＝a，a3a7＝a，
∴由题意，得a－2a3a5＋a＝36，
同理得a＋2a3a5＋a＝100，
∴
∵an＞0，
∴
解得或
分别解得或
∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解] an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4.
又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首项为－，公比为4的等比数列，所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.
11．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2
016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的可能值为( )
A．1
006
B．1
007
C．1
008
D．1
009
BC [由题意可知a1a2a3…a2
016＝a2
016，故a1a2a3…a2
015＝1，
由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，
所以a1
008＝1，公比0＜q＜1，
所以a1
007＞1且0＜a1
009＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时，n的值为1
007或1
008.∴选BC.]
12．若a，b是函数f
(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )
A．6
B．7
C．8
D．9
D [由题意可知a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，
∴a＋b＝p＞0，ab＝q＞0，故a，b均为正数．
∵a，b，－2适当排序后成等比数列，
∴－2是a，b的等比中项，得ab＝4，
∴q＝4.
又a，b，－2适当排序后成等差数列，
所以－2是第一项或第三项，不妨设a＜b，则－2，a，b成递增的等差数列，
∴2a＝b－2，联立得
消去b得a2＋a－2＝0，
得a＝1或a＝－2，
又a＞0，∴a＝1，此时b＝4，∴p＝a＋b＝5，∴p＋q＝9，选D.]
13．(一题两空)数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N
，λ∈R且λ≠0)，数列{an－1}若是等比数列，则λ的值为________，若数列{an－1}的首项为2，那么{an}的通项公式an＝________.
2 2n＋1 [由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，解得λ＝2.∵首项为2，∴an－1＝2×2n－1＝2n.
即an＝2n＋1.]
14．(一题两空)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则公比q的值为________，＝________.
1＋ 3＋2 [依题意可得2×＝a1＋2a2，
即a3＝a1＋2a2，整理得q2＝1＋2q，
解得q＝1±，
∵各项都是正数，
∴q＞0，q＝1＋.∴＝＝q2＝3＋2.]
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)在(1)的条件下求数列{bn}的通项公式．
[解] (1)∵an＋Sn＝n，
①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.
②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∵首项c1＝a1－1，
又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，
又cn＝an－1，∴q＝.
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·＝－，
∴an＝cn＋1＝1－.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝－＝.
又b1＝a1＝，
代入上式也符合，
∴bn＝.
(2)由(1)可知cn＝·＝－，
∴an＝cn＋1＝1－.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－＝－＝.
又b1＝a1＝，
代入上式也符合，
∴bn＝.
6
