课时分层作业(九) 等比数列的前n项和公式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31
B．32 C．63 D．64
C [在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.]
2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于( )
A．16(1－4－n)
B．16(1－2－n)
C．(1－4－n)
D．(1－2－n)
C [∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4，
∴a1a2＝8，
∵
＝q2＝
∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列．
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．]
3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝( )
A．－2
B．－1
C．
D．
B [由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.故选B.
]
4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于( )
A．或5
B．或5
C．
D．
C [设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为eq
\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))),1－\f(1,2))＝.]
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
B [设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
故选B.]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
2n－1－ [由a4＝a1q3得q＝－2，∴an＝(－2)n－1，
∴|an|＝2n－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.]
7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]
8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N
)等于________．
6 [由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，
又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6.]
三、解答题
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
[解] (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1＝3，
故a1＝4.
从而Sn＝eq
\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))).
10．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bn＝的前n项和为Tn，求Tn.
[解] (1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0.∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4.又2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a＝2a1·(a3＋1)，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2.
(2)bn＝＝＝(3n－2)×，
∴Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×.
①
①×得Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×.
②
①－②得，Tn＝＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n－2)×＝＋3×－(3n－2)×＝－×－(3n－2)×，
∴Tn＝－×－×＝－×.
11．(多选题)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是( )
A．0
B．a7a9<1
C．Tn的最大值为T7
D．Sn的最大值为S7
ABC [∵a1>1，a7a8>1，<0，∴a7>1，0∴0C中T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确．
D中因为a7>1，012．(多选题)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去．则下列说法正确的是( )
A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为
B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为
C．n个内切圆的面积和为π
D．n个内切圆的面积和为3π
BC [S△ABC＝×32＝，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的倍，所以第三个正三角形的面积为×＝.故A错误，B正确．又根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π，则C正确，D错误．故选BC.]
13．(一题两空)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N
，则a1＝________，S5＝________.
1 121 [由于解得由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.]
14．(一题两空)在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺．
2 2n－＋1 [由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天，则可得1＋2＋4(x－2)＋1＋＋(x－2)＝5.解得x＝2，即2天两只老鼠相遇．由题意可知，大老鼠前n天打洞长度为＝2n－1，小老鼠前n天打洞长度为eq
\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),1－\f(1,2))＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.]
15．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
[解] (1)设数列{xn}的公比为q，由已知可得q＞0.
由题意得
消去x1得3q2－5q－2＝0.
因为q＞0，所以q＝2，x1＝1，
因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.
(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1(图略)．
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，
由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.
①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.
②
①－②得，－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝＋－(2n＋1)×2n－1.
所以Tn＝.
1课时分层作业(十) 等比数列前n项和的性质及应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7
B．8 C．15 D．16
C [由题意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，
∴q＝2，∴S4＝＝15.]
2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A．
B．
C．
D．
B [显然公比q≠1，
由题意得
解得或
∴S5＝＝＝.]
3．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )
A．150
B．－200
C．150或－200
D．400
A [依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．
即(S20－10)2＝10(70－S20)，
解得S20＝－20或S20＝30，
又S20＞0，
因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80，S40＝150.故选A.]
4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N
)，且x1＋x2＋…＋x10＝10
，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于( )
A．1
025
B．1
024
C．10
250
D．20
240
C [∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，
∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10
250，
故选C.]
5．已知公差d≠0的等差数列{an}
满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝( )
A．30
B．20
C．10
D．5或40
A [设等差数列的公差为d，
因为a2，a4－2，a6成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6，
即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，
即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)，
解得d＝0或d＝3，因为公差d≠0，所以d＝3，
所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选A.]
二、填空题
6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.
－1 [由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．
又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点Sn＝Aqn－A知k＝－1.]
7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
2 [设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，
S奇＝.
由题意得＝.
∴1＋q＝3，∴q＝2.]
8．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________.
2n－1 [设等差数列{an}的公差为d，(d≠0)，则
S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d，
因为S＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得
5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2，
an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1.]
三、解答题
9．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
[解] 设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，得a1＝12.
故所求通项公式为an＝12×.
10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55
＝211＋53＝2
101.
11．(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N
，则下列说法正确的是( )
A．＝＋1
B．若＝9，则q＝2
C．若＝9，＝，则m＝3，q＝2
D．若＝9，则q＝3
ABC [∵q≠1，∴＝＝1＋qm.
而＝＝qm，∴A正确；B中，m＝3，∴＝q3＋1＝9，解得q＝2.故B正确；C中，由＝1＋qm＝9，得qm＝8.又＝qm＝8＝，得m＝3，q＝2，∴C正确；D中，＝q3＝9，∴q＝≠3，∴D错误，故选ABC.]
12．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( )
A．3n－1
B．
C．
D．
A [由点(a，a)在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝3n－1.]
13．(一题两空)等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________．
2 [设数列{an}共有2m＋1项，由题意得
S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，
S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)
＝2＋q＝，
∴q＝.
∴Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1＝2eq
\s\up10(n－)，
故当n＝1或2时，Tn取最大值，为2.]
14．(一题两空)设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________.
2n－1 2n＋1－n－2 [因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]
15．设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N
.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
[解] (1)由题意得则
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，
得an＋1＝3an，故an＝3n－1(n≥2，n∈N
)，又当n＝1时也满足an＝3n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N
.
(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N
，b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.
n≥3时，
Tn＝3＋－
＝.
∴Tn＝
6