课时分层作业(十二) 变化率问题
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f
(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3
B．2 C．1 D．4
B [由已知得：＝3，
∵m－1≠0，
∴m＋1＝3，∴m＝2.]
2．已知一直线运动的物体，当时间从t变到t＋Δt时物体的位移为Δs，那么
为( )
A．时间从t变到t＋Δt时物体的速度
B．在t时刻该物体的瞬时速度
C．当时间为Δt时物体的速度
D．时间从t变到t＋Δt时物体的平均速度
B [表示从时间t到t＋Δt时物体的平均速度，从而
表示在t时刻该物体的瞬时速度．选B.]
3．若函数f
(x)在x0处有定义，则
的结果( )
A．与x0，h均无关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0，h均有关
B [根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x0有关，而与h没有关系．]
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④
B．③
C．②
D．①
B [Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.]
5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105
m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3
s，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( )
A．800
m/s
B．600
m/s
C．200
m/s
D．400
m/s
A [位移公式为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，
∴＝at0＋aΔt，
∴
＝
＝at0，
已知a＝5.0×105
m/s2，t0＝1.6×10－3
s，∴at0＝800
m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800
m/s.]
二、填空题
6．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.
[Δy＝f
(1.5)－f
(2)＝－＝－1＝.]
7．已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为________．(由大到小排列)
＞＞ [∵＝＝kOA，＝＝kAB，
＝＝kBC.又∵由图象得kOA＜kAB＜kBC
∴＞＞.]
8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
2 [物体的速度为v＝s′(t)，
∴s′(t)＝
＝
＝
＝2－6t.
即v＝2－6t，
所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.]
三、解答题
9．若函数f
(x)＝ax2＋c，且f
′(1)＝2，求a的值．
[解] ∵f
(1＋Δx)－f
(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f
′(1)＝
＝
＝
(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，
∴a＝1.
10．若一物体的运动时间t(单位：s)与位移s(单位：m)的函数关系式为s＝求此物体在t＝1和t＝5时的瞬时速度．
[解] 当t＝1时，s＝3t2＋2，
∴v＝
＝
＝
(6＋3Δt)＝6.
当t＝5时，s＝29＋3(t－3)2，
∴v＝
＝
(3Δt＋12)＝12.
故此物体在t＝1和t＝5时的瞬时速度分别是6
m/s和12
m/s.
11．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2.则下列正确的是（
）
A．此物体的初速度是3
m/s
B．此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1
m/s，方向与初速度相反
C．t＝0到t＝2时平均速度1
m/s
D．t＝3
s时的瞬时速度为0
m/s
ABC [A中，初速度v0＝
＝
＝
(3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3
m/s.即A正确；
B中，v＝
＝
＝
＝
(－Δt－1)＝－1(m/s)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1
m/s，
方向与初速度相反．即B正确．
C中，＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1
m/s.即C正确．
D中，v＝
＝
(－3－Δx)＝－3.故D错误，故应选ABC.]
12．已知函数f
(x)在x0处的导数为1，则
等于( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
A [
＝2
＝2f
′(x0)＝2×1＝2，故选A.]
13．(一题两空)一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移，t表示时间，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________，在t＝2时的瞬时速度是________．
7＋2Δt 7 [＝
＝
＝＝7＋2Δt，
v＝
(7＋2Δt)＝7.]
14．某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H
(H为常数)其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(m3/h)．那么t1，t2，t3，t4中，瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是图中的________．
t3 [＝，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致．]
15．试比较正弦函数y＝sin
x在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大．
[解] 当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝.
当自变量从变到Δx＋时，函数的平均变化率为k2＝＝.
由于是在x＝0和x＝附近的平均变化率，故可知Δx较小，但Δx即可为正，又可为负．
当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，即k1＞k2；
当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝.
∵Δx＜0，∴Δx－＜－，
∴sin＜－，
从而有sin＜－1，
sin＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.
综上可知，正弦函数y＝sin
x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率．
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