课时分层作业(二十二)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞)
B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3,0)
D．(1,3)
B [由
消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则
解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.
综上可知，m>1且m≠3，故选B.]
2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A．
B．
C．
D．
B [易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．
由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.]
3．在椭圆＋＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )
A．9x－16y＋7＝0
B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0
D．16x－9y－7＝0
C [设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，
因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－，
弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.]
4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
C [如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有
|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝∠F2PF1＝30°
所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°，所以|PF2|＝2|AF2|＝2＝3a－2c.
又因为|F1F2|＝2c，所以，2c＝3a－2c，所以e＝＝.]
5．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，
两式相减得＋＝0，即＋＝0?＋××＝0，即a2＝2b2，
c2＝9，a2＝b2＋c2，解得：a2＝18，b2＝9，方程是＋＝1，故选D.]
二、填空题
6．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组
解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]
7．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点，过F1作斜率为1的直线，交C于A、B两点，则|AF2|＋|BF2|＝________.
[由＋＝1知，焦点F1(－1,0)，所以直线l：y＝x＋1，代入＋＝1得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，故|AB|＝|x1－x2|＝·＝.
由定义有，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
所以|AF2|＋|BF2|＝4×2－＝.]
8．椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是[1,2]，那么直线PA2斜率的取值范围是________．
[由椭圆C：＋y2＝1的方程可得a2＝2，b2＝1，由椭圆的性质可知：k·k＝－，∴k＝eq
\f(－1,2k)，∵k∈[1,2]，则k∈.]
三、解答题
9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
[解] (1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜.
所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.
所以y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．
[解] (1)由题意得
解得c＝，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|
＝
＝，
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d
＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
11．(多选题)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
A．必在圆x2＋y2＝1外
B．必在圆x2＋y2＝上
C．必在圆x2＋y2＝2内
D．必在圆x2＋y2＝上
ABC [e＝?＝?c＝，＝?＝?＝?b＝a.
∴ax2＋bx－c＝0?ax2＋ax－＝0?x2＋x－＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝.
∵1＜＜2，
∴点P在圆x2＋y2＝1外，在x2＋y2＝上，在x2＋y2＝2内，故应选ABC.]
12．已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
A [设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x，y)，则y＝x
由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c，即＝c，
解得x＝c，
所以A，把点A代入椭圆方程得到＋＝1，整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，因0＜e＜1，所以可得e＝.]
13．(一题两空)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，则椭圆方程为________，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为________．
＋＝1 6x－5y－28＝0 [由题意得b＝4，又e2＝＝＝1－＝，解得a2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.∴椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，
设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知＝2，从而(2，－4)＝2(x0－2，y0)，
解得x0＝3，y0＝－2，所以点Q的坐标为(3，－2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且＋＝1，＋＝1，
以上两式相减得＋＝0，
∴kMN＝＝－·＝－×＝，
故直线的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.]
14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
[∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c＜b，∴c2＜b2＝a2－c2，即2c2＜a2，∴＜，即＜.又e＞0，∴0＜e＜.]
15．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．
[解] (1)依题意知A(a,0)，B(0，－b)，
∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，
∴＝，－＝－，即a＝，b＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，
设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)，
则直线BM的方程为：y＝－x－1，
由消去y得(1＋3k2)x2－6kx＝0，
解得：xN＝，yN＝kxN－1，
∴|BN|＝＝
＝|xN|
∴|BN|＝|xN－xB|＝·，
在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k,0)
∴|BM|＝，
在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，∴|BN|＝|BM|，
即·＝·，
整理得3k2－2|k|＋1＝0，
解得|k|＝，∵k＜0，∴k＝－，∴点M的坐标为.课时分层作业(二十一)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝( )
A．
B．
C．2
D．4
D [将椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，
所以长轴长为2，短轴长为2，
由题意得2＝2×2，解得m＝4.]
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴
B．有相等的短轴
C．有相同的焦点
D．有相等的焦距
D [由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]
3．已知椭圆x2＋＝1(b＞0)的离心率为，则b等于( )
A．3
B．
C．
D．
B [易知b2＋1＞1，由题意得＝＝，解得b＝或b＝－(舍去)，故选B.]
4.如图所示，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝( )
A．35
B．30
C．25
D．20
A [设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.]
5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3)
B．
C．(0,3)∪
D．(0,2)
C [当0＜k＜4时，e＝＝∈，
即＜＜1?1＜4－k＜4，即0＜k＜3.
当k＞4时，e＝＝∈，
即＜＜1?＜＜1?＜1－＜1?0＜＜?k＞.
综上，实数k的取值范围为(0,3)∪.]
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．
[如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.]
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的标准方程为________．
＋＝1 [∵e＝＝，∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1.
解得a2＝45.∴椭圆的标准方程为＋＝1.]
8．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
4,3 [过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3.]
三、解答题
9．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[解] 根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
依题意设点A的坐标为，则点B的坐标为，所以|AB|＝.
由△ABF2是正三角形得2c＝×，即b2＝2ac.
又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2，得＋2·－＝0，解得e＝＝(负值舍去)．
10．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
[解] 椭圆方程可化为＋＝1，由m－＝＞0，可知m＞，所以a2＝m，b2＝，c＝＝，由e＝，得＝，解得m＝1.于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，则a＝1，b＝，c＝.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，.
11．(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m
km，远地点B距离地面n
km，地球半径为R
km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有( )
A．长轴长为m＋n＋2R
B．焦距为n－m
C．短轴长为
D．离心率e＝
ABD [由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝，2a＝m＋n＋2R.∴2b＝2＝2，e＝，故ABD正确，C不正确．]
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
D [在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0,
解得e＝，因为013．(一题两空)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围是________．
＋＝1 [0,12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2.
因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，
则椭圆的方程为＋＝1，
所以点A的坐标为(－2,0)，点F的坐标为(－1,0)．
设P(x，y)，则·＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2.
由椭圆的方程，得y2＝3－x2，
所以·＝x2＋3x－x2＋5＝(x＋6)2－4.
因为x∈[－2,2]，所以·∈[0,12]．]
14．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
[1,2] [因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.]
15．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
[解] (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，
所以椭圆E的离心率e＝＝.
