课时分层作业(一)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( )
A． B． C． D．
D [＋－＝＋＝.]
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
A [∵＋＝＋，∴＝.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．]
3．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝＋＋
B．＝2－－
C．＝＋＋
D．＝＋＋
D [由＝＋＋，
可得3＝＋＋?－＋－＋－＝0，
即＝－－.
所以与，在一个平面上，即点M与点A，B，C一定共面．]
4．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P?AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
A [因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n)＋n，
即－＝n(－)，
即＝n，所以与共线．
又，有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，
即P∈AB.]
5．已知在长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，
点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则＝( )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
D [如图所示，＝，＝＋，＝，＝＋，＝，＝，所以＝＝＋＋，故选D.]
二、填空题
6．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由＝－2＋＋λ确定的点M与A，B，C共面，则λ＝________.
2 [由M、A、B、C四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]
7．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________.
a－b＋c [＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(－＋)
＝a－b＋c.]
8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)
平行 [设G是AC的中点，则＝＋＝＋＝(＋)
所以2＝＋，
从而∥(＋)．]
三、解答题
9.如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量．
[解] ∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴＝.
又＝(－)
＝－＝－＝，
∴＋－
＝＋－＝(如图所示)．
10．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面．
[证明] ∵＝－，
＝＋＝－，
＝＝(＋)，
∴＝－
＝(＋)－
＝(－)＋(－)
＝＋，
∴与，共面．
11．(多选题)若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
A．＋2＋2＋
B．2＋2＋3＋3＋
C.＋＋
D.－＋－
BD [A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋；B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝0；C中，＋＋＝＋；D中，－＋－＝＋＋＋表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路，结果必为0.]
12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( )
A．若∥，则A，B，C，D四点共线
B．若∥，则A，B，C三点共线
C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b
D．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0
BCD [根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错；
因为∥且，有公共点A，所以B正确；
由于a＝4e1－e2＝－4－e1＋e2＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D也正确．]
13．(一题两空)已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若＝2＋μ，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
－1 0 [由A、B、C三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λ＋m＋n＝0得＝－－
由A，B，C三点共线知－－＝1，则λ＋m＋n＝0.]
14．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________．
－8 [因为＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，由共线向量定理得＝，
所以k＝－8.]
15.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．
(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．
[证明] (1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，
∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R是所在边的中点，且＝，＝，＝，＝.
由题意知四边形MNQR是平行四边形，
∴＝＋＝(－)＋(－)＝(－)＋(－)＝(＋)．
又＝－＝－＝.∴＝＋，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
(2)平行．证明如下：
由(1)得＝，∴∥，
∴∥平面ABCD.
又＝－＝－
＝，∴∥.
即EF∥平面ABCD.
又∵EG∩EF＝E，
∴平面EFGH与平面ABCD平行
