课时分层作业(二)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ等于( )
A． B．－ C．± D．1
A [∵a⊥b，∴a·b＝0，∵3a＋2b⊥λa－b，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝0，
即3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝.]
2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
C [·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝a2.]
3．已知长方体ABCD?A1B1C1D1，则下列向量的数量积一定不为0的是( )
A．·
B．·
C．·
D．·
D [对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有·＝0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，AC⊥BD，易得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有·＝0；对于选项C，由长方体的性质，可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有·＝0；对于选项D，由长方体的性质，可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即·≠0.故选D.]
4．在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，向量与向量所成的角为( )
A．60°
B．150°
C．90°
D．120°
D [＝＋，||＝a，＝A＋，||＝a.
∴·＝·＋·＋·＋·＝－a2.
∴cos〈，〉＝＝－.
∴〈，〉＝120°.]
5.如图所示，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为( )
A．
B．
C．
D．
B [∵＝＋＋，
∴2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos
60°＋2×3cos
60°)
＝14＋2×＝23，
∴||＝，即AC′的长为.]
二、填空题
6．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
[将|a－b|＝两边平方，得(a－b)2＝7.
因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝.
又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝.]
7．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．
60° [＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线a，b所成角是60°.]
8．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
(－1－，－1＋) [由题意知
即
得λ2＋2λ－2<0.∴－1－<λ<－1＋.]
三、解答题
9.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示出向量；
(2)求BM的长．
[解] (1)∵M是PC的中点，
∴＝(＋)＝[＋(－)]
＝[b＋(c－a)]＝－a＋b＋c.
(2)由于AB＝AD＝1，PA＝2，∴|a|＝|b|＝1，|c|＝2，
由于AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，∴a·b＝0，a·c＝b·c＝2·1·cos
60°＝1，
由于＝(－a＋b＋c)，
||2＝(－a＋b＋c)2＝[a2＋b2＋c2＋2(－a·b－a·c＋b·c)]＝[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝.
∴||＝，∴BM的长为.
10.如图，已知直三棱柱ABC?A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE
⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
[解] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝·＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|，
∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
11．(多选题)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列命题正确的有( )
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．与的夹角为60°
D．正方体的体积为|··|
AB [如图，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；
·(－)＝·＝0；
与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；
正方体的体积为||||||.故选AB.]
12．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，若E是底面正方形A1B1C1D1的中心，
则与( )
A．重合
B．平行但不重合
C．垂直
D．无法确定
C [＝＋＋，＝＋＝－(＋)，于是·＝(＋＋)·＝·－2－·＋·－·－2＋2－·－·＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，
故⊥.]
13．(一题两空)如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则·＝________，与所成角的大小为________．
1 60° [法一：连接A1D，则∠PA1D就是与所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°.因此·＝××cos
60°＝1.
法二：根据向量的线性运算可得
·＝(＋)·＝2＝1.
由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°.]
14．已知在正四面体D?ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为________．
[如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，
∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos
60°＋cos
60°＋cos
60°)＝6，∴||＝.]
15.如图，正四面体V?ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈，〉．
[解] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，
则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，
＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)，
所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos
60°－9)＝0，
所以⊥，
即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.
所以AO，BO，CO两两垂直．
(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，所以||＝＝.
又||＝＝，
·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos〈，〉＝＝.
又〈，〉∈[0，π]，
所以〈，〉＝.
