课时分层作业(四)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于z轴对称
D．关于原点对称
B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y轴对称．]
2．已知A(1,2，－1)，B(5,6,7)，则直线AB与平面xOz交点的坐标是( )
A．(0,1,1)
B．(0,1，－3)
C．(－1,0,3)
D．(－1,0，－5)
D [设直线AB与平面xoz交点坐标是M(x，y，z)，则＝(x－1，－2，z＋1)，＝(4,4,8)，
又与共线，
∴＝λ，即
解得x＝－1，z＝－5，∴点M(－1,0，－5)．故选D.]
3．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝( )
A．
B．
C．
D．
C [M
，|CM|＝eq
\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))＋9)＝.]
4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于( )
A．
B．
C．
D．
C [{，，}为单位正交向量，＝＋＝－＋，∴＝.]
5．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10)
B．(10,12,14)
C．(14,12,10)
D．(4,3,2)
A [依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．]
二、填空题
6．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________．
(0，，) [过P的垂线PQ⊥面yOz，则Q点横坐标为0，其余不变，故Q(0，，)．]
7．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．
(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．]
8.如图所示，以长方体ABCD?A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则的坐标为________．
(－4,3,2) [由＝＋＋，且＝(4,3,2)，∴||＝4，||＝3，||＝2，又＝－＋＋，∴＝(－4,3,2)．]
三、解答题
9．已知三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
[解] 如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵三棱柱各棱长均为1，
∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝.
∵A，B，C均在坐标轴上，
∴A，B，C.
∵点A1与C1在yOz平面内，
∴A1，C1.
∵点B1在xOy平面内的射影为B，且BB1＝1，
∴B1，即各点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1.
10．棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为正交基底，求下列向量的坐标：
(1)，，；
(2)，，.
[解] 在正交基底{，，}下，
(1)＝＋＋，
＝＋，
＝＋，
∴＝，＝，＝.
(2)＝－＝＋，∴＝；
＝－＝－－，∴＝；＝－＝－，
∴＝.
11．(多选题)下列各命题正确的是( )
A．点(1，－2,3)关于平面xOz的对称点为(1,2,3)
B．点关于y轴的对称点为
C．点(2，－1,3)到平面yOz的距离为1
D．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2,4)．
ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A正确，B正确，C中(2，－1,3)到面yOz的距离为2，∴C错误．根据空间向量的坐标定义，D正确．]
12．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )
A．1
B．
C．
D．
D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD?A1C1D1内；满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1?BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1,0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A?A1C1D1，其体积是××1×1×1＝.]
13．三棱锥P?ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．
[＝－
＝(＋)－(＋)
＝－，
故＝.]
14．已知O是坐标原点，点A(2,0，－2)，B(3,1,2)，C(2，－1，7)．
(1)若点P满足＝＋＋，则点P的坐标为________；
(2)若点P满足＝2－，则点P的坐标为________．
(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中＝＋＋＝(2i－2k)＋(3i＋j＋2k)＋(2i－j＋7k)＝7i＋0j＋7k，
∴P(7,0,7)．(2)中，＝2－得－＝2－2－＋，∴＝2－
＝2(3i＋j＋2k)－(2i－j＋7k)
＝4i＋3j－3k，∴P(4,3，－3)．]
15.如图，在正四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设＝a，＝b，＝c.
(1)用向量a，b，c表示.
(2)在如图的空间直角坐标系中，求的坐标．
[解] (1)∵＝＋，＝，＝，＝－，＝＋，
∴＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.
(2)a＝＝(1,0,0)，b＝＝(0,1,0)．
∵A(0,0,0)，O，P，∴c＝＝－＝，
∴＝－a＋b＋c＝－(1,0,0)＋(0,1,0)＋＝.
