课时分层作业(七)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．u＝(2，－2,2)是平面α的一个法向量，v＝(1,2,1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是( )
A．α，β平行
B．α，β垂直
C．α，β重合
D．α，β不垂直
B [u·v＝(2，－2,2)·(1,2,1)＝2×1－2×2＋2×1＝0，∴u⊥v，∴平面α⊥平面β.]
2．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是( )
A．－3或1
B．3或－1
C．－3
D．1
A [由条件可知|a|＝＝6，且a·b＝4＋4y＋2x＝0，解得或，∴x＋y＝1或－3.]
3．在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是( )
A．相交
B．垂直
C．不垂直
D．成60°角
B [因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥；因为·A＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，又∩＝A，所以AP⊥ABCD.]
4．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C，若CD⊥AB，则λ的值为( )
A．
B．－
C．
D．
B [设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，
∵＝2，∴∴
∴D，＝，
∵⊥，∴·＝2＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－.]
5.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
B [建立以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，
＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，
E，F，
＝，∴·＝0，·＝0，
∴EF⊥A1D，EF⊥AC.]
二、填空题
6．已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为________．
或 [三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)．
令平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，可得，
即，∴x＝y＝z，∵平面ABC的法向量n＝(x，y，z)为单位法向量，
∴x2＋y2＋z2＝1，解得x＝y＝z＝±，
故平面ABC的单位法向量是或.]
7．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．
垂直 [由题意，a·b＝(－1,2，－4)·(2,3,1)＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，
∵根据平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，∴α⊥β.故答案为垂直．]
8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝________.
[∵⊥，∴·＝0，∴3＋5－2z＝0，∴z＝4.∵＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，
∴即
解得故＝.]
三、解答题
9.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
[证明] 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M.
所以＝，＝(0,
，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以
?
取y＝1，得x＝1，z＝－.则n＝(1,1，－)．
因为＝.
所以n＝－
，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
10.如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点．求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.
[证明] 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，
由题意，知D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2，0)，B1(2，2，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，
则＝(0，－，－4)，
＝(－，，0)．
设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)．
则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0，
得x＝y，z＝－y，令y＝1，得n＝.
又平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)，
而n·＝1×(－2)＋1×2＋×0＝0，
即n⊥，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
11．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论正确的有( )
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的法向量
D．∥
ABC [由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以A、B、C正确，又＝－＝(2,3,4)．
∵＝(－1,2，－1)，不满足＝λ，
∴D不正确，故选ABC.]
12.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD?A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是( )
A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
AC [∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1，0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；C中易证AC1⊥面B1CD1且＝(1,1,1)，∴C正确，D中，因＝(1,0,0)，∴·(0,1,1)＝0，又＝(0,1,1)，且(0,1,1)·(0,1,1)≠0，∴D不正确．]
13．(一题两空)已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________，若n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则x∶y∶z＝________.
4∶4∶3 [设M(x，y，z)，∵＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意，得，∴x＝－，y＝，z＝1，∴点M的坐标为，又＝(2,1，－4)．
n·＝x－y＝0且n·＝2x＋y－4z＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝，∴x∶y∶z＝1∶1∶＝4∶4∶3.]
14.如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.
a或2a [建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，
D.
设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，
则＝(a，－a，z)，
＝(a,0，z－3a)，
＝.
又·＝a2－a2＋0＝0，
·＝2a2＋z2－3az＝0，
解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.]
15.如图，在三棱锥P?ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A?MC?B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在．请说明理由．
[解] (1)证明：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
∵＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，由此可得·＝0，所以⊥，所以AP⊥BC.
(2)假设存在满足题意的点M，设＝γ，0≤γ＜1，则＝γ(0，－3，－4)．
＝＋＝＋γ＝(－4，－2,4)＋γ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3r,4－4γ)，
＝(－4,5,0)，＝(－8,0,0)．
设平面BMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝1可得n1＝.
由可得令y2＝4可得n2＝(5,4，－3)．
由n1·n2＝0，得4－3·＝0，解得γ＝，故AM＝3.
故存在点M符合题意，且AM＝3.课时分层作业(六)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
D [若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，
B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D.]
2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则( )
A．α⊥β
B．α∥β
C．α与β相交但不垂直
D．以上都不对
B [因为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，所以有n＝－2m，即m与n共线(平行)，可知平面α和平面β相互平行．答案选B.]
3．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝( )
A．
B．
C．3
D．
A [由题意知，∵α∥β，∴u＝λv，即解得λ＝－4，y＝－，x＝4，∴x＋y＝4－＝.]
4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1)
B．
C．
D．
B [对于B，＝，
则n·＝(3,1,2)·＝0，
∴n⊥，则点P在平面α内．]
5.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1)
D．(1,2，－2)
B [设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，
∴＝(0,2,1)，＝(－1,0,2)
设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量
则，
取y＝1，
得x＝－4，z＝－2
∴n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量
因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.]
二、填空题
6．若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值等于________．
1 [由l∥α可知a·n＝0，即2－2x＝0，所以x＝1.]
7．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．
或 [设平面ABC的单位法向量是n＝(x，y，z)，
则
解得或
所以平面ABC的单位法向量是或]
8．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
2∶3∶(－4) [因为＝，
＝，又因为a·＝0，a·＝0，
所以
解得
所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．]
三、解答题
9.如图，已知在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
[证明] (1)以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，
D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．
由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．
由于＝(0,1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.
又MN?平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)由于＝(0,2,0)，所以∥，
所以MP∥DC.
由于MP?平面CC1D1D，
所以MP∥平面CC1D1D.
又由(1)知，MN∥平面CC1D1D，
MN∩MP＝M，
所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D.
10.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，
则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．
设Q(0,2，c)，∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2,0，c)，＝(－2，－2,2)．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则?
令x＝1，则y＝1，z＝2，
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量．
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0，符合题意．
∴故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
11．(多选题)如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是( )
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
ACD [连接PM(图略)，因为M、P分别为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1为平行四边形，故A正确．显然A1M与B1Q为异面直线．故B错误．
由A知A1M∥D1P.由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内．
且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内．故CD正确．]
12.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
B [分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
∵A1M＝AN＝a，＝，＝，
∴M，
N，∴＝.
又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)，
∴·＝0，∴⊥.
∵是平面BB1C1C的法向量，
且MN?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.]
13．(一题两空)如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：
(1)直线AB的方向向量有________个；
(2)平面AA1B1B的法向量有________个．
(1)8 (2)8 [(1)直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个．
(2)平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8个．]
14.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．
[建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，
设|AB|＝a，点P坐标为(0,0，b)
则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E
＝(a,0,1)，＝
＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE，
∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ，
即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ
＝.
∴∴b＝λ＝，即AP＝.]
15.如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
[解] 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0),
设E(0，y，z)，则
＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)，
∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0，
①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB,
可得⊥，
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
