课时分层作业(七)
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.u=(2,-2,2)是平面α的一个法向量,v=(1,2,1)是平面β的一个法向量,则下列命题正确的是( )
A.α,β平行
B.α,β垂直
C.α,β重合
D.α,β不垂直
B [u·v=(2,-2,2)·(1,2,1)=2×1-2×2+2×1=0,∴u⊥v,∴平面α⊥平面β.]
2.已知直线l1的一个方向向量a=(2,4,x),直线l2的一个方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且l1⊥l2,则x+y的值是( )
A.-3或1
B.3或-1
C.-3
D.1
A [由条件可知|a|==6,且a·b=4+4y+2x=0,解得或,∴x+y=1或-3.]
3.在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是( )
A.相交
B.垂直
C.不垂直
D.成60°角
B [因为·=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,所以⊥;因为·A=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以⊥,又∩=A,所以AP⊥ABCD.]
4.已知A(-1,1,2),B(1,0,-1),设D在直线AB上,且=2,设C,若CD⊥AB,则λ的值为( )
A.
B.-
C.
D.
B [设D(x,y,z),则=(x+1,y-1,z-2),=(2,-1,-3),=(1-x,-y,-1-z),
∵=2,∴∴
∴D,=,
∵⊥,∴·=2+λ-3(-1-λ)=0,∴λ=-.]
5.如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
B [建立以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则=(1,0,1),
=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),
E,F,
=,∴·=0,·=0,
∴EF⊥A1D,EF⊥AC.]
二、填空题
6.已知三点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的单位法向量为________.
或 [三点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则=(0,-1,1),=(-1,0,1).
令平面ABC的法向量为n=(x,y,z),可得,
即,∴x=y=z,∵平面ABC的法向量n=(x,y,z)为单位法向量,
∴x2+y2+z2=1,解得x=y=z=±,
故平面ABC的单位法向量是或.]
7.设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(2,3,1)垂直,则平面α与β的位置关系是________.
垂直 [由题意,a·b=(-1,2,-4)·(2,3,1)=-2+6-4=0,∴a⊥b,
∵根据平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(2,3,1)垂直,∴α⊥β.故答案为垂直.]
8.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则=________.
[∵⊥,∴·=0,∴3+5-2z=0,∴z=4.∵=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,
∴即
解得故=.]
三、解答题
9.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM⊥平面BDF.
[证明] 以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),F(,,1),M.
所以=,=(0,
,1),=(,-,0).
设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量,
则n⊥,n⊥,
所以
?
取y=1,得x=1,z=-.则n=(1,1,-).
因为=.
所以n=-
,得n与共线.
所以AM⊥平面BDF.
10.如图,在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E,F分别是棱AB,BC的中点.求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1.
[证明] 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图,
由题意,知D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,4),E(2,,0),F(,2,0),
则=(0,-,-4),
=(-,,0).
设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z).
则n·=-y-4z=0,n·=-x+y=0,
得x=y,z=-y,令y=1,得n=.
又平面BDD1B1的一个法向量为=(-2,2,0),
而n·=1×(-2)+1×2+×0=0,
即n⊥,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
11.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于下列结论正确的有( )
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的法向量
D.∥
ABC [由于·=-1×2+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,·=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以A、B、C正确,又=-=(2,3,4).
∵=(-1,2,-1),不满足=λ,
∴D不正确,故选ABC.]
12.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD?A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,正确的是( )
A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D.平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
AC [∵=(0,1,0),AB⊥AD,AA1⊥AD,又AB∩AA1=A,∴AD⊥平面ABB1A1,∴A正确;∵=(-1,0,0),而(1,1,1)·=-1≠0,∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量,∴B不正确;C中易证AC1⊥面B1CD1且=(1,1,1),∴C正确,D中,因=(1,0,0),∴·(0,1,1)=0,又=(0,1,1),且(0,1,1)·(0,1,1)≠0,∴D不正确.]
13.(一题两空)已知空间三点A(-1,1,1),B(0,0,1),C(1,2,-3),若直线AB上存在一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为________,若n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,则x∶y∶z=________.
4∶4∶3 [设M(x,y,z),∵=(1,-1,0),=(x,y,z-1),=(x-1,y-2,z+3),由题意,得,∴x=-,y=,z=1,∴点M的坐标为,又=(2,1,-4).
n·=x-y=0且n·=2x+y-4z=0,
令x=1,则y=1,z=,∴x∶y∶z=1∶1∶=4∶4∶3.]
14.如图所示,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥面B1DE,则AE=________.
a或2a [建立如图所示的空间直角坐标系,
则B1(0,0,3a),C(0,a,0),
D.
设E(a,0,z)(0≤z≤3a),
则=(a,-a,z),
=(a,0,z-3a),
=.
又·=a2-a2+0=0,
·=2a2+z2-3az=0,
解得z=a或2a.故AE=a或2a.]
15.如图,在三棱锥P?ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)证明:AP⊥BC;
(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A?MC?B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在.请说明理由.
[解] (1)证明:如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).
∵=(0,3,4),=(-8,0,0),由此可得·=0,所以⊥,所以AP⊥BC.
(2)假设存在满足题意的点M,设=γ,0≤γ<1,则=γ(0,-3,-4).
=+=+γ=(-4,-2,4)+γ(0,-3,-4)=(-4,-2-3r,4-4γ),
=(-4,5,0),=(-8,0,0).
设平面BMC的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面APC的法向量为n2=(x2,y2,z2).
由得
令y1=1可得n1=.
由可得令y2=4可得n2=(5,4,-3).
由n1·n2=0,得4-3·=0,解得γ=,故AM=3.
故存在点M符合题意,且AM=3.课时分层作业(六)
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是( )
A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
D [若l∥α,则a·n=0.而A中a·n=-2,
B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,只有D选项中a·n=-3+3=0.故选D.]
2.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则( )
A.α⊥β
B.α∥β
C.α与β相交但不垂直
D.以上都不对
B [因为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),所以有n=-2m,即m与n共线(平行),可知平面α和平面β相互平行.答案选B.]
3.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=,已知α∥β,则x+y=( )
A.
B.
C.3
D.
A [由题意知,∵α∥β,∴u=λv,即解得λ=-4,y=-,x=4,∴x+y=4-=.]
4.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.(1,-1,1)
B.
C.
D.
B [对于B,=,
则n·=(3,1,2)·=0,
∴n⊥,则点P在平面α内.]
5.如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是( )
A.(1,-2,4)
B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1)
D.(1,2,-2)
B [设正方体棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),
∴=(0,2,1),=(-1,0,2)
设向量n=(x,y,z)是平面AEF的一个法向量
则,
取y=1,
得x=-4,z=-2
∴n=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量
因此,只有B选项的向量是平面AEF的法向量,故选B.]
二、填空题
6.若直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(2,x,0),若l∥α,则x的值等于________.
1 [由l∥α可知a·n=0,即2-2x=0,所以x=1.]
7.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是________.
或 [设平面ABC的单位法向量是n=(x,y,z),
则
解得或
所以平面ABC的单位法向量是或]
8.若A,B,C是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=________.
2∶3∶(-4) [因为=,
=,又因为a·=0,a·=0,
所以
解得
所以x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).]
三、解答题
9.如图,已知在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明:
(1)MN∥平面CC1D1D;
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
[证明] (1)以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,并设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),
D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).
由正方体的性质,知AD⊥平面CC1D1D,
所以=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量.
由于=(0,1,-1),则·=0×2+1×0+(-1)×0=0,所以⊥.
又MN?平面CC1D1D,
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)由于=(0,2,0),所以∥,
所以MP∥DC.
由于MP?平面CC1D1D,
所以MP∥平面CC1D1D.
又由(1)知,MN∥平面CC1D1D,
MN∩MP=M,
所以由两个平面平行的判定定理,知平面MNP∥平面CC1D1D.
10.如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点.设Q是CC1上的点,当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,
则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2).
设Q(0,2,c),∴=(1,-1,0),=(-1,-1,1),=(-2,0,c),=(-2,-2,2).
设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z),
则?
令x=1,则y=1,z=2,
∴平面PAO的一个法向量为n1=(1,1,2).
若平面D1BQ∥平面PAO,则n1也是平面D1BQ的一个法向量.
∴n1·=0,即-2+2c=0,∴c=1,
这时n1·=-2-2+4=0,符合题意.
∴故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
11.(多选题)如图,在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC中点,若平行六面体的各棱长均相等,则下列说法中正确的是( )
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
ACD [连接PM(图略),因为M、P分别为AB、CD的中点,故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1为平行四边形,故A正确.显然A1M与B1Q为异面直线.故B错误.
由A知A1M∥D1P.由于D1P既在平面DCC1D1内,又在平面D1PQB1内.
且A1M既不在平面DCC1D1内,又不在平面D1PQB1内.故CD正确.]
12.如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
B [分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
∵A1M=AN=a,=,=,
∴M,
N,∴=.
又C1(0,0,0),D1(0,a,0),∴=(0,a,0),
∴·=0,∴⊥.
∵是平面BB1C1C的法向量,
且MN?平面BB1C1C,∴MN∥平面BB1C1C.]
13.(一题两空)如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中:
(1)直线AB的方向向量有________个;
(2)平面AA1B1B的法向量有________个.
(1)8 (2)8 [(1)直线AB的方向向量有:,,,,,,,,共8个.
(2)平面AA1B1B的法向量有:,,,,,,,,共8个.]
14.如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为________.
[建立以AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),
设|AB|=a,点P坐标为(0,0,b)
则B1(a,0,1),D(0,1,0),E
=(a,0,1),=
=(0,-1,b),∵DP∥平面B1AE,
∴存在实数λ,μ,设=λ+μ,
即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μ
=.
∴∴b=λ=,即AP=.]
15.如图,四棱锥P?ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB?若存在,求出E点的位置;若不存在,请说明理由.
[解] 分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),
设E(0,y,z),则
=(0,y,z-1),=(0,2,-1),
∵∥,∴y(-1)-2(z-1)=0,
①
∵=(0,2,0)是平面PAB的法向量,
=(-1,y-1,z),
∴由CE∥平面PAB,
可得⊥,
∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=2(y-1)=0,
∴y=1,代入①式得z=.∴E是PD的中点,
即存在点E为PD中点时,CE∥平面PAB.