粤教版（2019）高中物理 必修第一册 第3章 第5节　力的分解学案

第五节　力的分解
学习目标：1.[物理观念 ]知道力的分解的概念，知道力的分解是力的合成的逆运算，能根据实际情况进行分解．　2.[科学思维]掌握运用平行四边形定则，根据实际问题进行力的分解计算与推理，能处理实际问题．　3.[科学思维]学会在力的分解中，发现其中的规律，并与他人合作交流归纳，形成结论并加以验证探究．　4.[科学态度与责任]理解在实际分解中有多种分解情况，实事求是，感受物理科学的逻辑之美，激发探索科学的兴趣．
一、力的分解
1．力的分解定义：求一个已知力的分力叫作力的分解．力的分解是力的合成的逆运算．
2．力的分解法则：遵循平行四边形定则．把一个已知的力作为平行四边形的对角线，求两个相邻的边．
3．分解依据
(1)一个力分解为两个力，如果没有限制，可以分解为无数对大小、方向不同的分力．
(2)实际问题中，要依据力的实际作用效果或需要分解．
说明：力的分解按实际作用效果分解之前要先搞清楚力的作用效果，从而确定分力的方向．
二、力的正交分解
1．定义：将一个力分解为两个互相垂直的分力，以便于对问题的分析讨论，这种方法称为正交分解法．如图所示．
2．公式：F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ.
说明：正交分解适用于各种矢量的分解．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某个分力的大小不可能大于合力． (×)
(2)当物体受多个力作用时，常用正交分解法进行力的运算． (√)
(3)一个力分解时若不加限制条件可以分解为无数对分力． (√)
(4)在进行力的分解时必须按照力的实际效果来分解． (×)
2．关于两个大小不变的共点力F1、F2与其合力F的关系，下列说法中正确的是 (　　)
A．F的大小随F1、F2间夹角的增大而增大
B．F的大小随F1、F2间夹角的增大而减小
C．F的大小一定小于F1、F2中最大者
D．F的大小不能小于F1、F2中最小者
B　[合力随两分力的夹角增大而减小，选项A错误，B正确；根据平行四边形边长与对角线关系的特点，合力可以比两个分力都大，可以比两个分力都小，也可以介于两个分力之间或者与其中一个分力相等，选项C、D错误．]
3．(多选)将一个力F分解为两个分力，下列分解方法中可能的是(　　)
A．一个分力的大小与F的大小相同
B．一个分力与力F相同
C．一个分力垂直于F
D．两个分力与F都在同一条直线上
ACD　[根据平行四边形的特点，它的一条边与对角线相等或垂直都是可能的，所以选项A、C都有可能；当一个分力与F相同时，另一个分力为零，选项B不可能分解为两个分力；合力与分力在一条直线时F＝|F1±F2|，选项D是可能的．]
力的分解
我们在学习力的分解时，老师用一根细线的一端系在右手拇指上，另一端系在圆规的柄上，如图所示．根据力的作用效果进行分解．
请探究：
(1)甲同学认为对，乙同学认为不对，你赞同他们谁的观点？
(2)按力的作用效果分解的正确图应是什么样？
提示：(1)甲同学的观点错，乙同学观点是正确的．
(2)正确的图是：
1．力的分解的运算法则：平行四边形定则．
2．如果没有限制，一个力可分解为无数对大小、方向不同的分力．
(1)已知合力和两个分力的方向时(如图甲所示)，两分力有唯一解(如图乙所示)．
甲　　　　　乙
(2)已知合力和两个分力大小时，有两解或无解(当|F1－F2|>F或F>F1＋F2时无解)．
(3)已知合力和一个分力的大小和方向时(如图甲，若已知F和F1)，另一分力有唯一解(如图乙)．
甲　　　　　乙
(4)已知合力和一个分力的大小及另一个分力的方向时
①当F1＝Fsin θ或F1≥F时，有唯一解，且Fsin θ是F1的最小值．
②当F1③当Fsin θ3．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
(2)根据两个分力的方向作出力的平行四边形或三角形．
(3)利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．
4．两种典型情况的力的分解
(1)拉力F可分解为：水平向前的力F1和竖直向上的力F2，如图甲．F1＝Fcos α，F2＝Fsin α.
(2)重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2，如图乙．F1＝mgsin α，F2＝mgcos α.
甲　　　　　　　　　　　乙
【例1】　用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为(　　)
A．mg，mg　 B．mg，mg
C．mg，mg D．mg，mg
[思路点拨]　①结点c受到竖直绳子的拉力等于物块的重力mg.
②结点c受到绳子向下的拉力产生拉紧ac绳的效果和拉紧bc绳的效果，方向分别沿ac绳方向和bc绳方向．
A　[结点c受到绳子向下的拉力F大小等于物块的重力mg，它产生两个作用效果：拉紧ac绳和bc绳，将力F沿ac绳和bc绳方向分解，如图所示，由图中的几何关系可得F1＝Fcos 30°＝mg，F2＝Fsin 30°＝mg.则有ac绳中的拉力Fac＝F1＝mg，bc绳中的拉力Fbc＝F2＝mg，所以选项A正确．
]
力的效果分解法的“四步走”解题思路
?
?
?
在上题中，只把bc改为水平，其他条件不变，则ac绳和bc绳中的拉力分别为多大？
[解析]　结点c受到绳子向下的拉力F大小等于物体的重力mg，它产生的作用效果：拉紧ac绳和bc绳，将力F沿ac绳和bc绳方向分解，如图所示，由图中几何关系．可得：F1＝＝mg，F2＝Ftan 30°＝ mg，则有ac绳中的拉力Fac＝F1＝ mg，bc绳中的拉力Fbc＝F2＝mg.
[答案]　ac绳拉力mg，bc绳拉力mg
【例2】　(多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A．F　　 B．F
C．F D．F
[思路点拨]　据题意，正确作出矢量图，看能否构成闭合的矢量三角形．
AC　[因F2＝F>Fsin 30°，故对应的F1的大小有两种可能．如图所示，F1的两个解分别对应于、，由三角形的特点和对称性得CB＝BD＝)＝F，所以F1＝F±F，A、C正确．]
[跟进训练]
1．(多选)如图所示，光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法中正确的是(　　)
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力
B．物体受到mg、FN、F1、F2四个力的作用
C．物体只受到重力mg和斜面的支持力FN的作用
D．力FN、F1、F2三个力的作用效果与mg、FN两个力的作用效果相同
CD　[F1是重力沿斜面方向的分力，这个力有使物体下滑的效果，F2不是物体对斜面的压力，因为物体对斜面的压力的受力物体是斜面但不是物体，而F2作用在物体上，故A错误；物体只受重力和支持力两个力，故B错误，C正确；力FN、F1和F2三个力的作用效果跟FN、mg两个力的作用效果相同，故D正确．]
2．如图所示，将一个力F＝10 N分解为两个分力，已知一个分力F1的方向与F成30°角，另一个分力F2的大小为6 N，则在该力的分解中(　　)
A．有唯一解 B．有两解
C．有无数组解 D．无解
B　[已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，知另一个分力的最小值为Fsin 30°＝5 N，而另一个分力大小大于5 N、小于10 N，所以分解的组数有两组解．如图所示．
]
力的正交分解法
若物体受力较少，如三个力，且有直角时，用合成法、分解法求解力都比较方便．如右图所示，物体受四个力的情况下求合力．
请探究：
(1)用什么办法比较好？
(2)请作出分解图．
提示：(1)这样的四个力依次求合力，一步步合成下去较麻烦，可用正交分解法来解决．
(2)如下图．
1．定义：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法．
2．正交分解法的应用步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x…
Fy＝F1y＋F2y…
3．坐标轴的选取原则：坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则：
(1)使尽量多的力处在坐标轴上．
(2)尽量使某一轴上各分力的合力为零．
4．正交分解法的适用情况：比较适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况．
【例3】　在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次是19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求这四个力的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[思路点拨]　①因F1、F4相互垂直，可选取F1、F4所在直线为x轴、y轴．
②分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，然后求总合力．
[解析]　建立如图所示直角坐标系，将力F2、F3分解到x、y轴上．
x轴上：Fx＝F1＋F2x－F3x＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝19 N＋40×0.8 N－30×0.8 N＝27 N
y轴上：Fy＝F2y＋F3y－F4＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝40×0.6 N＋30×0.6 N－15 N＝27 N
所以，合力大小F＝＝ N＝27 N
tan θ＝＝＝1
所以θ＝45°，即与x轴间夹角45°斜向右上．
[答案]　27 N，方向与x轴间夹角45°斜向右上
正交分解法求合力的步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，选择合适的方向，建立直角坐标系．
(2)正交分解各力：将不在坐标轴上的力分解到x轴、y轴上．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和Fx、Fy.
(4)求共点力的合力；合力大小F＝，合力的方向与x轴方向的夹角为α，则tan α＝.
[跟进训练]
3．如图所示，用绳AC和BC吊起一个重50 N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°，求绳AC和BC对物体的拉力大小．
[解析]　以C为原点建立直角坐标系，设x轴水平，y轴竖直，在图上标出FAC和FBC在x轴和y轴上的分力，即
FACx＝FACsin 30°＝FAC
FACy＝FACcos 30°＝FAC
FBCx＝FBCsin 45°＝FBC
FBCy＝FBCcos 45°＝FBC
在x轴上，FACx与FBCx大小相等，即
FAC＝FBC ①
在y轴上，FACy与FBCy的合力与重力大小相等，
即 FAC＋FBC＝50 N ②
由①②两式解得
绳BC的拉力FBC＝25(－)N
绳AC的拉力FAC＝50(－1)N.
[答案]　50(－1) N　25(－)N
1．物理观念：力的分解、正交分解．
2．科学思维：求解分力的方法和应用，“欲合先分”的思想方法．
3．科学方法：平行四边形法则、正交分解法、直角三角形法．
1．(多选)一个力F分解为两个力F1和F2，下列说法正确的是(　　)
A．F是物体实际受到的力
B．物体同时受到F1、F2和F三个力的作用
C．F1和F2的共同作用效果与F相同
D．F1、F2和F满足平行四边形定则
ACD　[在力的分解中，合力是实际存在的力，选项A正确；F1和F2是力F的两个分力，不是物体实际受到的力，选项B错误；F1和F2是力F的分力，F1和F2的共同作用效果与F相同，其关系满足平行四边形定则，故选项C、D正确．]
2．已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N，则(　　)
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
C　[已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，可知另一个分力的最小值为Fsin 30°＝25 N，而另一个分力大于25 N而小于50 N，所以有两组解，如图所示，故C正确，A、B、D错误．
]
3.(多选)如图所示，质量为m，横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖直墙面上，物块与墙面间的动摩擦因数为μ.F是垂直于斜面BC的推力，物块沿墙面匀速下滑，则摩擦力的大小为(　　)
A．mg＋Fsin α B．mg－Fsin α
C．μmg D．μFcos α
AD　[对物块受力分析可知，物块在重力mg、推力F、墙对物块的弹力FN及摩擦力Ff的作用下做匀速直线运动．由平衡条件知：物块在竖直方向上：Ff＝mg＋Fsin α，故A正确；水平方向上：FN＝Fcos α，而物块相对墙面滑动，故摩擦力也可以等于μFcos α，故D正确．]
4．如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力为(　　)
A．mgcos α B．mgtan α
C. D．mg
B　[如图所示，小球的重力mg的两个分力与FN1、FN2大小相等，方向相反，由几何关系知FN1＝mgtan α，球对挡板的压力F′N1＝FN1＝mgtan α.
]
5．(思维拓展)假期里，一位同学在厨房里帮助妈妈做菜，对菜刀产生了兴趣．他发现菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不一样，刀刃前部的顶角小，后部的顶角大(如图所示)．
问题：
(1)刀刃前部和后部厚薄不均匀，仅是为了打造方便，外形美观，跟使用功能无关对吗？
(2)请解释在刀背上加上同样的压力时，顶角越小，分开其他物体的力就越大．
[解析]　把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角形，设顶角为2θ，背宽为d，侧面长为l，如答图甲所示．
当在刀背施加压力F后，产生垂直于侧面的两个分力F1、F2，使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他物体．由对称性知，这两个分力大小相等(F1＝F2)，因此画出力分解的平行四边形，如答图乙所示．在这个力的平行四边形中，取其四分之一考虑(图中阴影部分)，根据它与半个劈的直角三角形的相似关系，刀背上加上一定的压力F时，侧面分开其他物体的力跟顶角的大小有关，顶角越小，sin θ的值越小，F1和F2越大．但是，刀刃的顶角越小时，刀刃的强度会减小，碰到较硬的物体刀刃会卷口甚至碎裂，实际制造过程中为了适应加工不同物体的需要，所以做成前部较薄，后部较厚的形状．使用时，用前部切一些软的物品(如鱼、肉、蔬菜、水果等)，用后部斩劈坚硬的骨头之类的物品，俗话说“前切后劈”，指的就是这个意思．
[答案]　(1)不对　(2)见解析
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