北师版数学八年级上册5.8 三元一次方程组 课件（31张）

5.8 三元一次方程组
北师大版 数学 八年级 上册
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
思考 若含有3个未知数的方程组如何求解？
导入新知
1. 了解三元一次方程组的有关概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.
素养目标
3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
提出问题 1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.

探究新知
知识点 1
三元一次方程（组）及其解的概念
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设甲数、乙数、丙数分别是x、y、 z，根据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=23,x-y=1,2x+y-z=20
类似于二元一次方程组，可以得到下边的方程组：
思考 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系，又如何求解？
探究新知
观察方程x+y+z=23
和2x+y-z=20

1．它们有什么共同特点？
它们都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1；
2．类比二元一次方程，你能说出这两个方程是什么方程吗？
是三元一次方程；
探究新知
4．你能得出什么是三元一次方程组的解？
是三元一次方程组，类比二元一次方程组，三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未知数，只要是一共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程，就是三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解.
探究新知
3．那么方程组
应该叫做什么方程组呢？
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．
探究新知
由此，我们得出三元一次方程组及其解的定义:

1.共含有三个不相同的未知数.
2.未知数的项的次数都是1.
3.共有三个一次方程.
三元一次方程组必须满足的三个条件：
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
探究新知
例 下列是三元一次方程组的是(　　)
A.　　　　　 B.
C. 　　　　　 D.
素养考点 1
三元一次方程组的判断
D
第二个方程含有未知数的项的次数不是1
第二个方程含有未知数的项的次数不是1
第一个方程不是整式方程
三个方程都是一次方程,且该方程组中一共含有三个未知数,故是三元一次方程组
下列方程组不是三元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
D
提示： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
巩固练习
变式训练
怎样解三元一次方程组呢？
①
②
③
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
知识点 2
探究新知
三元一次方程组的解法
解：由方程②得x=y+1④,把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤, 3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
把y=8代入④，得x=9.
所以原方程的解是
x=9,
y=8,
z=6.
探究新知
解方程组
例
类似二元一次方程组的“消元”,把“三元”化成“二元”.
①
②
③
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
探究新知
解三元一次方程组
①
②
③
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
探究新知
分析：方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一个只含x, z的方程, 与方程①组成一个二元一次方程组.
把 x＝5，z＝-2 代入②，得
因此，三元一次方程组的解为
你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.
探究新知
解三元一次方程组
①
②
③
例1 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
探究新知
素养考点 1
三元一次方程组求字母的值
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a=3，
b=-2
c=-5,
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
探究新知
已知 是方程组
的解,则a+b+c的值是____________.?
3
巩固练习
变式训练
例2 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物
铁
钙
维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
素养考点 2
探究新知
利用三元一次方程组解答实际问题
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
③
①
②
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
探究新知
(2)②-①×4,③-①,得
⑤
①
④
⑤+④,得
⑥
①
④
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
探究新知
某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻,棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表:
巩固练习
{3C2FFA5D-87B4-456A-9821-1D502468CF0F}农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正好够用?
变式训练
解:设安排x公顷种水稻,y公顷种棉花,z公顷种蔬菜.
依题意,得
答:安排15公顷种水稻,20公顷种棉花,16公顷种蔬菜.
巩固练习
解得：
(2019·黑龙江模拟)小明妈妈到文具店购买三种学习用品,其单价分别为2元、4元、6元,购买这些学习用品需要56元,经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交,结果只用了50元就买下了这些学习用品,则小明妈妈的购买方法有(　　)
A.6种　　　　B.5种　　　　C.4种　　　　D.3种
解析：设分别购买学习用品的数量为x,y,z.由题意得 ,
即 ①-②得:y+2z=16,所以y=16-2z③,所以满足x、y、z之间关系的取值可以是:当y=2时,z=7,x=3.当y=4时,z=6,x=2.
当y=6时,z=5,x=1.所以小明妈妈有3种不同的购买方法.
D
连接中考

1.方程 　　　　　3x＋y-z＝0,2x＋xy＝1, x＋5y－2z＝0，
x2－x＋1＝0中，三元一次方程的个数是 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1个　　 B. 2个　
C. 3个 　 D. 4个
B
基础巩固题
课堂检测
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
基础巩固题
课堂检测
3.解方程组
则x＝_____，y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
解析：通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y，
②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
6
8
3
基础巩固题
课堂检测
若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，
求a，b，c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组
解得
能力提升题
课堂检测
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
答：原三位数是368.
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
拓广探索题
课堂检测
解得：
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习