北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第1课时）导学案
【教学目标】
1．经理用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式；
2．能用求根公式解数字系数的一元二次方程．
教学重点：求根公式及其运用
教学难点：求根公式的推导
【教学过程】
推导求根公式：
用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，就可以得到一元二次方程的求根公式．
解：两边都除以二次项系数a，得
移项，得x2＋x＝－．
两边都加上（）2（一次项系数一半的平方）配方，得
．
∴．
∵a≠0,∴4a2＞0．当b2―4ac≥0时，≥0，此时两边开平方，得
x＋＝±,
∴x＋＝±．
∴x＝―±．
即:
x＝
(其中b2―4ac≥0)．
这就是说，对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2―4ac≥0时，它的根是：
x＝
(其中b2―4ac≥0)．
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
[例1]用求根公式解方程：
(1)
x2－7x－18＝0；
(2)
4x2＋1＝4x．
解：a＝____，b＝____，c＝____．
（提示：先将方程化为一般形式，再用公式．）
∵b2―4ac＝________________
＝____________,
∴x＝________________＝____________．
∴x1＝____，x2＝________．
请你仿照解方程（1）的方法解方程（2）．
[例题小结：]
本例中，方程(1)
x2－7x－18＝0的b2―4ac＞0,这个方程有两个不相等的实数根：x1＝9，x2＝－2．
方程
(2)
4x2－4x＋1＝0的b2―4ac＝0,这个方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝．
[跟踪练习]
1．用公式解下列方程：
(1)
2x2－9x＋8＝0；
(2)
9x2＋6x＋1＝0；
(3)
16x2＋8x＝3；
(4)
x(x－3)＝0．
(5)
2x2―4x＝0；
(6)
5x＋2＝3x2．
[本课方法总结：]
1．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，就可以得到一元二次方程的求根公式．
x＝
(其中b2―4ac≥0)．
应用求根公式解方程需注意：
(1)
要先把方程化为一般形式，再确定a，b，c的值（注意它们的符号）；
(2)
求根公式成立的条件是：b2―4ac≥0，即只有b2―4ac≥0时，才可以用求根公式解方程．
2．通过例题、习题的求解，我们还发现：
对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
(1)
当b2―4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，即x1＝，x2＝；
(2)
当b2―4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－．
[问题与思考：]
(1)对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果b2―4ac＜0时，还能用求根公式解方程吗？为什么？
(2)能解方程x2－2x＋3＝0吗？它的根的情况是怎样的？
答案
例1
（1）x1＝9，x2＝-2；
（2）x1＝x2＝；
跟踪练习：
1．（1）x1＝，x2＝；
（2）x1＝x2＝－；
（3）x1＝，x2＝－；
（4）x1＝0，x2＝3；
（5）x1＝0，x2＝2；
（6）x1＝，x2＝－2；北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第1课时）同步练习
1．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是：
x＝
（其中b2－4ac
0
）
2．方程3x2－5x－2＝0的两个根是(
)
A．x1＝1，x2＝
B．x1＝2，x2＝－
C．x1＝1，x2＝－1
D．x1＝－2，x2＝－
3．关于的方程x(x＋6)＝16的解为(
)
A．x1＝2，x2＝2
B．x1＝8，x2＝－4
C．x1＝－8，x2＝2
D．x1＝8，x2＝－2
4．[2013·福州]下列一元二次方程有两个相等实数根的是(
)
A．x2＋3＝0
B．x2＋2x＝0
C．(x＋1)2＝0
D．(x＋3)(x－1)＝0
5．若实数范围内定义一种运算“
”，使a
b＝＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)
5＝0的解为(
)
A．x＝－2
B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝，x2＝
D．x1＝，x2＝
6．若x1＝－1是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个根，则方程的另一个根x2＝__________．
7．若x2＋1与4x2－3x－5互为相反数，则x的值为___________．
8．
用公式法解方程：
⑴
x2－5x＋2＝0
⑵
x2＝6x＋1
⑶
2x2－3x＝0
⑷
3x2＋6x＝5
9．用适当方法解下列方程：
⑴(3x＋1)2－9＝0
⑵x2＋4x－2＝0
⑶2x2－3x＋3＝0；
⑷(3x＋2)(x＋3)＝x＋14
10．如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850
m2，道路的宽应为多少m?
11．在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少?
12．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止;动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．何时点P和点Q之间的距离是10
cm?
答案
1．x＝(b2－4ac≥0)
2．B
3．C
4．C
5．B
6．5
7．x1＝，x2＝-；
8．（1）x1＝，x2＝；
（2）x1＝3＋，x2＝3－；
（3）x1＝0，x2＝；
（4）x1＝－3＋2，x2＝－3－2；
9．（1）x1＝，x2＝－；
（2）x1＝－2＋，x2＝－2－；
（3）x1＝2，x2＝；
（4）x1＝，x2＝－4；
10．道路的宽应为1m；
11．金色纸边的宽应该是5cm；
12．运动到s或s时，点P和点Q之间的距离是10
cm．北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第2课时）导学案
【教学目标】
1．理解一元二次方程根的判别式；
2．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．
教学重点：一元二次方程根的判别式
教学难点：理解一元二次方程根的判别式
【教学过程】
[知识回顾：]
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是：
x＝
(其中b2―4ac≥0)．
这个公式成立的条件是：b2―4ac≥0．
那么，有没有b2―4ac＜0的一元二次方程呢？如果有，这样的方程的解的情况又是怎样的？
[问题探究：]
对于方程x2－2x＋3＝0，有a＝1，b＝－2，c＝3，得b2―4ac＝(－2)
2―4×1×3＝－8＜0,
不满足b2―4ac≥0的条件，所以该方程不能用求根公式求解．
事实上，将方程x2－2x＝―3，配方，得x2－2x＋1＝―3＋1，
即(x－1)
2＝－2．
∵x取任何实数时，总有左边＝(x－1)
2≥0,而右边＝－2＜0,
∴x取任何实数时，都不能使(x－1)
2＝－2成立，即方程(x－1)
2＝－2无实数根．也就是方程x2－2x＋3＝0无实数根．
[归纳总结，得出结论：]
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
(1)
当b2―4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，（x＝）
(2)
当b2―4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，（x1＝x2＝－）
(3)
当b2―4ac＜0时，方程无实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由b2―4ac来判定．我们把b2―4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用“△”（读：delta）来表示．
[例1]不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)
2x2＋5＝7x；
(2)
4x(x－1)＋1＝0；
(3)
(x＋1)(4x＋1)＝2x．
[跟踪练习1]
1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)
5x2＋x＝7；
(2)
25x2＋20x＋4＝0；
(3)
x2－2x＋3=0．
[例2]
若关于x的一元二次方程(k－1)
x
2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．
[跟踪练习2]
1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（
）
A．m＜1
B．m≥1
C．m≤1
D．m＞1
2．关于的一元二次方程x2＋kx－2＝0根的情况是
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________．
4．已知关于x的一元二次方程kx2－2(k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
5．关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有两个实数根，求k的取值范围；
[本课知识、方法总结：]
1．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作：△＝b2－4ac，
(1)当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；即x1＝，x2＝；
(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根；即x1＝x2＝－．
(3)当△＜0时，方程无实数根．反过来也成立．
[拓展延伸：]
1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏总长40m．
(1)
鸡场的面积能达到180m2吗？
(2)
鸡场的面积能达到200m2吗？
(3)
鸡场的面积能达到250m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（提示：设平行于墙的一边为x
m）
答案
例1（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根；
[跟踪练习1]
1．（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程有两个不相等的实数根；
例2
解：根据题意，得
解得k＞且k≠1．
[跟踪练习2]
1．D
2．A
3．k＜－
4．k的取值范围是k＞－且k≠0．
5．k的取值范围是k≥且k≠2．
[拓展延伸：]
1．解：设平行于墙的一边长为x米，则垂直于墙的一边长为米，鸡场的面积为x·平方米．
（1）当x·＝180时，解得
x1＝20－2，x2＝20＋2（不合题意，舍去）．
∴鸡场的面积能达到180m2，此时鸡场平行于墙的一边长为（20－2）米，垂直于墙的一边长为（10＋20）米．
（2）当x·＝200时，解得
x1＝x2＝20．
∴鸡场的面积能达到200m2，此时鸡场平行于墙的一边长为20米，垂直于墙的一边长为10米．
（3）当x·＝250时，整理，得
x2－40x＋500＝0．
∵△＝1600－4×1×500＜0，
∴该方程没有实数根．
∴鸡场的面积不能达到250m2．北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第2课时）同步练习
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是：
，通常用“△”来表示．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况：
(1)
当b2―4ac＞0时，
(2)
当b2―4ac＝0时，
(3)
当b2―4ac＜0时，
3．方程x2＋7＝8x的根的情况是(
)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
4．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(
)
A．a＜2
B．a＞2
C．a＜2且a≠1
D．a＜－2
5．若关于的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k＞－1
B．k＜1且k≠0
C．k≥－1且k≠0
D．k＞－1且k≠0
6．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（
）
A．34
B．30
C．30或34
D．30或36
7．若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是 ．
9．
若│b－1│＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，则k的取值范围是___________．
10．不解方程，判定下列方程根的情况：
(1)x2＝3x－8；
(2)x2＋5x＝10；
(3)
x2－4x＋4＝0．
11．将一条长为56cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝都围成一个正方形．
（1）要使围成的两个正方形的面积之和为100cm2，该怎样剪？
（2）要使围成的两个正方形的面积之和为196cm2，该怎样剪？
（3）要使围成的两个正方形的面积之和为200
cm2吗？为什么？
12．当m为何值时，关于x的一元二次方程2
x2－(4m＋1)x＋2m2－1＝0．
⑴有两个不相等的实数根？
⑵有两个相等的实数根？
⑶没有实数根？
13．已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0．
⑴求证:方程恒有两个不相等的实数根；
⑵若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
14．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
15．已知关于x的一元二次方程kx2＋2（k＋4）x＋（k﹣4）＝0
（1）若方程有实数根，求k的取值范围
（2）若等腰三角形ABC的一条边长a＝3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
答案
1．b2－4ac
2．（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根；
3．A
4．C
5．D
6．A
7．B
8．0
9．k≤4或k≠0
10．（1）方程没有实数根；
（2）方程有两个不相等的实数根；
（3）方程有两个相等的实数根；
11．（1）一段为24cm，另一段为32cm；
（2）不可能；
（3）不可能；
12．（1）m＞－；
（2）m＝－；
（3）m＜－
13．（1）略
（2）三角形的周长为4＋．
14．m＝1，x1＝x2＝1；
15．（1）k≥－且k≠0；
（2）△ABC的周长为7或．
