21.2.2
公式法（第2课时）
自主预习
1.
用公式法解下列方程：
(1)
x2＋3x－4＝0；
(2)
x2－16x＋64＝0；
(3)
x2+x＋4＝0；
(4)
x2＋4＝0
.
在上面的4个方程中，能否不解就知道它的根的情况呢？
2．不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）x2＋3x－5＝0;
（2）9y2＋16=24y.
互动训练
知识点一：用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（
）
A.x2－9x+100=0
B.
5x2+7x+5=0
C.16x2－24x+9=0
D.
x2+4x－6=0
2．当4q>p2时，方程x2－px+q=0的根的情况是（
）
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.
不能确定有没有实数根
3.方程x2=0的实数根的个数是
(
)
A
.1个
B
.2
个
C
.0
个
D
.以上答案都不对
4．不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)5x2＋2x－1＝0；
(2)16y2＋1＝8y；
(3)
3x2+3=2x.
知识点二：含有字母系数的一元二次方程根的情况的判别
5.关于x的一元二次方程x2－3x＋2－m2＝0的根的情况是
(
)
A.
有两个不相等的实根
B.
有两个相等的实根
C.
无实数根
D.
不能确定
6.方程2x2－4x－k=0有两个相等的实数根，则k的值为（
）
A.－1
B.－2
C.1
D.2
7.关于x的方程2x2－(2m+1)
x+m=0的根的判别式的值是9，则m=
.
8.关于x的方程mx2－2x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是
.
9.已知关于x的方程kx2－4kx+k－5=0有两个相等的实数根，求k的值并解这个方程.
10.已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1=0，当k取什么值时，方程有两个实数根.
课时达标
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根的判别式为___________．
2.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
（1）当b2－4ac>0时，一元二次方程有两个
的实数根；
（2）当b2－4ac=0时，一元二次方程有两个
的实数根；
（3）当b2－4ac______0时，一元二次方程没有实数根．
3.若方程2x2－mx+3=0有两个相等的实数根，则m=______．
4.若关于x的一元二次方程x2+6x+k－1=0有实数根，则k的取值范围是______．
5.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（
）
A．x2+1=0
B．x2+2x+1=0
C．x2+2x+3=0
D．x2+2x－3=0
6.若关于的一元二次方程x2－2x－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（
）
A.k＞-1
B.
k＞-1且k≠0
C.
k＜1
D.
k＜-1且k≠0
7.关于x的一元二次方程x2－x－k2=0根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
8.不解方程，判别方程x2－x－1=0根的情况．
解：这里a=1，b=－，c=－1．
所以b2－4ac=（－）2－4×1×（－1）
=3＋4=7>0．
所以方程x2－x－1有______实数根．
9．不解方程，判别下列方程根的情况．
（1）2x2－x=0
；
（2）x（2x－4）=－（5＋8x).
10．若方程kx2－（2k+1）x+k=0有实数根，求k的值，并求出方程的解（用含k的式子表示）
拓展探究
1．若关于x的方程m2x2+(2m+1)
x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。
2.求证：关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根．
22.2.2
公式法（第2课时）答案
自主预习
1．（1）x1=－4,x2=1;
(2)
x1=x2=8
(3)
无实数解
（4）无实数解
2．解：（1）∵△=32－4×1×（－5）=9＋20=29＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
（2）原方程可变形为9y2－24y＋16=0，
∵△=(－24)2－4×9×16=0,
∴原方程有两个相等的实数根.
互动训练
1．D
2．C
3.
B.解析：因△＝b2－4ac＝0-4×1×0=0，所以方程有两个相等的实数根，即x1=x2=0.
4.
解：(1)∵△＝b2－4ac＝22－4×5×(－1)＝4＋20=24＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)原方程移项，得16y2－8y＋1＝0，∵△＝b2－4ac＝(－8)2－4×16×1＝64－64＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程移项，得3x2-2x+3=0，∵△＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×3＝24－36
＝-12＜0，∴原方程没有实数根．
5．A.
解析：∵△＝b2－4ac＝（-3）2－4×1×(2－m2)＝9-8+4m2=4m2+1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．答案为：A.
6.
B.
解析：∵原方程有两个相等的实数根,
∴△＝b2－4ac＝（-4）2－4×2×(－k)＝16+8k=0，∴k=－2．答案为：B.
7．m=－1或m=2；
8．m≤1且m≠0
.解析：∵方程mx2－2x+1=0有两个实数根，
∴△＝b2－4ac＝（-2）2－4×m×1＝4-4m≥0，即m≤1,又因二次项系数为m≠0,所以，m的取值范围是：m≤1且m≠0
.
9.解：△＝(－4k)2－4·k(k－5)=12k2＋20k
，∵
方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即12k2＋20k=0，解得k1=0,
k2=－,
又∵
k=0时，方程不是一元二次方程，不能有两个实根，
∴
k=0不符合题意，应舍去.
∴
k=－
.
把k=－代入原方程，原方程即为x2－4x＋4=0.
∴x1=x2=2.
10.解：将原方程整理，得：4x2-4(k+1)x+k2+4=0,
△＝16(k+1)2－4·4(k2+4)=32k－48
，
∵
方程有两个实数根，∴32k－48≥0，即k≥.
课时达标
1．b2－4ac
2．（1）不相等，（2）相等，（3）<
3．±2
4．k≤10
5．D
6.
A
7．B
8．两个不相等
9．解：（1）a=2，b=－1，c=0，b2－4ac=（－1）2－4×2×0=1>0，原方程有两个不等实数根．
（2）原方程变形为2x2+4x＋5=0，a=2，b=4，c=5，b2－4ac=42－4×2×5=16－40=－24＜0，
∴原方程没有实数根．
10．解：（1）当k=0时，原方程为一元一次方程．
即－x=0，即x=0．
（2）当k≠0，（2k+1）2－4k2=4k2+4k+1－4k2=4k+1≥0，
4k≥－1，即k≥－．
当k≥－且k≠0时，方程有两个实数根x=．
拓展探究
1.
解：∵
方程有两个实数根，
∴
即
解得m＞－且
m≠0,
∴
当m≥－且m≠0时，方程有两个实数根。
2.
证明：∵△＝恒成立，
∴方程有两个不相等的实数根．21.2.2
公式法（第1课时）
自主预习
1.
用配方法解下列方程
（1）6x2－7x+1=0；
（2）x2－3x=1.
互动训练
知识点一：求根公式
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是
，条件是
．
2.当x=
时，代数式x2－8x+12的值是－4．
3.用公式法解方程4x2－12x=3，得到（
）．
A．=
B．=
C．=
D．=
4.方程x2+4x+6=0的根是（
）．
A．x1=，x2=
B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2=
D．x1=x2=－
5.用公式法解下列方程．
（1）2x2－4x－1=0；
（2）5x+2=3x2；
（3）（x－2）（3x－5）=0；
（4）4x2―3x+1=0.
6．解方程x2+4x=2.
有一位同学解答如下：
这里a=，b=4，c=2
∴b2-4ac=(4)2－4××2=32
∴=
∴
x1=－+2，x2=－－2.
请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果．
知识点二：用公式法解一元二次方程
7.若关于x的一元二次方程（m－1）x2+x+m2+2m－3=0有一根为0，则m的值是_____．
8.若x（x－2）－8=0，则x的值是（
）．
A．4
B．－2
C．4或－2
D．－4或2
9.用公式法解下列方程：
（1）2+2－1=0；
（2）t2－2t=－1；
（3）3y2＋1=2y；
（4）x2＋7=2.5x.
课时达标
1.使用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的前提条件是
．
2.在一元二次方程2x2－5x－3=0中，b2－4ac=
．
3.在一元二次方程x2－2x+3=0中，b2－4ac=
（－2）2－4×1×3=______，
所以x1,2==
，即x1=
，x2=
．
4.用公式法解方程x2－3x－1=0正确的解为（
）
A．x1,2=
B．x1,2=
C．x1,2=
D．x1,2=
5．判断下列方程的解法有无错误，有错误，请改正．
解方程：3（x+1）（x－2）=4x.
解：方程变形，得3（x2－x－2）=4x，即3x2－7x－6=0．
这里a=3，b=7，c=－6．所以x=．
∴x1=－3，x2=．
6.用公式法解下列方程：
（1）3x2=2－5x；
（2）y2－4y=1；
（3）（x+1）（x－1）=2x.
7.
(2020江苏省无锡市)解方程：x2+x－1＝0.
拓展探究
1.
用公式法解关于x的方程：x2－2ax－b2＋a2=0．
2.解关于的方程（m－1）x2＋2mx＋m＋3＝0.
21.2.2
公式法（第1课时）答案
自主预习
1．（1）x1=1,
x2=
（2）x=
互动训练
1．x=，b2－4ac≥0
2．4；
3．D
4．D
5．（1）x1=，x2=（2）x1=2，x2=－
（3）x1=2，x2=
（4）a=4，b=－3，c=1，
b2－4ac=（－3）2－4×4×1=－7<0,
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
6．有错误.
错误的原因是没有先将方程化为一般形式，再使用公式，常数项c
应为－2，结果应该是：－±2．
7．－3.
解析：将x=0代入方程，得：m2+2m-3=0,
应用公式法解得，m1=-3,
m2=1，又因该方程二次项系数为m-1≠0，所以m=3.答案为：3.
8．C.
解析：原方程可化为：x2-2x-8=0,
利用公式法可得，x1=4,
x2=-2,
答案为：C.
9．（1）x1=－1＋,
x2=－1－；
（2）t1=,
t2=；解析：将方程整理得：2t2-6t+3=0，在利用公式法.
（3）y1=
y2=
（4）没有实数根．
课时达标
1．b2-4ac≥0
；
2．49；
3．0，0，，，
4．D
5．解：错误，b=－7而不是b=7，正确的解
x1==3，x2==－．
6．解：（1）原方程变形为：3x2+5x－2=0，
a=3，b=5，c=－2，
b2－4ac=52－4×3×（－2）=25+24=49．x==．
所以x1=－2，x2=．
（2）原方程变形为：3y2－8y－2=0．
a=3，b=－8，c=－2．
b2－4ac=（－8）2－4×3×（－2）=64+24=88．
x1,2==．所以x1=，x2=．
（3）原方程变形x2－2x－1=0．a=1，b=－2，c=－1．
b2－4ac=（－2）2－4×1×（－1）=8+4=12．
所以x1,2==．故x1=+，x2=－．
7.
解：∵a＝1，b＝1，c＝－1，∴b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5，
x＝，
∴
x1＝，x2＝.
拓展探究
1．x==a±│b│
当b≥0时，x=a±b,
当b＜0时，x=a±(-b)=a±b,
∴
x=a+b或x=a-b.
2．解：当m－1=0时，即m=1时,
原方程为2x＋4=0
∴
x=－2
当m－1≠0时，即m≠1时
∵a=m－1，b=2m，c=m＋3，
∴
b2－4ac=(2m)2－4(m－1)(m＋3)=4(3－2m)
当(3－2m)＞0时，即m＜且m≠1时，
方程有两个不相等的实数根，
当3－2m＝0，即m＝时，
方程有两个相等的实数根：x1=x2=3
当3－2m＜0，即m＞时，方程没有实数根。
