11.1.2三角形的高、中线和角平分线评价练习
一、选择题
1.下列说法正确的是（???
）
A．三角形的角平分线、中线、和高都在三角形内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的高至少有一条在三角形内部
D．三角形的三条高的交点不在三角形内，就在三角形外
2．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝76°，则∠EAD的度数是(
)
A．19°
B．20°
C．18°
D．28°
3．已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为(
)
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
4.三角形的高、中线和角平分线都是（ ）
A．直线???B．射线
C．线段???D．以上答案都不对
5．在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，则△ABC边AB上的高为（ ）
A．8
B．9.6
C．10
D．12
6．如图，在△ABC中，BD⊥AC交AC的延长线于点D，则AC边上的高是(
)
A．CD
B．AD
C．BC
D．BD
7．如图，AE是的中线，已知，，则BD的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
8.如图：在△ABC中，BE、CD分别是AC、AB边上的中线，BE与CD相交于点O，则
(???
)
A.
????B.
????C.
????D.
二、填空题
9．如图，若BD＝DE＝EC，则AD是△______的中线，AE是△_______的中线．
10.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACD的平分线相交于点D，
∠ADC=130°，则∠BAC的度数________．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM⊥AB于M，若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是_____．
12．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是_____．
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，BC＝12，AB＝6，AD＝4，则CE＝_____．
14．在△ABC中，∠A＝60°，CD是△ABC的高线，则∠ACD＝_______．
三、解答题
15.已知：如图，在中，．
（1）求作：的角平分线
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
16.如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠A=30°，∠B=50°，求∠ECD的度数；
（2）试用含有∠A、∠B的代数式表示∠ECD
17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．
18．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高．
（1）若∠ACB＝100°，求∠CAE的度数；
（2）若S△ABC＝12，CD＝4，求高AE的长．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积等于10？
答案
1.
C
2．
A
3．
B
4.
C
5．
B
6．
D
7．
A
8.
A
9．
10.
20°
11．
90
12．
2
13．
8．
14．
30°
15.
（1）以A点为圆心画圆弧分别交AB、AC于两点，再分别以这两点为圆心画等半径的圆弧并交于一点，将此点与A点连接起来交BC于点D，即可得角平分线AD；如图
（2）3.
16.
（1）利用高的定义和互余得到∠BCD=90°-∠B，再根据角平分线定义得到∠BCE=∠ACB，接着根据三角形内角和定理得到∠ACB=180°-∠A-∠B，于是得到∠BCE=90°-（∠A+∠B），然后计算∠BCE-∠BCD得到∠ECD=（∠B-∠A），再把∠A=30°，∠B=50°代入计算即可；
（2）直接由（1）得到结论．
试题解析：（1）∵CD为高，∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B，∵CE为角平分线，
∴∠BCE=∠ACB，而∠ACB=180°-∠A-∠B，
∴∠BCE=（180°-∠A-∠B）=90°-（∠A+∠B），
∴∠ECD=∠BCE-∠BCD
=90°-（∠A+∠B）-（90°-∠B）=（∠B-∠A），
当∠A=30°，∠B=50°时，∠ECD=×（50°-30°）=10°；
（2）由（1）得∠ECD=（∠B-∠A）．
17．
解：∵∠ABC＝∠C＝70°，BD
平分∠ABC，
∴∠DBC＝35°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝70°+35°＝105°．
18．
解：（1）∵AE是BC边上的高，
∴∠E＝90°，
又∵∠ACB＝100°，∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝80°，
∵∠CAE+∠ACE+∠E＝180°
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣80°＝10°；
（2）∵AD是BC上的中线，DC＝4，
∴D为BC的中点，
∴BC＝2DC＝8，
∵AE是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABC＝BC?AE，
即×8×AE＝12，
∴AE＝3．
19．
解：
∵BC＝8cm，点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝4cm，
当点P在线段AC上，即0＜t≤3时，如图1所示，
AP＝2t，
∵∠C＝90°，
∴S△APE＝AP?CE＝4t＝10，
解得：t＝；
当点P在线段CE上，即3≤t＜5时，如图2所示，
AC＝6cm，PE＝（10﹣2t）cm，
∴S△APE＝AC?PE＝3（10﹣2t）＝10，
解得：t＝．
综上所述：当t为秒或秒时，△APE的面积等于10．
试卷第4页，总4页11.1.2三角形的高、中线和角平分线随堂练习
一、选择题
1．如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，已知△ABC的面积为10，则△ADE的面积为（ ）
A．5
B．3
C．2.5
D．2
3．如图所示，AD是△ABC的高，延长BC至E，使，的面积为，△ACE的面积为，那么（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
4．若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（
）
A．BD＝CD
B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD
D．BD＝CD且AD⊥BC
5.下列四个图形中，线段BE是△ABC高的是（?
）
A．????B．??
C．??D．??
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以原点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE交BC于点D，若BD＝5，AB＝15，△ABD的面积30，则AC+CD的值是（ ）
A．16
B．14
C．12
D．5+4
7.如图，AD,CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，
则BC的长是（???
）
A．10???B．10.8????C．12?????D．15?
8.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在三边上,E是AC的中点,AD,BE,CF交于一点G,BD＝2DC,S△BDG＝8,S△AGE＝3,则S△ABC＝(???
)
A．25??????B．30
C．35??????D．40
二、填空题
9．如图，△ABC中，D、E、F为BC、AD、BE的中点，若△CEF的面积是3，则△ABC的面积是________．
10．如图,
BD和
DE分别是△ABC和△ABD的中线，若△ABC的面积为
16cm?，则△EBD的面积为
________
cm?.
11.如图，已知BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于D，若，则等于________.
12．如图，D、E分别是边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设的面积为
的面积为，若，则的值为____________.
13．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE边上的中点，且S△ABC＝16
cm2，则S△BEF＝_________．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝________．
三、解答题
15.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，
（1）求CD的长；
（2）若AE是BC边上的中线，求△ABE的面积．
16．作BC边上的中线AD，作∠B的角平分线线BE．
17．
如图，在△DBC
中，DB＝DC，A
为△DBC
外一点，且∠BAC＝∠BDC，DM⊥AC
于
M．
（1）求证：AD
平分△ABC
的外角；
（2）判断
AM、AC、AB
有怎样的数量关系，并证明你的结论．
18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，
（1）求CD的长；
（2）若AE是BC边上的中线，求△ABE的面积．
答案
1．
D
2．
C
3．
B
4．
A
5.
D
6．
A
7.
B
8.
B
9．
12
10．
4
11.
115°
12．
1
13．
4cm2
14．
105°
15.
（1）4.8；（2）12cm2
16．
解：如图，△ABC的中线AD，角平分线BE即为所求．
17．
解（1）证明：如图
1
中，作
DN⊥BA
交
BA
的延长线于点
N．
∵∠BAO＝∠ODC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABO＝∠DCO，
∵DM⊥AC，DN⊥AB，
∴∠DNB＝∠DMC＝90°，
∵DB＝DC，
∴△DNB≌△DMC（AAS），
∴DN＝DM，∵DM⊥AC，DN⊥AB，
AD
平分△ABC
的外角；
（2）结论：AC﹣AB＝2AM．
理由：∵DN＝DM，DA＝DA，∠DNA＝∠DMA＝90°，
∴Rt△DNA≌Rt△DMA（HL），
∴AN＝AM，
∵△DNB≌△DMC（AAS），
∴BN＝CM，
∴AC﹣AB＝AM+CN﹣（BN﹣AN）＝2AM．
18．
解：(1)∵CD是AB边上的高，
∴△ABC的面积=AC?BC=AB?CD，
∴CD==cm；
(2)∵△ABC的面积=AC?BC=×5×12=30cm2，
∵AE是BC边上的中线，
∴△ABE的面积=S△ABC=15cm2．
故答案为：(1)cm；(2)15cm2.
