人教版数学八年级上册：11.2.1三角形的内角 课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
11.2.1
三角形的内角和
学
习
目
标
1
1.掌握三角形内角和定理及其推论
2.会用添加辅助线的方法进行证明
3.灵活运用三角形内角和定理
重点
：
1、能用多种方法证明三角形内角和定理
2、会在证明中添加合适的辅助线。
3.证明三角形内角和的主要思想为：转化思想。
三角形两边的夹角叫做三角形的内角
三角形的内角
如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?
想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?
30+60+90=180
45+45+90=180
思考与探索
把三个角拼在一起试试看
三角形的内角和是180度。
方法一：
A
B
C
1
2
3
方法二:
将各角沿着一边所在的直线折叠
如果△ABC是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来再分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论证∠A+∠B+∠C=
180゜呢？
三角形内角和定理：三角形的内角和等于1800.
证明：过点A作l∥BC
所以∠2=∠4（两直线平行,内错角相等）
同理∠3=∠5
所以∠1+∠4+∠5=1800（平角定义）
所以∠1+∠2+∠3=1800（等量代换）
已知：△ABC.
A
B
C
E
F
求证：∠A
+∠B
+∠C
=180°
l
1
2
3
因为l
∥BC
因为∠1，
∠4，
∠5组成平角
5
4
证法一：2对内错角+平角
2
1
E
D
C
B
A
内错角+同位角+平角
延长BC到D，
过C作CE∥BA，
∴
∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法二
(等量代换)
C
B
E
A
内错角+同旁内角
过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
证法三
(等量代换)
E
D
C
B
A
外角+邻补角
延长BC到D，
∴
∠ACD=∠A+
∠
B(外角的定义)
∵
∠ACD+∠ACB=180°(邻补角)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法四：
(等量代换)
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
思路总结
三角形内角和定理:
三角形的内角和等于1800.
即在△ABC中，
∠A
+∠B
+∠C=180
°
(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?
（2）60°，
40°，
90°
（3）30°，
60°，
50°
（1）3°，
150°，
27°
（是
）
（
不是）
（
不是）
巩固练习
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800
–(∠B+∠C).
∠B=1800
–(∠A+∠C).
∠C=1800
–(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C.
∠B+∠C=1800-∠A.
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
三种语言
?
A
B
C
C
B
A
2.推论：
直角三角形中，两锐角互余。
即在直角
△A
B
C
中，若∠C
=90°，
则∠A
+∠B
=90
°。
定理应用
三角形的三内角和是180?
，所以三内角可能出现的情况：
一个钝角
两个锐角
钝角三角形
锐角三角形
一个直角
两个锐角
直角三角形
三个都为锐角
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
例1：已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
由三角形内角和为180°得
x+3x+5x=180°
解得　　x=20°
所以三个内角度数分别为20°,60°,100°。
思考：在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ=
∠B=
∠
C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？
解:设∠A=x°,
那么∠B=2x°,∠C=3x°
根据题意得:
解得
∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°
所以△ＡＢＣ是直角三角形
如图：在△ABC中,∠ＢAＣ=４０°，
∠B=７５°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB的度数？
例2、
?
在△ABD中,
∠ADB=１８0°－∠B－∠BAD，
=
180
°-75
°-20
°=85
°
C
A
B
D
A
B
C
已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A
,
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
D
解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0
∴x＋2x＋2x＝180
（三角形内角和定理）
解得x＝36
∴∠C＝2×360＝720
∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）
在△BDC中，∵∠BDC＝900
(三角形高的定义）
∴∠DBC＝180
?
例题讲解3
如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求下面各题.
（1）∠DAC＝_____
∠DAB＝______
∠EBC＝_______
∠CAB
＝
______
A
(2)从C岛看A
、B两岛的视角∠C是多少?
50°
80°
40°
D
B
C
E
北
北
解：∵
AD∥BE
∴
∠DAB﹢∠ABE＝180°
∴
∠ABE
＝
180°－∠DAB
＝
180°
－
80°
＝100°
在△ABC中,∠C
＝
180°
－
∠CAB
－
∠ABC
＝
180°－30
°－60
°＝90°
∴
∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE
30
°
＝100°﹣40°＝60°
例题讲解4
方法一
D
C
E
北
A
50°
∟
B
40
°
北
M
N
在△AMC中
∠AMC=90°,
∠MAC=50°
解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N
1
2
方法二
∴∠1=180
°-90°-50°
=40°
∵
AD∥BE
∴
∠AMC+
∠BNC
=180
°
∴
∠BNC
=90°
同理得∠2
=50°
∴
∠ACB
=180
°
-∠1
-∠2
=180
°-40°-50°
=90°
B
D
C
E
北
A
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
1
2
50°
40°
解：
过点C画CF∥AD
∴
∠1＝∠DAC＝50
°,
F
∵
CF∥AD,
又AD
∥BE
∴
CF∥
BE
∴∠2＝∠CBE
＝40
°
∴
∠ACB＝∠1﹢∠2
＝50
°﹢
40
°
＝90
°
方法三
变式训练
如图，B处在A处的南偏西45
°方向，C处在A处的南偏东15
°方向，C处在B处的北偏东80
°方向，求∠ACB的度数。
思考1.
如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A＝70°,∠ADE＝50°,
求∠BDC的度数.
A
B
C
D
E
解:
∵∠A＝70°
∴∠ACB=180
°-∠A-∠B
=180°-70°-50°
=60°
∵DE//BC
∴∠B=∠ADE＝50°
∵
CD平分∠ACB
巩固练习
思考2：如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结
PB、PD，交CD于E点。
则∠
B、
∠
D、
∠
P
之间是否存在一定的大小关系？给出证明。
A
B
C
P
D
E
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠
B=43
°∠C=
.
（2）在△ABC中，
∠A
:∠B:∠C=2:3:4则∠A
=
___
∠
B=
∠
C=
.
（3）
∠A
：
∠B
：∠C=3：2：1，问
△ABC是___三角形.
（4）
∠A
－∠C
=35
°∠B
－∠C
=10
°，则∠B
=？
（5）一个三角形中最多有
个直角，最多有___
个钝角，最多有__个锐角，至少有
个锐角。
（6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为
.（至少有一个角的度数小于或等于60）
应用新知
(7).△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是(
)
A、锐角三角形　B、直角三角形
C、钝角三角形　D、等腰三角形
(8).
一个三角形至少有（
）
A、一个锐角
B、两个锐角
C、一个钝角
D、一个直角
B
B
巩固练习
（9）（2014聊城中考）在△ABC中，三个内角满足∠B-
∠A=
∠C-
∠B，求∠B的度数。
（10）（2014资阳中考）如图，AB⊥BD,AC
⊥CD,
∠A=35
°,求∠D的度数。
（11）如图，直线l1
//l2,
∠1=55。，
∠2=65。，求∠3的度数。
（12）如图，DE//FG，AC
⊥AB，
AC交FG于点C，∠1=60。,求∠2的度数。
（13）如图，将含有30。角的三角板放在两条平行线之间，已知∠1=20
。
，求∠2的度数。
（1）
（2）
（14）如图，在△ABC中，BE、CF是△ABC的高，交点为H，(1)∠ABC=66。，∠ACB=54。，求∠BHC的度数。
(2)探讨∠FHC与∠A的数量关系。
(15)如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ABC=66。，∠ACB=54。，DE
⊥AC于点E，求∠ADE的度数。
（16）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB。（1）当∠A=60。，求∠BOC的度数。
（2）当∠A=x。,求∠BOC的度数。
17.如图，
BC
与AD相交于点E，探讨∠A+
∠B与∠C+
∠D的数量关系.
(18)如图，在△ABC中，
∠C
>
∠B,
AE平分∠
BAC交BC于E，过点A作△ABC的高AD，
(1)已知∠B=30
。
，
∠C=70
。
，求∠EAD的度数。
（2）探讨∠EAD与∠B、
∠C的数量关系。
（3）点F在射线AE
上，FD
⊥BC于点D，探究∠EFD与∠B、
∠C的数量关系。
小结
1、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°
2、由三角形内角和等于180°，可得出
(1)推论：
直角三角形中，两锐角互余；
(2)一个三角形最多有一个直角、一个钝角、三个锐角，最少有两个锐角；
(3)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°
3、三角形按角分类：
斜三角形
三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
再见