课堂测试
对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）
B．（4，0）
C．（5，0）
D．（﹣6，0）
3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
那么关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上
B．与x轴的另一个交点是（3，0）
C．与y轴交于负半轴
D．在直线x=1的左侧部分是下降的
4．已知关于x的方程ax2﹣2=0的一个实数根是x=2，则二次函数y=a（x+1）2﹣2与x轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣3，0）、（1，0）
B．（﹣2，0）、（2，0）
C．（﹣1，0）、（1，0）
D．（﹣1，0）、（3，0）
5．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
课后巩固
1．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A．ac＜0
B．b＜2a
C．a+b=﹣1
D．a﹣b=﹣1
2．如图，二次函数y=ax2+2x﹣3的图象与x轴有一个交点在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．0＜a＜1
C．a＞
D．a＞﹣且a≠0
3．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
y
﹣2
﹣2
0
下面四个说法正确的有（ ）
①抛物线的开口向上
②当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
③二次函数的最小值是﹣2
④﹣4是方程ax2+bx+c=0的一个根．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
一．选择题（共10小题）
1．若二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax+c=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=﹣5
B．x1=5，x2=1
C．x1=﹣1，x2=5
D．x1=1，x2=﹣5
2．若二次函数y=x2+2x+kb+1图象与x轴有两个交点，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（ ）
A．3＜α＜β＜5
B．3＜α＜5＜β
C．α＜2＜β＜5
D．α＜3且β＞5
4．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（ ）
A．x=1
B．x=2
C．x=
D．x=﹣
5．若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣3
B．x=﹣2
C．x=﹣1
D．x=1
6．一元二次方程（x+1）（x﹣2）=10根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个正根
C．有两个根，且都大于﹣1
D．有两个根，其中一根大于2
7．二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交点的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．二次函数y=x2﹣2x+1与x轴的交点个数为（ ）
A．0
个
B．1
个
C．2
个
D．3
个
9．对于二次函数y=﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）
C．当x=2时，y有最大值﹣3
D．图象与x轴有两个交点
10．若抛物线y=﹣x2+px+q与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a＜1＜b，则有（ ）
A．p+q＜1
B．p+q=1
C．p+q＞1
D．pq＞0
二．填空题（共6小题）
11．已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是x1=5，x2=﹣3，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是
．
12．抛物线y=x2﹣3x与x轴的交点坐标为
．
13．已知抛物线y=2x2+3x+m，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是
．
14．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是
．
15．已知抛物线y=2x2+2x﹣12与x轴的交点是A，B，抛物线的顶点是C，则△ABC的面积是
．
16．
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中：①抛物线开口向上；②抛物线与y轴交于负半轴；③当x=4时，y＞0；④方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间．其中正确的是
（选填序号）
三．解答题（共9小题）
17．（1）化简：
（2）若二次函数y=x2+（c﹣1）x﹣c的图象与横轴有唯一交点，求c的值．
18．如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
19．求抛物线y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标．
20．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
…
（1）当ax2+bx+c=3时，则x=
；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）将该函数的图象向上（下）平移，使图象与直线y=3只有一个公共点，直接写出平移后的函数表达式．
21．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若该二次函数的图象对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
22．已知抛物线y=﹣2x2+4x+c．
（1）若抛物线与x轴有两个交点，求c的取值范围；
（2）若抛物线经过点（﹣1，0），求方程﹣2x2+4x+c=0的根．
23．已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过（1，0），（0，3）两点．
（1）求b，c的值；
（2）写出当y＞0时，x的取值范围．
25．若抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标M（2，﹣2），求：抛物线与x轴交点的坐标．课堂测试
1．对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】把x=1代入解析式，根据y＞0，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．
【解答】解：把x=1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，
解得：a＞1，
所以可得：﹣，，
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：C．
【点评】此题考查抛物线与x轴的交点，关键是得出a的取值范围，利用二次函数的性质解答．
2．已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）
B．（4，0）
C．（5，0）
D．（﹣6，0）
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数图象与x轴的两交点关于对称轴对称，即可求出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．
【解答】解：二次函数y=x2﹣5x+m的图象的对称轴为直线x=．
∵该二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴另一交点坐标为（×2﹣1，0），即（4，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称是解题的关键．
3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
那么关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上
B．与x轴的另一个交点是（3，0）
C．与y轴交于负半轴
D．在直线x=1的左侧部分是下降的
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，结合解析式和二次函数的性质解答．
【解答】解：A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4．
将（﹣1，0）代入，得
a（﹣1﹣1）2+4=0，
解得a=﹣1．
∵a=﹣1＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故本选项错误；
B、抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是x=1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确；
C、由表格知，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），即与y轴交于正半轴，故本选项错误；
D、抛物线开口方向向下，对称轴为x=1，则在直线x=1的左侧部分是上升的，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
4．已知关于x的方程ax2﹣2=0的一个实数根是x=2，则二次函数y=a（x+1）2﹣2与x轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣3，0）、（1，0）
B．（﹣2，0）、（2，0）
C．（﹣1，0）、（1，0）
D．（﹣1，0）、（3，0）
【分析】将x=2代入方程ax2﹣2=0求出a的值，据此得出二次函数解析式，再求出y=0时x的值即可得．
【解答】解：将x=2代入方程ax2﹣2=0，得：4a﹣2=0，
解得：a=，
则二次函数解析式为y=（x+1）2﹣2，
当y=0时，（x+1）2﹣2=0，
解得：x1=1、x2=﹣3，
所以二次函数y=a（x+1）2﹣2与x轴的交点坐标是（﹣3，0）、（1，0），
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标时，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
5．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】利用抛物线的对称性可确定A点坐标为（﹣3，0），则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；由抛物线开口向下得到a＞0，再利用对称轴方程得到b=2a＞0，则可对③进行判断；利用x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0和a＞0可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB=1﹣（﹣3）=4，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∴ab＞0，所以③错误；
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
而a＞0，
∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
课后巩固
一．选择题（共10小题）
1．若二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax+c=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=﹣5
B．x1=5，x2=1
C．x1=﹣1，x2=5
D．x1=1，x2=﹣5
【分析】先确定抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题确定方程ax2﹣4ax+c=0的解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，
∴点（﹣1，0）关于直线x=2的对称点的坐标为（5，0），
即二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0），
∴方程ax2﹣4ax+c=0的解为x1=﹣1，x2=5．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
2．若二次函数y=x2+2x+kb+1图象与x轴有两个交点，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点结合根的判别式，即可得出kb＜0，分k＞0、b＜0及k＜0、b＞0两种情况寻找一次函数y=kx+b的图象，此题得解．
【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+kb+1图象与x轴有两个交点，
∴△=22﹣4×1（kb+1）＞0，
解得：kb＜0．
当k＞0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
当k＜0，b＞0时，一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及一次函数的图象，牢记“当△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
3．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（ ）
A．3＜α＜β＜5
B．3＜α＜5＜β
C．α＜2＜β＜5
D．α＜3且β＞5
【分析】根据平移可知：将抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）往下平移m个单位可得出抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结论．
【解答】解：将抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）往下平移m个单位可得出抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m，
画出函数图象，如图所示．
∵抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）与x轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线y=（x﹣3）（x﹣5）﹣m与x轴的交点坐标为（α，0）、（β，0），
∴α＜3＜5＜β．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依照题意画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
4．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（ ）
A．x=1
B．x=2
C．x=
D．x=﹣
【分析】根据方程的两根即可得出抛物线与x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即可得出抛物线的对称轴．
【解答】解：∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1、x2=2，
∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为（1，0）、（2，0），
∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x==．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与x轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键．
5．若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣3
B．x=﹣2
C．x=﹣1
D．x=1
【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
【解答】解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x==﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
6．一元二次方程（x+1）（x﹣2）=10根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个正根
C．有两个根，且都大于﹣1
D．有两个根，其中一根大于2
【分析】根据平移的性质可知：将抛物线y=（x+1）（x﹣2）往下平移10个单位长度可得出新抛物线y=（x+1）（x﹣2）﹣10，依此画出函数图象，结合图形即可得出结论．
【解答】解：将抛物线y=（x+1）（x﹣2）往下平移10个单位长度可得出新抛物线y=（x+1）（x﹣2）﹣10，如图所示．
∵抛物线y=（x+1）（x﹣2）与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），
∴抛物线y=（x+1）（x﹣2）﹣10与x轴有两个交点，一个在（﹣1，0）的左侧，一个在（2，0）的右侧，
∴方程（x+1）（x﹣2）=10有两个不相等的实数根，一根小于﹣1，一根大于2．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象与几何变换，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
7．二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交点的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交点的个数．
【解答】解：∵△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）=16＞0，
∴二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴有2个交点．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，是基础题型．
8．二次函数y=x2﹣2x+1与x轴的交点个数为（ ）
A．0
个
B．1
个
C．2
个
D．3
个
【分析】令y=0，然后利用根的判别式解答．
【解答】解：令y=0，则x2﹣2x+1=0，
△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×1=4﹣4=0，
所以，二次函数与x轴有1个交点．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，主要利用了根的判别式，比较简单．
9．对于二次函数y=﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）
C．当x=2时，y有最大值﹣3
D．图象与x轴有两个交点
【分析】先把函数的解析式化成顶点式，再逐个判断即可．
【解答】解：A、y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣2）2﹣3，
当x＜2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
B、顶点坐标为（2，﹣3），故本选项不符合题意；
C、当x=2时，y有最大值是﹣3，故本选项符合题意；
D、∵顶点坐标为（2，﹣3），函数图象开口向下，
∴图象和x轴没有交点，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象、性质和最值，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键．
10．若抛物线y=﹣x2+px+q与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a＜1＜b，则有（ ）
A．p+q＜1
B．p+q=1
C．p+q＞1
D．pq＞0
【分析】由﹣1＜0即可得出抛物线开口向下，再根据抛物线与x轴的两交点横坐标分别在1的两侧即可得出当x=1时，y=﹣1+p+q＞0，移项后即可得出p+q＞1．
【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+px+q中二次项系数为﹣1＜0，
∴抛物线开口向下．
∵抛物线y=﹣x2+px+q与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a＜1＜b，
∴当x=1时，y=﹣1+p+q＞0，
∴p+q＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数图象与系数的关系，根据a＜1＜b找出“当x=1时，y=﹣1+p+q＞0”是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是x1=5，x2=﹣3，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是 （5、0）（﹣3、0） ．
【分析】根据方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解就是当y=0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标．
【解答】解：当y=0时，ax2+bx+c=0（a≠0）．
∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是x1=5，x2=﹣3，
∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是5、﹣3，
∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（5、0）（﹣3、0）．
故答案是：（5、0）（﹣3、0）．
【点评】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的意义就是当x取交点的横坐标时，函数值y等于0，即方程ax2+bx+c=0的解为交点的横坐标．
12．抛物线y=x2﹣3x与x轴的交点坐标为 （3，0），（0，0） ．
【分析】要求抛物线与x轴的交点，即令y=0，解方程即可．
【解答】解：令y=0，则x2﹣3x=0．
解得x=3或x=0．
则抛物线y=x2﹣3x与x轴的交点坐标是（3，0），（0，0）．
故答案为（3，0），（0，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
13．已知抛物线y=2x2+3x+m，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是 ﹣5＜m＜1或m= ．
【分析】当抛物线与x轴有两个交点时，只要满足x=﹣1和x=1时的函数值异号；当抛物线与x轴有一个交点时，只需要对应的一元二次方程的判别式等于0即可；从而可分别得到关于m的不等式或方程，可求得答案．
【解答】解：∵y=2x2+3x+m，
∴当x=﹣1时，y=m﹣1，当x=1时，y=m+5，
令y=0可得2x2+3x+m=0，其判别式为△=9﹣8m．
当抛物线与x轴有两个交点时，
需满足，即，解得﹣5＜m＜1；
当抛物线与x轴只有一个交点时，
∵抛物线对称轴为x=﹣，
∴其对称轴满足﹣1＜x＜1，
∴只需要△=0即可，即9﹣8m=0，解得m=；
综上可知m的取值范围为﹣5＜m＜1或m=，
故答案为：﹣5＜m＜1或m=．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴的交点与对应一元二次方程根的关系是解题的关键．
14．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是 x1=﹣3，x2=2 ．
【分析】根据抛物线与x轴的交点的意义得到当x=﹣3或x=2时，y=0，即可得到方程ax2+bx+c=0的解．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），
∴当x=﹣3或x=2时，y=0，
即方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣3，x2=2．
故答案为x1=﹣3，x2=2．
【点评】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的意义就是当x取交点的横坐标时，函数值y等于0，即方程ax2+bx+c=0的解为交点的横坐标．
15．已知抛物线y=2x2+2x﹣12与x轴的交点是A，B，抛物线的顶点是C，则△ABC的面积是 ．
【分析】令y=0，求出和x轴的交点坐标；利用公式x=﹣，求出函数对称轴坐标，将其代入函数解析式，求出函数的顶点纵坐标，据此解答即可．
【解答】解：当y=0时，2x2+2x﹣12=0，化简为x2+x﹣6=0，
即（x﹣2）（x+3）=0，
解得x1=2，x2=﹣3，
则A（2，0），B（﹣3，0），
∵当x=﹣=﹣时，函数取得最小值，
y=2×（﹣）2+2×（﹣）﹣12
=2×﹣1﹣12
=﹣，
则顶点坐标为（﹣，﹣），
S△ABD=AB?=×（2+3）×=．
故答案是：．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，理解函数与方程的关系是解题的关键．
16．
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中：①抛物线开口向上；②抛物线与y轴交于负半轴；③当x=4时，y＞0；④方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间．其中正确的是
④ （选填序号）
【分析】先根据表中x=0时，y=1；x=﹣1时，y=﹣3；x=1时，y=3代入二次函数y=ax2+bx+c的解析式，再根据二次函数的性质对各小题进行逐一分析．
【解答】解：∵x=0时，y=1；x=﹣1时，y=﹣3；x=1时，y=3代入二次函数y=ax2+bx+c的解析式得，
，解得，
∴此二次函数的解析式为：y=﹣x2+3x+1，
∵a=﹣1＜0，
∴此抛物线开口向下，故①错误；
∵c=1＞0，
∴抛物线与y轴交于正半轴，故②错误；
∵当x=4时，y=﹣42+3×4+1=﹣3＜0，故③错误；
令﹣x2+3x+1=0，则x=，
∴方程的正根为x==，
∵3＜＜4，
∴3+3＜3+＜3+4，
∴3＜＜3.5，
∴方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故④正确．
故答案为④．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意得出抛物线的解析式是解答此题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．（1）化简：
（2）若二次函数y=x2+（c﹣1）x﹣c的图象与横轴有唯一交点，求c的值．
【分析】（1）利用平方差公式、化除为乘及消元法，即可将原分式进行化简；
（2）由二次函数图象与x轴有唯一交点，可得出△=（c+1）2=0，解之即可得出c的值．
【解答】解：（1）原式=×=﹣；
（2）∵二次函数y=x2+（c﹣1）x﹣c的图象与横轴有唯一交点，
∴△=（c﹣1）2﹣4×1×（﹣c）=（c+1）2=0，
解得：c=﹣1，
∴c的值为﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及分式的乘除法，解题的关键是：（1）牢记分式运算的法则；（2）牢记“△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”．
18．如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）先求得抛物线的对称轴，然后依据抛物线的对称性可求得点B的坐标，然后求得点C的坐标，最后，利用待定系数法求得一次函数的解析式即可．
【解答】（1）解：∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，
∴a﹣5a+2=0，
∴a=，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；
（2）解：抛物线的对称轴为直线x=，
∴点B（4，0），C（0，2），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得，
解得k=﹣，b=2，
∴直线BC的解析式y=﹣x+2；
【点评】本题主要考查的是二次函数与坐标轴的交点问题，求得点B的坐标是解题的关键．
19．求抛物线y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标．
【分析】在抛物线解析式中求出y=0时x的值，据此可得．
【解答】解：令y=0，则x2+x﹣2=0，
解得：x1=1、x2=﹣2，
∴抛物线y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标为（1，0）、（﹣2，0）．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，就是令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
20．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
…
（1）当ax2+bx+c=3时，则x= 0或4 ；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）将该函数的图象向上（下）平移，使图象与直线y=3只有一个公共点，直接写出平移后的函数表达式．
【分析】（1）由表示可知抛物线的对称轴为x=2，且当x=0时，y=3，然后利用抛物线的对称性可得到当y=3时，x的取值；
（2）由表格可知抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），设抛物线的解析式为y=a
（x﹣2）2﹣1，将（0，3）代入可求得a的值，从而可求得抛物线的解析式；
（3）抛物线平移之后与y=3只有一个交点，则抛物线的顶点坐标在直线y=3上，从而可求得平移后抛物线的解析式．
【解答】解：（1）由表示可知抛物线的对称轴为x=2，且当x=0时，y=3，
∴由抛物线的对称性可知当x=4时，y=3．
故答案为：0或4．
（2）由表格可知抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．
设抛物线的解析式为y=a
（x﹣2）2﹣1
∵过点（0，3），
∴3=a
（0﹣2）2﹣1．
∴a=1．
∴y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．
（3）∵抛物线平移之后与y=3只有一个交点，
∴抛物线的顶点坐标在直线y=3上，
∴平移后抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+3．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，确定出抛物线的对称性，利用抛物线的对称性求解是解题的关键．
21．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若该二次函数的图象对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c，即可求出函数解析式；
（2）求出C点的坐标，求出AC的值，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：（1）把（2，0）（0，﹣6）代入y=﹣x2+bx+c，得，
解得：b=5，c=﹣6，
∴求二次函数的解析式y=﹣x2+5x﹣6；
（2）∵二次函数的对称轴是直线x=，
∴C
（，0），即AC=﹣2=，
∴△ABC的面积=××6=．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求二次函数的解析式，能用待定系数法求出二次函数的解析式是解此题的关键．
22．已知抛物线y=﹣2x2+4x+c．
（1）若抛物线与x轴有两个交点，求c的取值范围；
（2）若抛物线经过点（﹣1，0），求方程﹣2x2+4x+c=0的根．
【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0列不等式求解即可；
（2）先求出抛物线的
对称轴，再根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系解答．
【解答】（1）解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即16+8c＞0，
解得c＞﹣2；
（2）解：由y=﹣2x2+4x+c得抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴方程﹣2x2+4x+c=0的根为x1=﹣1，x2=3．
【点评】本题抛物线与x轴的交点问题，二次函数与一元二次方程，主要利用了根与系数的关系以及二次函数的对称性．
23．已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
【分析】（1）利用配方法即可解决问题；
（2）利用待定系数法即可解决问题；
【解答】解：（1）∵y=﹣2（x2﹣x+﹣）﹣2=﹣2（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴x=，顶点坐标为（，）．
（2）对于抛物线y=﹣2x2+5x﹣2，令x=0，得到y=﹣2，令y=0，得到﹣2x2+5x﹣2=0，解得x=2或，
∴抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过（1，0），（0，3）两点．
（1）求b，c的值；
（2）写出当y＞0时，x的取值范围．
【分析】（1）由题意求得b、c的值；
（2）当y＞0时，即图象在第一、二象限的部分，再求出抛物线和x轴的两个交点坐标，即得x的取值范围；
【解答】解：（1）根据题意，将（1，0）、（0，3）代入，得：
，
解得：；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
当y=0时，﹣x2﹣2x+3=0，
解得：x=﹣3或x=1，
则抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，﹣3＜x＜1．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据解析式求出抛物线与x轴的交点坐标．
25．若抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标M（2，﹣2），求：抛物线与x轴交点的坐标．
【分析】先根据抛物线的解析式可得a=2，再根据顶点坐标为M（2，﹣2），得到抛物线的顶点式解析式，然后将y=0代入求出x的值，即可求出抛物线与x轴交点的坐标．
【解答】解：∵抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标M（2，﹣2），
∴抛物线的解析式为y=2（x﹣2）2﹣2，
令y=0，得2（x﹣2）2﹣2=0，
解得x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴交点的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，求出抛物线的解析式是解题的关键．
