第5节
用待定系数法求一次函数解析式
※知识要点
1．一次函数关系式确定
求一次函数表达式的方法称为：待定系数法，具体步骤：
①设：
；
②代：
；
③解：
；
④定：
.
※题型讲练
考点一
一次函数关系式的确定一：待定系数法
【例1】1．若正比例函数的图象经过点(1，－2)，则其表达式为( D )
A．y＝x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝－2x
2．已知直线经过A(2，4)，B(0，－2)两点，那么这条直线的表达式是( B )
A．y＝－2x－2
B．y＝3x－2
C．y＝－3x＋2
D．y＝2x－3
3．已知一次函数的图像经过点（3，5）与(－4，－9)，
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)判断点（2，4）是否在该函数图像上？请说明理由．
解：(1)y＝2x－1；
(2)点（2，4）不在该函数图像．
变式训练1：
1．已知y是x的一次函数，下表列出了y与x的部分对应值，则m等于( C )
x
…
－1
0
1
…
y
…
1
m
－5
…
A．－1
B．0
C．－2
D．
2
．如图1，直线AB对应的函数表达式
是
y＝－x＋2
．
3．已知一个一次函数，当自变量x=3时，
函数值y
=－2；当x=－4时，y=12.
(1)求这个一次函数的解析式；
图1
(2)若该一次函数的图像与x，y轴分别交于点A，B，求S△AOB．
解：(1)
y＝－2x＋4；
(2)
S△AOB=4．
考点二
一次函数关系式的确定二：综合问题
【例2】1．一次函数的图象经过点A(－2，－1)，且与直线y＝2x＋1平行，则此函数的表达式为( B )
A．y＝x＋1
B．y＝2x＋3
C．y＝2x－1
D．y＝－2x－5
2．若y－2与x成正比例，且当x＝1时，y＝6，则y关于x的函数表达式是( D )
A．y＝4x
B．y＝6x
C．y＝4x－2
D．y＝4x＋2
3．已知一次函数图像经过两点A（2，7）、B（m，－5），且与直线y=－2x+1相交于y轴一点C，求这个函数的关系式，并求m的值．
解：(1)
y＝3x＋1，m=－2；
变式训练2：
1．已知直线y=kx－4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的表达式为(
B
)
A．y=－x－4
B．y=－2x－4
C．y=－3x+4
D．y=－3x－4
2．把函数y=3x－3的图象沿x轴的方向水平向右平移2个单位后的解析式为(
A
)
A．y=3x－9
B．y=3x－6
C．y=3x－5
D．y=3x－1
3．直线y＝kx＋b过A(－1，5)点且平行于y＝－x．
(1)求这条直线的解析式；
(2)若点B(m，2)在这条直线上，O为坐标原点，求m及△AOB的面积．
解：(1)
y＝－x＋4；
(2)
m=2，S△AOB=6．
考点三
一次函数关系式的确定三：实际问题
【例3】1．弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如图2所示，由图象可知，不挂物体时弹簧的长度为10 cm．
图2
2．如图，两摞相同规格的碗整齐地叠放，根据图信息解答：
(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x
(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2
)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度．
解：(1)
y＝1.5x＋4.5；
(2)
当x=12，y=22.5．
变式训练3：
1．李老师开车从甲地到相距240
km的乙地，如果油箱剩余油量y(L)与行驶里程x(km)之间是一次函数关系，其图象如图3，那么到达乙地时油箱的剩余油量是
20
L．
图3
2．已知某产品的成本是5元/件，每月的销售量y(件)与销售价格x(元/件)成一次函数关系，调查发现，当售价定位30元/件时，每月可售出360件产品，若降价10元，每月可多售出80件．
(1)求销售量y与销售价格x的函数关系式；
(2)若某月可售出480件产品，求该月的利润．
解：(1)
y＝－8x＋600；
(2)
当y=480，x=15，利润=4800元.
考点四
一次函数关系式确定的综合应用
【例4】1．如图，已知直线l1与直线l2相较于点A，点A的横坐标为－1，直线l2与x轴交于点B（－3，0），若△ABO的面积为3，求直线l1和直线l2的函数关系式．
解：直线l1
y＝－2x；
直线l2
y＝x＋3；
2．已知函数y＝kx＋b，当自变量x满足－3≤x≤2时，函数值y的取值范围是0≤y≤5，求该函数关系式．
解：当k＞0时
y＝x＋3；
当k＜0时
y＝－x＋2；
※课后练习
1．在函数y＝kx＋b中，当x＝2时，y＝2；当x＝0时，y＝－4，则k，b的值分别为( B )
A．－3，－4
B．3，－4
C．4，－3
D．－4，3
2．在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，则这个一次函数的表达式是( A )
A．y＝－x－1
B．y＝－x＋1
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
3．根据下表中一次函数的自变量x与函数值y的对应值，可得p的值为( A )
x
－2
0
1
y
3
p
0
A．1
B．－1
C．3
D．－3
4．已知y与(x－2)成正比例，当x=1时，y=－2．则当x=3时，y的值为(
A
)
A．2
B．－2
C．3
D．－3
5．如果直线y＝ax＋2与直线y＝bx＋3的交于x轴上一点，则
的值为(
C
)
A．－
B．
C．
D．－
6．将直线y=3x－1向上平移2个单位长度后，得到的直线表达式是 y=3x+1 ．?
7．已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为－2，且当x＝2时，y＝1，那么此函数的表达式为 y＝x－2
．
8．直线y=mx+n与直线y=－3x+1平行，且经过点(2，4)，则n= 10 ．?
9．如图1，正比例函数y1的图象与一次函数
y2的图象交于点A(1，2)，两直线与y轴围成的
△AOC的面积为2，则这正比例函数的解析式
为y1＝
2x
，一次函数y2＝
－2x＋4
．
图1
10．某商店购进一批单价为16元/件的电子宠物，销售一段时间后，为了获取更多利润，商店决定提高售价．经试销发现：当按20元/件的价格销售时，每月能卖出360件；当按25元/件的价格销售时，每月能卖出210件．若每月的销售数量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，则按28元/件的价格销售时，这个月可卖出____120____件，这个月的利润是___1440___元．
11．生物学家研究表明：某种蛇的长度y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6
cm时，蛇长为45.5
cm；当蛇的尾长为14
cm时，蛇长为105.5
cm．当一条蛇的尾长为10
cm时，求这条蛇的长度．
解：设y关于x的一次函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则
解得
∴y＝7．5x＋0.5．当x＝10时，y＝75.5．
答：这条蛇的长度为75.5
cm．
12．已知一次函数，当自变量x满足－1≤x≤1时，函数值y的取值范围是－2≤y≤4．求该函数关系式．
解：当k＞0时
y＝3x＋1；
当k＜0时
y＝－3x＋1；
13．如图，已知过点B(1，0)的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P(－1，a)．
(1)求直线l1的解析式；
(2)求四边形PAOC的面积．
解：(1)∵点P(－1，a)在
直线l2：y＝2x＋4上，
∴2×(－1)＋4＝a，解得a＝2，
则点P的坐标为(－1，2)，设直线l1的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则解得
∴l1的解析式为y＝－x＋1．
(2)∵直线l1与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为(0，1)，
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴点A的坐标为(－2，0)，则AB＝3，S四边形PAOC＝S△PAB－S△BOC＝×3×2－×1×1＝．
14．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油．在此行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
解：(1)设一次函数的关系式是y＝kx＋b(k≠0)．由图象知，点(0，60)与点(150，45)在一次函数图象上，将其代入，得解得
∴y＝－x＋60．(0≤x≤600)
(2)当y＝8时，y＝－x＋60＝8，
解得x＝520．
30－(520－500)＝10(千米)．
∴汽车开始提示加油时，离加油站的路程是10千米．第5节
用待定系数法求一次函数解析式
※知识要点
1．一次函数关系式确定
求一次函数表达式的方法称为：待定系数法，具体步骤：
①设：
；
②代：
；
③解：
；
④定：
.
※题型讲练
考点一
一次函数关系式的确定一：待定系数法
【例1】1．若正比例函数的图象经过点(1，－2)，则其表达式为(
)
A．y＝x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝－2x
2．已知直线经过A(2，4)，B(0，－2)两点，那么这条直线的表达式是(
)
A．y＝－2x－2
B．y＝3x－2
C．y＝－3x＋2
D．y＝2x－3
3．已知一次函数的图像经过点（3，5）与(－4，－9)，
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)判断点（2，4）是否在该函数图像上？请说明理由．
变式训练1：
1．已知y是x的一次函数，下表列出了y与x的部分对应值，则m等于(
)
x
…
－1
0
1
…
y
…
1
m
－5
…
A．－1
B．0
C．－2
D．
2
．如图1，直线AB对应的函数表达式
是
．
3．已知一个一次函数，当自变量x=3时，
函数值y
=－2；当x=－4时，y=12.
(1)求这个一次函数的解析式；
图1
(2)若该一次函数的图像与x，y轴分别交于点A，B，求S△AOB．
考点二
一次函数关系式的确定二：综合问题
【例2】1．一次函数的图象经过点A(－2，－1)，且与直线y＝2x＋1平行，则此函数的表达式为(
)
A．y＝x＋1
B．y＝2x＋3
C．y＝2x－1
D．y＝－2x－5
2．若y－2与x成正比例，且当x＝1时，y＝6，则y关于x的函数表达式是(
)
A．y＝4x
B．y＝6x
C．y＝4x－2
D．y＝4x＋2
3．已知一次函数图像经过两点A（2，7）、B（m，－5），且与直线y=－2x+1相交于y轴一点C，求这个函数的关系式，并求m的值．
变式训练2：
1．已知直线y=kx－4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的表达式为(
)
A．y=－x－4
B．y=－2x－4
C．y=－3x+4
D．y=－3x－4
2．把函数y=3x－3的图象沿x轴的方向水平向右平移2个单位后的解析式为(
)
A．y=3x－9
B．y=3x－6
C．y=3x－5
D．y=3x－1
3．直线y＝kx＋b过A(－1，5)点且平行于y＝－x．
(1)求这条直线的解析式；
(2)若点B(m，2)在这条直线上，O为坐标原点，求m及△AOB的面积．
考点三
一次函数关系式的确定三：实际问题
【例3】1．弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如图2所示，由图象可知，不挂物体时弹簧的长度为
cm．
图2
2．如图，两摞相同规格的碗整齐地叠放，根据图信息解答：
(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x
(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2
)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度．
变式训练3：
1．李老师开车从甲地到相距240
km的乙地，如果油箱剩余油量y(L)与行驶里程x(km)之间是一次函数关系，其图象如图3，那么到达乙地时油箱的剩余油量是
L．
图3
2．已知某产品的成本是5元/件，每月的销售量y(件)与销售价格x(元/件)成一次函数关系，调查发现，当售价定位30元/件时，每月可售出360件产品，若降价10元，每月可多售出80件．
(1)求销售量y与销售价格x的函数关系式；
(2)若某月可售出480件产品，求该月的利润．
考点四
一次函数关系式确定的综合应用
【例4】1．如图，已知直线l1与直线l2相较于点A，点A的横坐标为－1，直线l2与x轴交于点B（－3，0），若△ABO的面积为3，求直线l1和直线l2的函数关系式．
2．已知函数y＝kx＋b，当自变量x满足－3≤x≤2时，函数值y的取值范围是0≤y≤5，求该函数关系式．
※课后练习
1．在函数y＝kx＋b中，当x＝2时，y＝2；当x＝0时，y＝－4，则k，b的值分别为(
)
A．－3，－4
B．3，－4
C．4，－3
D．－4，3
2．在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，则这个一次函数的表达式是(
)
A．y＝－x－1
B．y＝－x＋1
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
3．根据下表中一次函数的自变量x与函数值y的对应值，可得p的值为(
)
x
－2
0
1
y
3
p
0
A．1
B．－1
C．3
D．－3
4．已知y与(x－2)成正比例，当x=1时，y=－2．则当x=3时，y的值为(
)
A．2
B．－2
C．3
D．－3
5．如果直线y＝ax＋2与直线y＝bx＋3的交于x轴上一点，则
的值为(
)
A．－
B．
C．
D．－
6．将直线y=3x－1向上平移2个单位长度后，得到的直线表达式是
．?
7．已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为－2，且当x＝2时，y＝1，那么此函数的表达式为
．
8．直线y=mx+n与直线y=－3x+1平行，且经过点(2，4)，则n=
．?
9．如图1，正比例函数y1的图象与一次函数
y2的图象交于点A(1，2)，两直线与y轴围成的
△AOC的面积为2，则这正比例函数的解析式
为y1＝
，一次函数y2＝
．
图1
10．某商店购进一批单价为16元/件的电子宠物，销售一段时间后，为了获取更多利润，商店决定提高售价．经试销发现：当按20元/件的价格销售时，每月能卖出360件；当按25元/件的价格销售时，每月能卖出210件．若每月的销售数量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，则按28元/件的价格销售时，这个月可卖出
件，这个月的利润是
元．
11．生物学家研究表明：某种蛇的长度y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6
cm时，蛇长为45.5
cm；当蛇的尾长为14
cm时，蛇长为105.5
cm．当一条蛇的尾长为10
cm时，求这条蛇的长度．
12．已知一次函数，当自变量x满足－1≤x≤1时，函数值y的取值范围是－2≤y≤4．求该函数关系式．
13．如图，已知过点B(1，0)的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P(－1，a)．
(1)求直线l1的解析式；
(2)求四边形PAOC的面积．
14．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油．在此行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
