课时训练（三）
【21.3
第三课时
二次函数的解析式】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（
）
A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝(x－1)2＋8
D．y＝2(x－1)2－8
2．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的表达式为（
）
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
3．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
Y
-27
-13
-3
3
5
3
则当x＝1时，y的值为
(
)
A．5
B．-3
C．-13
D．-27
4．二次函数有(
)
A．最小值-5
B．最大值-5
C．最小值-6
D．最大值-6
5．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx＋a的图象可能是( )
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状及开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线的函数表达式为( )
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
7．将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为( )
A．y＝(x－8)2＋5
B．y＝(x－4)2＋5
C．y＝(x－8)2＋3
D．y＝(x－4)2＋3
二、填空题
8．若函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝2x2－2x＋3相同，则此函数的表达式为______________．
9．一位篮球运动员在距离篮框中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮框中心距离地面高度为3.05m．在如图2－ZT－2所示的平面直角坐标系中，此抛物线的表达式是________．
10．在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向
旋转90°至AC．
（1）点C的坐标为
；
（2）若抛物线经过点C，则抛物线的解析式为
．
三、解答题
11．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．
（1）已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；
（2）已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；
（3）已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．
12．已知，如图所示，抛物线与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于
点C(0，3)．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点是抛物线上的一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积．
13．如图，已知抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴的正半轴上，直线y＝x＋3与抛物线交于A，B两点．
（1）求m的值；
（2）求A，B两点的坐标．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图所示，已知二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
2.如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．
（1）直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．
（2）二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为____________；
（3）平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．课时训练（三）
【21.3
第三课时
二次函数的解析式】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（
）
A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝(x－1)2＋8
D．y＝2(x－1)2－8
解析：由题图知抛物线的顶点坐标是(1，－8)，所以设抛物线的表达式是y＝a(x－1)2－8.因为点(3，0)在这个二次函数的图象上，所以0＝a×(3－1)2－8，解得a＝2.所以这个二次函数的表达式为y＝2(x－1)2－8.选D
2．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的表达式为（
）
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
解析：由题意可知点C的坐标是(0，2)或(0，－2)．设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c.由抛物线经过点
(2，0)，(－1，0)，(0，2)，得解得则抛物线的表达式是y＝－x2＋x＋2.同理，由抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，(0，－2)求得该抛物线的表达式为y＝x2－x－2.故这条抛物线的表达式为
y＝－x2＋x＋2或y＝x2－x－2.
故选C
3．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
Y
-27
-13
-3
3
5
3
则当x＝1时，y的值为
(
)
A．5
B．-3
C．-13
D．-27
解析：此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，
而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．
观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴
为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．
∴
x＝1时，y＝-27．故选D
4．二次函数有(
)
A．最小值-5
B．最大值-5
C．最小值-6
D．最大值-6
解析：首先将一般式通过配方化成顶点式，即，
∵
a＝1＞0，∴
x＝-1时，．故选C
5．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx＋a的图象可能是( )
解析：当一次函数y＝bx＋a的图象经过第一、二、三象限时，a＞0，b＞0，此时抛物线应开口向上，且对称轴x＝－＜0，故选项A，D不符合题意；当一次函数y＝bx＋a的图象经过第二、三、四象限时，a＜0，b＜0，此时抛物线应开口向下，且对称轴x＝－＜0，故选项B不符合题意；当一次函数y＝bx＋a的图象经过第一、三、四象限时，a＜0，b＞0，抛物线y＝ax2＋bx开口向下，对称轴x＝－＞0，故选C
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)，其形状及开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线的函数表达式为( )
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
解析：设抛物线的函数表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)．因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标为
(－1，0)，(3，0)，所以y＝a(x－3)(x＋1)．又因为其形状及开口方向与抛物线y＝－2x2相同，所以y＝－2(x－3)(x＋1)，即y＝－2x2＋4x＋6.故选D
7．将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为( )
A．y＝(x－8)2＋5
B．y＝(x－4)2＋5
C．y＝(x－8)2＋3
D．y＝(x－4)2＋3
解析： y＝x2－6x＋21
＝(x2－12x)＋21＝[(x－6)2－36]＋21＝(x－6)2＋3，
故y＝(x－6)2＋3向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为y＝(x－4)2＋3.故选D
二、填空题
8．若函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝2x2－2x＋3相同，则此函数的表达式为______________．
解析：函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过原点，把(0，0)代入y＝a(x－h)2＋k，得ah2＋k＝0.∵函数的最大值为8，∴函数图象的开口向下，即a＜0，顶点的纵坐标k＝8.又∵函数图象的形状与抛物线y＝2x2－2x＋3相同，∴二次项系数a＝－2.把a＝－2，k＝8代入ah2＋k＝0，得h＝±2，∴此函数的表达式是y＝－2(x－2)2＋8或y＝－2(x＋2)2＋8.
9．一位篮球运动员在距离篮框中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮框中心距离地面高度为3.05m．在如图2－ZT－2所示的平面直角坐标系中，此抛物线的表达式是________．
解析：∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的表达式为y＝ax2＋3.5.
∵篮框中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入表达式，得3.05＝a×1.52＋3.5，
∴a＝－，∴y＝－x2＋3.5.
10．在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向
旋转90°至AC．
（1）点C的坐标为
；
（2）若抛物线经过点C，则抛物线的解析式为
．
解析：（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，在△ACD和△BAO中，
由已知有∠CAD+∠BAO＝90°，
而∠ABO+∠BAO＝90°，
∴
∠CAD＝∠ABO，
又∵
∠CDA＝∠AOB＝90°，且由已知有CA＝AB，
∴
△ACD≌△BAO，∴
CD＝OA＝1，AD＝BO＝2，
∴
点C的坐标为(3，-1)；
（2）∵
抛物线，经过点C(3，-1)，
∴
，解得，
∴
抛物线的解析式为.
三、解答题
11．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．
（1）已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；
（2）已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；
（3）已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．
解析：
（1）∵
顶点是(1，2)，
∴
设(a≠0)．
又∵
过点(2，3)，∴
，∴
a＝1．
∴
，即．
（2）设二次函数解析式为(a≠0)．
由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得
解得
故所求的函数解析式为．
（3）由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，
∴
设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵
过点(0，-3)，
∴
a(0-1)(0-3)＝-3，∴
a＝-1，
∴
y＝-(x-1)(x-3)，即．
12．已知，如图所示，抛物线与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于
点C(0，3)．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点是抛物线上的一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积．
解析：（1）由已知得
解之
∴
．
（2）∵
是抛物线上的点，∴
，
∴
．
13．如图，已知抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴的正半轴上，直线y＝x＋3与抛物线交于A，B两点．
（1）求m的值；
（2）求A，B两点的坐标．
解析：（1）∵抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴的正半轴上，
∴整式x2－(m＋3)x＋9是一个完全平方式，
∴m＋3＝±6，故m＝3或m＝－9(舍去)．
故m的值为3.
（2）由（1）可知，抛物线的表达式为y＝x2－6x＋9，联立
解得或
根据图示，可得点A的横坐标小于点B的横坐标，
∴点A的坐标是(1，4)，点B的坐标是(6，9)．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图所示，已知二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
解析：（1）把A(2，0)，B(0，-6)代入
得
解得
∴
这个二次函数的解析式为．
（2）∵
该抛物线的对称轴为直线，
∴
点C的坐标为(4，0)，
∴
AC＝OC-OA＝4-2＝2．
∴
．
2.如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．
（1）直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．
（2）二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”的表达式为__________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”的表达式为____________；
（3）平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．
解析：（1）(答案不唯一)顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称．
（2）y＝2(x－2)2＋1 y＝a(x＋h)2＋k
（3）若点A在y轴的正半轴上，如图所示：
顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形，由BC＝6，得OA＝8，
则点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－3，4)．
设一个抛物线的表达式为y＝a(x＋3)2＋4.
将点A的坐标代入，得9a＋4＝8，解得a＝.
二次函数y＝(x＋3)2＋4的“关于y轴对称二次函数”的表达式为y＝(x－3)2＋4.
根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于y轴对称二次函数”的表达式还可以为y＝－(x＋3)2－4，y＝－(x－3)2－4.
综上所述，“关于y轴对称二次函数”的表达式为y＝(x＋3)2＋4，y＝(x－3)2＋4或
y＝－(x＋3)2－4，y＝－(x－3)2－4.
