人教版八年级数学上册第13章第4节
课题学习
最短路径问题双基培优
培优练习
一、选择题(123=36分)
1.
x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（
C
）
A．x≥3
B．x≤﹣2
C．﹣2≤x≤3
D．﹣2＜x＜3
2.
如图，从A地到B地有①、②、③三条路线，每条路线的长度分别为l、m、n，则（
C
）
A.l＞m＞n
B.l=m＞n
C.m＜n=l
D.l＞n＞m
3.
直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是(
D
)
A．B．C．D．
4.
如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（A）
A.
50°
B.
60°
C.
70°
D.
80°
5.
如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是20，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为(
D
)
A．6
B．8
C．10
D．12
6.
将一副三角板ABC如图放置，使点A在DE上，BC//DE，其中，则∠E=30°，则∠AFC的度数是（??D
）
A.
45°
B.
50°
C.
60°
D.
75°
7.
点A和点B(2，－3)关于x轴对称，则A，B两点间的距离是（
C
）。
A.4
B.5
C.6
D.10
8.
在平面直角坐标系中，点A（１，3）关于x轴对称点为A1，A1关于y轴对称点为A2，点A2的坐标为（
D
）
A.（－1，3）
B.（1，－3）
C.(3，1)
D.(－1，－3)
9.
.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若CE=5,AC=12,且△ACE的周长为30,则BE的长是
(
D )
A.5
B.10
C.12
D.13
10.
如图，若是等边三角形，，是的平分线，延长到，使，则
C
A.
7
B.
8
C.
9
D.
10
11.
如图，∠A=80°，点
O
是
AB，AC
垂直平分线的交点，则∠BCO
的度数是（
D
）
A.
40°
B.
30°
C.
20°
D.
10°
12.
如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.下列结论:①AD=BE;②AP=BQ;③PQ∥AE;④∠AOB=60°;⑤DE=DP.其中正确的有
(
C )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
二、填空题(53=15分)
13.
已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=12
cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为___12__cm．
14.
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，
它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到
达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为
80
海里。
15.
已知点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b，1－b)，则ab的值为__-10_.
16.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点C为圆心、BC的长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠ABE的大小为__21°__.
17.
如图,△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=8cm,DE=3cm,则BC= 11 cm.?
三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)
18.
如图，已知∠AOB=30°，P为其内部一点，OP=3，M、N分别为OA、OB边上的一点，要使△PMN的周长最小，请给出确定点M、N位置的方法，并求出最小周长．
解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，
与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
△PMN的最小周长为PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，即为线段P1P2的长，
连结OP1、OP2，则OP1=OP2=3，
又∵∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=3，
即△PMN的周长的最小值是3．
19.
如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）在x轴上有一点P，使PA+PB最小，根据作图直接写出P点的坐标.
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△A1B1C1的面积＝4×5﹣×2×2﹣×3×4﹣×2×5＝20﹣2﹣6﹣5＝7．
（3）如图所示，连接AB1，交x轴于点P，则BP＝B1P，
∴PA+PB的最小值等于AB1的长，由图可知P(-)
20.
已知，如图，在直角坐标系中，在x轴的同侧有两点A(1,2)，B(-2,1).
(1)在图1的x轴上找一点P，使PA＋PB最短，直接写出P的坐标；
(2)在图2的x轴上找一点P，使最长，直接写出P的坐标．
解：如图：
(1)作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P.点P即为所求．P(-1,0)
(2)连接AB并延长，交直线l于点P.
P(-5,0)
21.
①如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N的位置，使PM＋MN＋NQ最短．
解：如图所示．M、N即为所求.
②如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径．
解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ；
（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP．
最短路线P﹣﹣Q﹣﹣M﹣﹣P．
22.
如图,在由边长均为1的小正方形组成的网格中(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点),四边形ABCD在直线l的左侧,其四个顶点A,B,C,D都在网格的格点上.
(1)请你在所给的网格中画出四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'和四边形ABCD关于直线l对称;
(2)在(1)的条件下,结合你所画的图形,求四边形A'B'C'D'的面积.
(3)在直线l上找一点P,使得△PAB的周长最小.
解:(1)四边形A'B'C'D'如图所示.
(2)四边形A'B'C'D'的面积为3×4-×2×2-×1×2-×1×2-×1×3=.
(3)点P的位置如图所示.
23.
已知△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作等边△ADE．（1）如图①，点D在线段BC上移动时，直接写出∠BAD和∠CAE的大小关系.
（2）如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，猜想∠DCE的大小是否发生变化？若不变请求出其大小；若变化，请说明理由．
解：（1）∠BAD=∠CAE；理由：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE；
（2）∠DCE=60°，不发生变化；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE．
∴∠ABD=120°，∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE
∴∠DAB=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠ABD=120°．
∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACB=120°﹣60°=60°．
24.
在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)如图1,当点D在线段BC上运动时.
①若∠BAC=48°,则∠BCE=
度;?
②猜想∠BAC与∠BCE之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时,(2)②中的结论是否仍然成立?若成立,试加以证明;若不成立,请你给出正确的数量关系,并说明理由.
图1 备用图
解：(1)∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
又AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE.
(2)①132
∵AB=AC,∠BAC=48°,
∴∠B=∠ACB=66°,
∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠B=66°.
∴∠BCE=∠ACE
+∠ACB=132°.
②∠BAC+∠BCE=180°.证明如下:
∵△ABD≌△ACE,∴∠B=∠ACE.
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°,
∴∠BAC+∠BCE=180°.
(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时,
(2)②中的结论不成立,此时有∠BAC=∠BCE.理由如下:
如图,由(1)得△ABD≌△ACE,
∴∠DBA=∠ECA.
由三角形外角的性质得∠DBA=∠BAC+∠DCA,
而∠ECA=∠BCE+∠DCA,
∴∠BAC=∠BCE.人教版八年级数学上册第13章第4节
课题学习
最短路径问题双基培优
培优练习
一、选择题(123=36分)
1.
x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（
）
A．x≥3
B．x≤﹣2
C．﹣2≤x≤3
D．﹣2＜x＜3
2.
如图，从A地到B地有①、②、③三条路线，每条路线的长度分别为l、m、n，则（
）
A.l＞m＞n
B.l=m＞n
C.m＜n=l
D.l＞n＞m
3.
直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是(
)
A．B．C．D．
4.
如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（
）
A.
50°
B.
60°
C.
70°
D.
80°
5.
如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是20，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为(
)
A．6
B．8
C．10
D．12
6.
将一副三角板ABC如图放置，使点A在DE上，BC//DE，其中，则∠E=30°，则∠AFC的度数是（??
）
A.
45°
B.
50°
C.
60°
D.
75°
7.
点A和点B(2，－3)关于x轴对称，则A，B两点间的距离是（
）。
A.4
B.5
C.6
D.10
8.
在平面直角坐标系中，点A（１，3）关于x轴对称点为A1，A1关于y轴对称点为A2，点A2的坐标为（
）
A.（－1，3）
B.（1，－3）
C.(3，1)
D.(－1，－3)
9.
.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若CE=5,AC=12,且△ACE的周长为30,则BE的长是
(
)
A.5
B.10
C.12
D.13
10.
如图，若是等边三角形，，是的平分线，延长到，使，则
A.
7
B.
8
C.
9
D.
10
11.
如图，∠A=80°，点
O
是
AB，AC
垂直平分线的交点，则∠BCO
的度数是（
）
A.
40°
B.
30°
C.
20°
D.
10°
12.
如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.下列结论:①AD=BE;②AP=BQ;③PQ∥AE;④∠AOB=60°;⑤DE=DP.其中正确的有
(
)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
二、填空题(53=15分)
13.
已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=12
cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为_____cm．
14.
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，
它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到
达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为
海里。
15.
已知点P(3，－1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b，1－b)，则ab的值为
.
16.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，以点C为圆心、BC的长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠ABE的大小为
.
17.
如图,△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=8cm,DE=3cm,则BC=
cm.?
三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)
18.
如图，已知∠AOB=30°，P为其内部一点，OP=3，M、N分别为OA、OB边上的一点，要使△PMN的周长最小，请给出确定点M、N位置的方法，并求出最小周长．
19.
如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）在x轴上有一点P，使PA+PB最小，根据作图直接写出P点的坐标.
20.
已知，如图，在直角坐标系中，在x轴的同侧有两点A(1,2)，B(-2,1).
(1)在图1的x轴上找一点P，使PA＋PB最短，直接写出P的坐标；
(2)在图2的x轴上找一点P，使最长，直接写出P的坐标．
21.
①如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N的位置，使PM＋MN＋NQ最短．
②如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径．
22.
如图,在由边长均为1的小正方形组成的网格中(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点),四边形ABCD在直线l的左侧,其四个顶点A,B,C,D都在网格的格点上.
(1)请你在所给的网格中画出四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'和四边形ABCD关于直线l对称;
(2)在(1)的条件下,结合你所画的图形,求四边形A'B'C'D'的面积.
(3)在直线l上找一点P,使得△PAB的周长最小.
23.
已知△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作等边△ADE．（1）如图①，点D在线段BC上移动时，直接写出∠BAD和∠CAE的大小关系.
（2）如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，猜想∠DCE的大小是否发生变化？若不变请求出其大小；若变化，请说明理由．
24.
在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)如图1,当点D在线段BC上运动时.
①若∠BAC=48°,则∠BCE=
度;?
②猜想∠BAC与∠BCE之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时,(2)②中的结论是否仍然成立?若成立,试加以证明;若不成立,请你给出正确的数量关系,并说明理由.
图1 备用图
