课时训练（二）
【21.2
第二课时
二次函数的图象和性质】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1．已知抛物线y＝x2与y＝－x2，下列说法中不正确的是( )
A．顶点相同
B．对称轴相同
C．开口方向相反
D．都经过点(1，1)
2．在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（
）．
A．关于y轴对称，抛物线的开口向上
B．关于y轴对称，抛物线的开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
3．汽车的刹车距离y
(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为5
m，则开始刹车时的速度为(
)．
A．40
m/s
B．20m/s
C．10
m/s
D．5
m/s
4．如图，是二次函数y＝a(x－h)2的图象，则直线y＝ax＋h不经过的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．已知点(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝(m－3)x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（
）
A．m＞3
B．m≥3
C．m≤3
D．m＜3
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( )
A．h>0，k>0
B．h<0，k>0
C．h<0，k<0
D．h>0，k<0
7．已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是( )
A．－1
B．－1或5
C．5
D．－5
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1＝x2经过平移得到抛物线y2＝(x－2)2－4，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
二、填空题
9.二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是________．
10．已知二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为
.
11．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为________________________．
三、解答题
12．把抛物线y＝a(x＋h)2＋k先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－1.
（1）试确定a，h，k的值；
（2）若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3)．
（1）求a，b的值以及顶点D的坐标．
（2）直接写出这个二次函数图象关于x轴对称后所得的新图象的函数表达式．
（3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
2.
如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．课时训练（二）
【21.2
第二课时
二次函数的图象和性质】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1．已知抛物线y＝x2与y＝－x2，下列说法中不正确的是( )
A．顶点相同
B．对称轴相同
C．开口方向相反
D．都经过点(1，1)
解析：抛物线y＝x2经过点(1，1)，而抛物线y＝－x2不经过点(1，1)．故选D
2．在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（
）．
A．关于y轴对称，抛物线的开口向上
B．关于y轴对称，抛物线的开口向下
C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
解析：y＝2x2，y＝-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)．故选D
3．汽车的刹车距离y
(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为5
m，则开始刹车时的速度为(
)．
A．40
m/s
B．20m/s
C．10
m/s
D．5
m/s
解析：当y＝5时，x2＝100，x＝10．故选C
4．如图，是二次函数y＝a(x－h)2的图象，则直线y＝ax＋h不经过的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：由题图可知a>0，h<0，所以直线y＝ax＋h不经过第二象限．故选B
5．已知点(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝(m－3)x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（
）
A．m＞3
B．m≥3
C．m≤3
D．m＜3
解析：由题意可知，当x＞0时，函数y随x的增大而减小，故m－3＜0，则m＜3.
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( )
A．h>0，k>0
B．h<0，k>0
C．h<0，k<0
D．h>0，k<0
解析：
根据题意可得抛物线的顶点坐标为(h，k)，而由题图可知顶点在第一象限，根据第一象限内点的坐标特征，可得h>0，k>0.故选A.
7．已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是( )
A．－1
B．－1或5
C．5
D．－5
解析：
当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小．
①若取值范围在函数图象对称轴的右边，即h＜1≤x≤3，则当x＝1时，y取得最小值5，可得(1－h)2＋1＝5，解得h1＝－1，h2＝3(舍去)；
②若取值范围在对称轴的左边，即1≤x≤3＜h，则当x＝3时，y取得最小值5，可得(3－h)2＋1＝5，解得h1＝5，h2＝1(舍去)；
③若1≤h≤3，则函数y的最小值为1，不符合题意．
综上可得，h的值为－1或5.故选B
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1＝x2经过平移得到抛物线y2＝(x－2)2－4，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：
如图，过点B作BA⊥y轴于点A，由题意可知四边形ABCO为矩形，且点B的坐标为(2，－4)，则S矩形ABCO＝S阴影＝AB×BC＝2×4＝8.
二、填空题
9.二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是________．
解析：由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．
10．已知二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为
.
解析：先通过且△ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线上，所以
，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).
11．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为________________________．
解析：二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同，说明它们的二次项系数的绝对值相等，故本题有两种可能，即y＝3x2－2或y＝－3x2－2.
三、解答题
12．把抛物线y＝a(x＋h)2＋k先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－1.
（1）试确定a，h，k的值；
（2）若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式．
解析：（1）∵把抛物线y＝a(x＋h)2＋k先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线
y＝(x＋1)2－1，∴a＝，－h＝－1＋2，k＝－1－4.
故a＝，h＝－1，k＝－5.
（2）由（1）得抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2－5，
∴顶点坐标为(1，－5)．
∵点(1，－5)关于x轴对称的点的坐标为(1，5)，且所得抛物线的开口方向与原抛物线相反，
∴所得抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋5.
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．
解析：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，
解得：b=2，c=4，
则解析式为y=﹣x2+2x+4；
（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3)．
（1）求a，b的值以及顶点D的坐标．
（2）直接写出这个二次函数图象关于x轴对称后所得的新图象的函数表达式．
（3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）由二次函数y＝ax2＋b的最大值为4可知b＝4.
∵函数的图象经过点A(1，3)，
∴3＝a＋4，解得a＝－1.
故该二次函数的表达式为y＝－x2＋4，顶点D的坐标为(0，4)．
（2）y＝x2－4.
（3）存在．假设存在点B(x，y)，使得S△DOB＝2S△AOD，
∴OD·|x|＝2×OD×1，
解得x＝±2.
①当x＝2时，则y＝－x2＋4＝0；
②当x＝－2时，则y＝－x2＋4＝0.
∴存在满足条件的点B，它的坐标为(2，0)或(－2，0)．
2.
如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
解析：（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．
∴
该二次函数的解析式为．
∵
，
∴
顶点坐标为．
（2）（答案不唯一，合理即正确）
如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，
得到二次函数解析式为，即．
