人教版八年级数学上册第13章第4节
课题学习
最短路径问题双基培优
基础练习
一、选择题(123=36分)
1.
A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在(
)
A．线段AB上
B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上
D．直线l上
2.
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是(
)
A．5
B．4
C．3
D．7
3.
x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|-|x+2|的值最最大，则x的取值范围是（
）
A．x≥3
B．x≤﹣2
C．﹣2≤x≤3
D．x≥3或x≤﹣2
4.
A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在(
)
A.在A的左侧
B.在AB之间
C.在BC之间
D.B处
5.
如图，在铁路旁有一李庄O，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在(
)
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
6.
下列命题是真命题的是（
）
A．两点之间的距离是这两点间的线段
B．墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点之间，线段最短”
C．同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种
D．同平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7.
对于下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（
）
A.
①②③④
B.
①③
C.
①②③
D.
①②④
8.
等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（
）
A.
80°
B.
80°或50°
C.
20°
D.
80°或20°
9.
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（
）
A.
B.
C.
或
D.
或
10.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（
）
A.
EC＝EF
B.
FE＝FC
C.
CE＝CF
D.
CE＝CF＝EF
11.
一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是(
)
A.
14
B.
15
C.
16
D.
17
12.
如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（
）．
A.
B.
C.
D.
二、填空题(53=15分)
13.
如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠C＝70°，则∠B＝
．
14.
已知点A（2m+n，2），B
（1，n-m），A、B
关于
x
轴对称，则
m+n
的值
.
15.
如图，等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一动点，连接PC、PD，则PD+PC的最小值为________．
16.
如图，在图1中互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个……则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有_
_个（用含n的代数式表示）.
17.
如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=9,对角线BD⊥CD,P是BC边上一动点,连接DP.若∠ADB=∠C,则DP长的最小值为
.
?
三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)
18.
如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点，，．
（1）作关于轴对称的；
（2）在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标．
19.
①已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
②如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
20.
①图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
②如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
21.
①已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC，使三角形周长最小.
②已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数。
③某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
22.
如图，在△ABC中，ME和NF分别垂直平分AB和AC．
(1)???若BC
=?10?cm，试求△AMN的周长．
(2)???在△ABC中，AB
=
AC，∠BAC
=
100°，求∠MAN的度数．
(3)
在
(2)
中，若无AB
=
AC的条件，你还能求出∠MAN的度数吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
23.
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证:△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长。
24.
如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，
（1）如图1，过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：△BDE为等腰三角形；
（2）如图2、延长BE到D，∠ADB＝∠ABC，AF⊥BD于F，AD＝2，BF＝3，求DF的长；
（3）如图3．若AB＝AC，AF⊥BD，∠ACD＝∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．人教版八年级数学上册第13章第4节
课题学习
最短路径问题双基培优
基础练习
一、选择题(123=36分)
1.
A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在(
A
)
A．线段AB上
B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上
D．直线l上
2.
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是(
B
)
A．5
B．4
C．3
D．7
3.
x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|-|x+2|的值最最大，则x的取值范围是（
B
）
A．x≥3
B．x≤﹣2
C．﹣2≤x≤3
D．x≥3或x≤﹣2
4.
A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在( D
)
A.在A的左侧
B.在AB之间
C.在BC之间
D.B处
5.
如图，在铁路旁有一李庄O，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在( A )
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
6.
下列命题是真命题的是（ D
）
A．两点之间的距离是这两点间的线段
B．墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点之间，线段最短”
C．同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种
D．同平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7.
对于下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（
B
）
A.
①②③④
B.
①③
C.
①②③
D.
①②④
8.
等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（ D
）
A.
80°
B.
80°或50°
C.
20°
D.
80°或20°
9.
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（
D
）
A.
B.
C.
或
D.
或
10.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（
C ）
A.
EC＝EF
B.
FE＝FC
C.
CE＝CF
D.
CE＝CF＝EF
11.
一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是(
B
)
A.
14
B.
15
C.
16
D.
17
12.
如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（
B
）．
A.
B.
C.
D.
二、填空题(53=15分)
13.
如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠C＝70°，则∠B＝_35°．
14.
已知点A（2m+n，2），B
（1，n-m），A、B
关于
x
轴对称，则
m+n
的值
0
.
15.
如图，等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一动点，连接PC、PD，则PD+PC的最小值为___5_____．
16.
如图，在图1中互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个……则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有___(3n+1)__个（用含n的代数式表示）.
17.
如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=9,对角线BD⊥CD,P是BC边上一动点,连接DP.若∠ADB=∠C,则DP长的最小值为 9 .
?
三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)
18.
如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点，，．
（1）作关于轴对称的；
（2）在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标．
解：（1）分别作出A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接，如图．
（2）作点A关于x轴的对称点A″，然后连接A″C，则与x轴的交点即为使PA+PC最小的点P．如图，．
19.
①已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
②如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
解：
20.
①图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
②如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
解：
如图C即为所求。
21.
①已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC，使三角形周长最小.
②已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数。
③某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
解：①
②
∠MON的度数为30°
③
22.
如图，在△ABC中，ME和NF分别垂直平分AB和AC．
(1)???若BC
=?10?cm，试求△AMN的周长．
(2)???在△ABC中，AB
=
AC，∠BAC
=
100°，求∠MAN的度数．
(3)
在
(2)
中，若无AB
=
AC的条件，你还能求出∠MAN的度数吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
解：(1)
∵ME垂直平分AB
∴MA=MB
∵NF垂直平分AC
∴NA=NC
∴cm
(2)
∵AB
=
AC，
∴
∵MA
=
MB
∴
∵NA
=
NC
∴
∴
(3)
能．理由如下：
∵MA
=
MB
∴∠MAB
=∠B
∵NA
=
NB
∴∠NAC
=∠C
∴
23.
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证:△ABD≌△CFD；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长。
解：（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠OCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
24.
如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，
（1）如图1，过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：△BDE为等腰三角形；
（2）如图2、延长BE到D，∠ADB＝∠ABC，AF⊥BD于F，AD＝2，BF＝3，求DF的长；
（3）如图3．若AB＝AC，AF⊥BD，∠ACD＝∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．
解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DB＝DE，即△BDE为等腰三角形；
（2）解：在线段BD上取点H，使AH＝AD，
∴∠AHD＝∠D，
∵∠ADB＝∠ABC，
∴∠AHD＝∠ABC，
∵∠AHD＝∠HBA+∠HAB，∠HBA＝∠ABC，
∴∠HBA＝∠HAB，
∴HB＝HA＝AD＝2，
∴HF＝BF﹣BH＝1，
∵AH＝AD，AF⊥DH，
∴DF＝HF＝1；
（3）BF＝CD+DF，
理由如下：作AG⊥CD交CD的延长线于G，
∵∠ABF＝∠ABC，∠ACD＝∠ABC，
∴∠ABF＝∠ACD，
在△ABF和△ACG中，
，
∴△ABF≌△ACG（AAS）
∴AF＝AG，BF＝CG，
在Rt△AFD和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AGD（HL），
∴DF＝DG，
∴BF＝CG＝CD+DG＝CD+DF．
