22.1.3
二次函数的实际应用课
本节课是二次函数的实际应用，本节课是在学生刚刚学完二次函数的顶点式的图象和性质之后安排的一节课，是以数学书上36页圆形喷水池问题及相关为主题进行设计和展开的实际问题。
本节课的教学目标和教学重难点如下：
教学目标：
1．经历对实际问题的分析、把实际问题抽象为二次函数模型的过程，能正确建立直角坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题；
2．在用二次函数知识解决实际问题的过程中，提高分析、解决实际问题的能力，发展应用意识；
3．初步学会应用二次函数的知识解决实际问题的方法，体会转化思想、模型思想以及数形结合思想.
教学重点：建立直角坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题．
教学难点：将实际问题转化为数学问题.
教学过程：
围绕教学目标和重难点，本节课分为四个环节：复习回顾，问题探究，归纳总结，布置作业。
首先看第一个环节复习回顾，在这个环节设置了如下两个小题：
第1题是已知函数解析式，简单明了的复习顶点式的知识：开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、如何求抛物线与坐标轴的交点坐标，是由数到形；第2题是根据所给的函数图象求函数解析式，关键是会识图提取信息，是由形到数，选择这道题的意义是：（1）体现数形结合思想；（2）通过此题强化：当已知抛物线顶点坐标时，就设解析式为顶点式，这样求解析式更简单。（3）本节课是在学习了顶点式的基础上进行实际应用，为后续用顶点式解决问题做好充足的准备。
二、问题探究
在本节课之前，初三学生对于顶点式的知识已经掌握的很好，因此在这设计顶点式的应用是很有价值的，既符合学生的认知规律，也有挖掘的必要，而且为后续学习实际问题与二次函数进行了热身和准备。问题探究环节的设置经历了两稿的修改：
第一稿如下：
这一稿中，选取了3道例题，分别是书上圆形喷水池的问题，抛物线形桥拱截面图的问题和篮球运动轨迹是抛物线形的问题，选取的原因主要是这三种类型的实际问题生活中比较常见，学生对它们的背景相对比较熟悉，容易代入；再者引入课程前，生活中与抛物线有关的实际问题的举例就提到了这三个问题，这样就可以互相呼应，再者题目之间是呈阶梯式不断增加难度和深度去解决问题的。但是这样设置例题感觉比较分散，不成体系，对于学生来说一节课中需要熟悉这么多的实际背景，需要的时间长，而且对学生来说也会造成干扰。怎么设计既能让学生经历对实际问题的分析、把实际问题抽象为二次函数模型的过程，能正确建立直角坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题；还能提高分析、解决实际问题的能力，发展应用意识。再次回到教材，反复琢磨，于是有了现在的想法，能否只在圆形喷水池的背景下，通过改编课本上的例题设计出层层深入的问题。
多次尝试，查阅资料，完成了下面的设计。
第二稿的设计主要是以圆形喷水池为背景，以例题为蓝本设计了三个呈阶梯式不断增加难度的问题，也就是一个例题两个变式的形式。例题是教材中的原题：要求的是水管的长。以此问题作为教学的出发点，通过变式设计其它问题，“让问题处于学生思维水平的最近发展区”，
从而引导学生逐步发现问题、分析问题、解决问题,通过创设思维情境,设置思维障碍,添设思维阶梯等手段激发学生的好奇心,唤起学生的求知欲。
变式1是条件水柱落地处与和所求水管的长交换位置，又考虑到圆形喷水池的半径与水柱落地处到池中心的距离有关，因此没有直接问“水柱落地处到池中心的距离是多少”，而是改为求与它有关的：水池的半径至少要多少，才能使喷出的水柱不致落到池外？使问题的问法更具灵活性和思考性。变式2是知道水管长和水柱落地处到池中心的距离，要求：使水流刚好不落到池外，这时水柱的最大高度是多少？但是条件不够需要添加新的条件，可添加“喷出的抛物线形水柱最高点到池中心的水平距离，或者是给出与解析式中a有关的条件，最后选择了添加条件：使喷出的抛物线形水柱形状与变式1相同。
例题承载了如下任务：1、通过阅读把实际问题转化为数学问题；2、建立不同的直角坐标系解决问题。通过例题让学生体会到要解决实际问题首先要把它转化为数学问题，能否成功转化的关键是要读懂题目.
可见数学阅读对实际问题的重要意义。课程标准中提出了要重视学生数学的阅读能力；要求教师应该指导学生阅读，提高他们的数学技能；又强调：学生需要具备处理实际问题的能力，这些问题包括：了解信息的途径、分析以及解决问题的方法、解决问题方法的多样性以及学会创新等。数学阅读对于这些问题的解决起着重要的作用，甚至可以说，如果不具备数学阅读能力，这些问题基本无法解决。因此培养学生的数学阅读能力对学生学好数学具有重要的意义和作用。
如何阅读分析实际问题呢？首先让学生了解阅读的方法：可以先通读整个问题，理清它的框架，对问题整体把握。接下来再逐字逐句分析，把条件和所求进行准确、充分的解读，对于重点语句可以圈点勾画，重点分析.首先由老师抛砖引玉对条件“要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管”举例分析，如：这里一个圆形喷水池可以抽象成一个圆，池中心可抽象成一个点，为了便于分析就叫点O，点O是圆的圆心，题目中并没有提到水池大小，所以此圆的半径还不确定。为什么要这样细的引领学生去阅读分析呢？这里的信息对我们来说
很容易分析出来，但对于学生却未必，因此这样逐字逐句分析对于学生理解问题还是很必要的。接下来设计了试一试的环节：让学生类比老师的方法分析其它的条件和所求，给学生实践和体会的机会，再通过老师逐字逐句的分析加深学生对实际问题如何阅读和分析的方法的理解和掌握，从而完成把实际问题转化为数学问题这一关键环节。
通过例题还需要让学生清楚解决本题需要建立直角坐标系，关键是要找到适当的原点，而原点一般选取特殊的点，引导学生寻找题目中特殊点，并发现点O的特殊之处，先选点O为原点建立直角坐标系解决例题。在解决问题的过程中，要让学生明确解决这类问题的步骤，在建立直角坐标系后，首先需要把已知的线段长转化为点的坐标，再类比复习的第二题已知顶点坐标设解析式的方法，求出解析式，要清楚因这段抛物线只是某一个完整抛物线的一部分，所以必须考虑自变量x的取值范围，求出数学答案后要检验其是否符合实际意义并答题。紧接着设计做一做的环节，请学生们思考其它建立直角坐标系的方法，并做一做，设计的目的是让学生自己亲自实践，体会建立直角坐标系解决问题的过程。
对于例题，有多种选择原点建立直角坐标系的方法，我介绍了以点O、C、B、A为原点的四种方法，前三种方法它们的相同点是都可以找到顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入一个已知点坐标就可求出解析式。不同之处是以点O为原点时，其它点的横、纵坐标都是非负数，以C为原点时，其它点的横纵坐标都是非正数，这两种方法，在求解析式和求点A纵坐标的计算中主要区别是符号不同。而以点B为原点，会发现所求解析式最简单，但不能通过求点A的坐标直接求出水管的长，还需要求出点O的纵坐标。但以点A为原点时，是不能确定顶点坐标的，需要通过设参数才能表示出点B、C的纵坐标，再去求解析式和水管长。主要想通过对比它们的相同点和不同之处，让学生体会不同方法虽然都能解决问题，但选择适当的原点建立直角坐标系便于计算和解决问题，从而达到发散、启迪思维，总结方法、规律，开阔视野，提高分析和解决数学问题能力的目的。
本节课设计了两个变式，这种设计可以让学生体会到对于同一个问题的不同设计角度，以及例题和两个变式之间的变化和联系。并且设计时把应用二次函数解决实际问题中的检验的基本步骤、求最值的方法分散在这两个变式中，体现层次性和设计感。对于变式1，通过问题的解决让学生体会到对于实际问题，在得到数学问题答案后，回答实际问题还需要还原到实际问题情境中，并检验其合理性，这是应用数学知识、数学模型解决实际问题需要采取的基本步骤.对于变式2，让学生体会到要求水柱的最大高度，其实就是在二次函数中，根据自变量x的取值范围来确定函数的最大值问题.
在归纳总结环节中，系统的对本节课进行了总结。1是用二次函数解决实际问题的基本流程，在这个环节中包括两个方面的内容（1）如何把实际问题转化为数学问题；（2）对于“物体运动轨迹或形状是抛物线形”的实际问题转化为二次函数问题后解决问题的步骤和环节。2是从思想方法的角度总结，提升思维高度。
本次课程留了两道作业题，它们分别是举例时提到的抛物线形桥拱截面图的问题和篮球运动轨迹是抛物线形的问题，与之前的举例首尾相呼应。对于第2题，设置了一个思考的环节：围绕作业的第2题还可以提出什么新问题？请大家尝试设计问题并解决.给学生设置一个挑战，激发学生学习数学的兴趣。主要是课堂上对例题进行变式教学的一个延续和启发，启迪学生的思维。(共19张PPT)
1
二次函数y=a(x?h)2+k
的实际应用
教学目标：
1.经历对实际问题的分析、把实际问题抽象为二次函数模型的过程，能正确建立直角坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题；
2.在用二次函数知识解决实际问题的过程中，提高分析、解决实际问题的能力，发展应用意识；
3.初步学会应用二次函数的知识解决实际问题的方法，体会转化思想、模型思想以及数形结合思想.
教学重点：
建立直角坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题．
将实际问题转化为数学问题.
教学难点：
4
教
学
环
节
复习回顾
问题探究
归纳总结
布置作业
1
2
3
4
复习回顾
1.
抛物线的开口方向_____，对称轴为______，
顶点坐标为_______，当x=____时，y有最___值为____，
此抛物线与y轴的交点坐标为_______________________，
与x轴的交点坐标为________________________________.
2.
如图所示，求此抛物线对应的函数解析式.
问题探究
例1
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为
1
m
处达到最高，高度为
3
m，水柱落地处离池中心
3
m，水管应多长？
例2
如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？
例3
一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高
m，与篮圈中心的水平距离为8
m，当球出手后水平距离为4
m时到达最大高度4
m（如下图所示）.
（1）已知篮球运行的路径为抛物线，求出此抛物线的函数解析式.
（2）若篮圈中心距离地面3
m,问此球能否投进?
（3）在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投
入篮圈？
（4）在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移
多少
m后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？
问题探究
例
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1
m处达到最高，高度为3
m，水柱落地处离池中心3
m，水管应多长？
变式1
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若水管的长度为1.25
m，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1
m处达到最高，高度为2.25
m，如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少，才能使喷出的水柱不致落到池外？
变式2
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若水管的长度为1.75
m，使喷出的抛物线形水柱形状与变式1相同，水池的半径为3.5
m，要使水柱刚好不落到池外，这时水柱的最大高度是多少？
例
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1
m处达到最高，高度为3
m，水柱落地处离池中心3
m，水管应多长？
O
例
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1
m处达到最高，高度为3
m，水柱落地处离池中心3
m，水管应多长？
例
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1
m处达到最高，高度为3
m，水柱落地处离池中心3
m，水管应多长？
做一做：建立不同的直角坐标系解决上述问题.
方法1
方法2
方法3
M
M
M
方法4
(1，n)
(3，
n-3)
变式1
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若水管的长度为1.25
m，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1
m处达到最高，高度为2.25
m，如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少，才能使喷出的水柱不致落到池外？
变式2
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若水管的长度为1.75
m，使喷出的抛物线形水柱形状与变式1相同，水池的半径为3.5
m，要使水柱刚好不落到池外，这时水柱的最大高度是多少？
2.
思想方法：转化思想，模型思想，数形结合.
1.
基本流程：
归纳总结
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2
m时，
水面宽4
m.水面下降1
m，水面宽度增加多少？
布置作业
一场篮球赛中，小明跳起投篮，篮球运行的
路径为抛物线，
已知球出手时离地面高
m，
与篮圈中心的水平距离为8
m，
当球出手后水平距离为4
m时到达最大高度4
m，篮圈
中心
距离地面3
m
(如下图所示）.
（1）求出此抛物线的函数解析式.
（2）小明的这次投篮是否能投进？请计算说明.
（3）在出手角度和力度都不变的情况下，小明的出手高度为多少
时能将篮球投入篮圈？
思考：围绕作业的第2题还可以提出什么新问题？请大家尝试设计问题并解决.
