2020-----2021第一学期北师版数学九年级第二周（基础版）周清试卷
一、选择题：
1、下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
2、如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于
（ ）
A．1
B．
C．
D．
3、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9
B．6
C．4
D．3
4、如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（ ）
A．5
B．
C．7
D．
5.
如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，
BE=BC,P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于R，
则PQ+PR的值为（
）
A.
B.
C.
D.
6、如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（ ）
A．（﹣6，2）
B．（0，2）
C．（2，0）
D．（2，2）
7、如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：
1、如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是
．
2、如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH=
°
3、如图，四边形ACFD是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E、A、B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是________．
4、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为
5、正方形，，，按如图的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是
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三、解答题：
1、如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
2、（2020?山西）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．2020-----2021第一学期北师版数学九年级第二周（基础版）周清试卷答案
一、选择题：
1、【答案】D
【分析】根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】解：∵四边相等的四边形一定是矩形，∴①错误；
∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；
∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；
∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；
其中正确的有1个，
故选D．
2、【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，
∴S阴=S正方形ABCD=，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．
3、【答案】D
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4，
∴4×ab+（a﹣b）2=25，
∴（a﹣b）2=25﹣16=9，
∴a﹣b=3，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
4、【答案】D
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，AE==．
故选：D．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
5、【答案】D
【解答】解：根据等腰三角形的性质3：等腰三角形底上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，可以得到PQ+PR=BD的一半，
6、【答案】B
【解答】解：∵在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），
∴D（﹣3，2），
∴将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（0，2），
故选：B．
7、【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选：A．
二、填空题：
1、【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，
=（a+3+3）（a+3﹣3），
=a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
故答案为：a+6．
2、{答案}15
【解答】解：本题考查了正方形和等腰三角形的性质，根据正方形的性质得到AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六边形ABEFGH中，求得AB＝AH，∠BAH＝120°，于是得到AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，根据等腰三角形的性质即可得到结论，因此本题答案为15．
3、【答案】8
【解答】解：∵四边形ACFD是正方形，
∴∠CAF=90°，AC=AF，
∴∠CAE+∠FAB=90°，
又∵∠CEA和∠ABF都是直角，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FAB，
在△ACE和△FAB中，
∵
,
∴△ACE≌△FAB（AAS），
∵AB=4，
∴CE=AB=4，
∴S阴影=S△ABC=
·AB·CE=
×4×4=8.
故答案为：8.
【分析】根据正方形的性质得∠CAF=90°，AC=AF，再根据三角形内角和和同角的余角相等得∠ACE=∠FAB，由全等三角形的判定AAS得△ACE≌△FAB，由全等三角形的性质得CE=AB=4，根据三角形的面积公式即可得阴影部分的面积.
4、【分析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴B'E＝2AE，
设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，
∴2（3﹣x）＝x，
解得x＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
5、【分析】观察图形，分别求出，，，……，再探索规律。
【解答】解：由题意得
的纵坐标1=，的纵坐标2=，的纵坐标4=，的纵坐标8=，……的纵坐标=
∴的纵坐标
三、解答题：
1、
【分析】直接利用已知得出∠BCE=∠ABF，进而利用全等三角形的判定与性质得出AF=BE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BCE+∠CBG=90°，
∵∠ABF+∠CBG=90°，
∴∠BCE=∠ABF，
在△BCE和△ABF中
，
∴△BCE≌△ABF（ASA），
∴BE=AF．
2、【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CE'，可得结论；
（3）利用勾股定理可求BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求DE的长．
【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE＝＝＝3．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
