(共35张PPT)
第1章
集 合
康托尔(Georg
Cantor，1845～1918)，德国数学家，生于俄罗斯圣彼得堡，自幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博士学位，以后一直在哈雷大学任教，从事数学教学与研究.
[读图探新]——发现现象背后的知识
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”而集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动.数学家激动的喊：“找到了，找到了，这就是一个集合”.
问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全一样的吗？网中的“大鱼”能构成集合吗？
问题2：渔民网中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？
问题3：如果有两个渔民都在打渔，他们各自渔网中的鱼的种类组成两个集合，那么求这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什么运算？将两个渔网中的鱼组成的集合中的鱼的种类合在一起的过程又是集合的哪种运算？
链接：数学家所说的集合是指渔网中的鱼，很显然渔网中的对象都是确定的、无序的和互异的；渔网中的鱼组成的集合是湖中的鱼组成集合的一部分，是湖中鱼构成集合的一个子集；两个渔网中相同鱼的种类组成的集合是两个集合的交集，两个渔网中的鱼的种类合在一起就构成了两个集合的并集.
1.1 集合的概念与表示
第一课时 集合的概念
课标要求
素养要求
1.通过实例了解集合的含义；理解元素与集合的属于关系.
2.记住常用数集的表示符号，并会应用.
通过集合概念及元素与集合关系的学习.培养数学抽象素养，提升数学运算素养.
新知探究
中华人民共和国成立70周年阅兵式于2019年10月1日10：00在北京天安门广场隆重举行，阅兵编59个方(梯)队，参与人数约1.5万人，是历年来规模最大的一次.
问题 参加阅兵式的所有女兵能否组成一个集合？
提示 参加阅兵式的所有女兵能够组成一个集合.
1.集合与元素
(1)一般地，一定范围内某些________、________对象的全体组成一个集合，常用大写字母A，B等表示集合.
(2)集合中的____________称为该集合的元素，简称元，常用小写字母a，b表示元素.
确定的
不同的
每一个对象
2.元素与集合的关系
知识点
关系
概念
记法
读法
元素与
集合的
关系
属于
如果a是集合A中的元素，就说a______A
________
“a属于A”
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a________A
________
“a不属于A”
属于
a∈A
不属于
a?A
在a∈A与a?A这两种情况中有且只有一种成立
3.常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
____
____________
____
____
____
N
N
或N＋
Z
Q
R
拓展深化
[微判断]
×
√
1.漂亮的花可以组成集合.(
)
提示 “漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.
2.元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的.(
)
提示 集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合.
3.y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1，2)∈A.(
)
×
[微训练]
1.考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2020年1月1日，参加“一带一路”的国家.
A.③④
B.②③④
C.②③
D.②④
解析 ①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
答案 B
2.“用∈”或“?”填空.
∈
?
∈
∈
[微思考]
1.若a∈A，b∈A，则元素a，b有什么关系？为什么？
提示 a≠b，因为组成集合的元素是确定的、不同的对象.
2.某班所有的“调皮的同学”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？
提示 某班所有的“调皮的同学”不能构成集合，因“调皮的同学”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
题型一 集合概念的理解
【例1】 考察下列每组对象能否构成一个集合.
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
规律方法 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
【训练1】 (1)下列说法中正确的有________(填序号).
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，如果a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合.
(2)下列各组对象可以组成集合的是( )
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
解析 (1)①不正确.book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确.集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形.
③不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关.
(2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合.
答案 (1)② (2)B
题型二 元素与集合的关系
【例2】 用符号“∈”或“?”填空：
答案 (1)? ? ∈ (2)? ∈
规律方法 符号“∈”“?”仅可用来表示元素与集合的关系，有且只有其中的一种情况成立，a∈A还是a?A取决于a是不是集合A中的元素.
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)已知集合M是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则2________M；(－2，1)________M，(1，3)________M.
解析 (1)①正确；②③④不正确.
(2)集合M中的元素是第二象限的点，而2是实数，故2?M.点(－2，1)是第二象限内的点，故(－2，1)∈M.而(1，3)在第一象限，∴(1，3)?M.
答案 (1)A (2)? ∈ ?
题型三 集合中元素的性质及应用
【例3】 已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同.
解 (1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求.
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0，1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，且x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同.
故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同.
规律方法 集合中的元素是确定的、互异的、没有顺序.其中互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.元素的无序性主要体现在：给出元素属于某集合，它可能表示集合中的任一元素.
所以a2
020＋b2
020＝(－1)2
020＋0＝1.
一、素养落地
1.通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养.
2.研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据.
3.集合中的元素必须是确定的、互异的，可以任意排序，与次序无关.
二、素养训练
A.a∈M
B.a?M
C.a＝M
D.a≠M
答案 B
2.现有下列各组对象：
①著名的数学家；②某校2020年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点.
其中能构成集合的是( )
A.①③
B.②③
C.③④
D.③④⑤
解析 ①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给一个数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；类似地，④也能构成一个集合；对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合.
答案 D
3.已知1，x，x2三个实数构成一个集合，x满足的条件是( )
A.x≠0
B.x≠1
C.x≠±1
D.x≠0且x≠±1
解析 根据集合中元素的互异性，
答案 D
4.用符号∈或?填空.
答案 ∈ ? ∈ ? ?
5.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值.
解 (1)由集合中元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.
经检验知x＝－2时三个元素符合互异性.
故x＝－2.(共23张PPT)
第二课时 集合的表示方法
课标要求
素养要求
1.掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法.
2.学会选择合适的方法表示集合，理解集合的相等、有限集、无限集等概念.
在集合表示方法的选择中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.
新知探究
集合就是一个整体，集合中的对象的形式是多样化的，可以是点，也可以是数、式、人物等.常用的数集可以用特定的字母符号表示.
问题 如何表示不等式2x＋5<15的所有实数解构成的集合？
提示 用描述法，可以表示为{x∈R|x<5}.
1.集合的表示方法
(1)列举法：将集合的元素__________出来，并置于花括号“{}”内，用这种方法表示集合，元素之间逗号分隔，但列举时与元素的次序无关.
(2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成__________的形式.其中x为集合的__________.p(x)指元素x具有的性质.
2.为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用__________来表示一个集合，称为Venn图.
3.含有________元素的集合称为有限集，含有________元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为______，记作____.
一一列举
{x|p(x)}
代表元素
它的内部
有限个
无限个
空集
?
拓展深化
[微判断]
×
1.由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}.(
)
提示 集合中的元素不能重复，是互异的.
2.集合{(1，2)}中的元素是1和2.(
)
提示 (1，2)是集合中的元素.`
提示 两集合的代表元素不同.
×
×
[微训练]
1.用列举法表示大于1且小于4的整数组成的集合应为________.
答案 {2，3}
2.由点(1，1)与(0，1)组成的集合可表示为________.
解析 集合中只有两个点，用列举法表示.
答案 {(1，1)，(0，1)}
3.方程x2－2x－3＝0的所有实数根组成的集合用描述法可表示为________，用列举法可表示为________.
答案 {x|x2－2x－3＝0} {－1，3}
1.不等式1<2x－1<7的解组成的集合应该如何表示？可以用列举法表示吗？
提示 不等式1<2x－1<7的解为12.列举法可以表示无限集吗？
提示 列举法可以表示有限集，也可以表示无限集.若集合中元素个数较多或无限多，但呈现一定的规律性，在不致发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
[微思考]
题型一 列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合.
解 (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}.
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}.
(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}.
规律方法 用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
【训练1】 用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合C.
解 (1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}.
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，
所以C＝{(1，3)}.
题型二 描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈N表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}.
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
规律方法 利用描述法表示集合应关注三点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.且要分清是点集还是数集.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
【训练2】 试用描述法表示下列集合.
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合；
(3)二次函数y＝x2－2图象上的所有点组成的集合.
解 (1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10(3)二次函数y＝x2－2图象上的所有的点用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－2}.
题型三 集合表示方法的综合应用
【例3】 已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
解 ①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
②当k≠0，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}.
规律方法 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.
【训练3】 已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，求集合B.
解 ∵A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，
∴方程x2＋px＋q＝x有两个相等实根x＝2，
∴B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}＝{x|x2－6x＋5＝0}＝{1，5}.
一、素养落地
1.选择合适的方法表示集合，经历由具体到抽象，由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展数学抽象素养，提升数学运算素养.
2.表示集合的要求
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
二、素养训练
1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A.{1，1}
B.{1}
C.{x＝1}
D.{x2－2x＋1＝0}
解析 方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确.
答案 B
2.下列集合中不同于另外三个集合的是( )
A.{0}
B.{y|y2＝0}
C.{x|x＝0}
D.{x＝0}
解析 A是列举法，C是描述法，对于B，要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同，而D表示该集合含有一个元素，即方程“x＝0”.故选D.
答案 D
3.集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________.
解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
答案 {1}
4.已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围为________________.
解析 ∵1?{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
答案 {a|a≤－2}
5.用适当的方法表示下列集合：
(1)16与24的公约数；
(2)不等式3x－5>0的解构成的集合.
解 (1)16与24的公约数组成的集合为{1，2，4，8}.第二课时 集合的表示方法
课标要求
素养要求
1.掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法.2.学会选择合适的方法表示集合，理解集合的相等、有限集、无限集等概念.
在集合表示方法的选择中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.
新知探究
集合就是一个整体，集合中的对象的形式是多样化的，可以是点，也可以是数、式、人物等.常用的数集可以用特定的字母符号表示.
问题 如何表示不等式2x＋5<15的所有实数解构成的集合？
提示 用描述法，可以表示为{x∈R|x<5}.
1.集合的表示方法
(1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内，用这种方法表示集合，元素之间逗号分隔，但列举时与元素的次序无关.
(2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式.其中x为集合的代表元素.p(x)指元素x具有的性质.
2.为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图.
3.含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作?.
拓展深化
[微判断]
1.由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}.(×)
提示 集合中的元素不能重复，是互异的.
2.集合{(1，2)}中的元素是1和2.(×)
提示 (1，2)是集合中的元素.
3.集合{x|y＝}与{(x，y)|y＝}相同.(×)
提示 两集合的代表元素不同.
[微训练]
1.用列举法表示大于1且小于4的整数组成的集合应为________.
答案 {2，3}
2.由点(1，1)与(0，1)组成的集合可表示为________.
解析 集合中只有两个点，用列举法表示.
答案 {(1，1)，(0，1)}
3.方程x2－2x－3＝0的所有实数根组成的集合用描述法可表示为________，用列举法可表示为________.
答案 {x|x2－2x－3＝0} {－1，3}
[微思考]
1.不等式1<2x－1<7的解组成的集合应该如何表示？可以用列举法表示吗？
提示 不等式1<2x－1<7的解为12.列举法可以表示无限集吗？
提示 列举法可以表示有限集，也可以表示无限集.若集合中元素个数较多或无限多，但呈现一定的规律性，在不致发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
题型一 列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合.
解 (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}.
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}.
(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}.
规律方法 用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
【训练1】 用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合C.
解 (1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}.
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，
所以C＝{(1，3)}.
题型二 描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解 (1)偶数可用式子x＝2n，n∈N表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}.
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
规律方法 利用描述法表示集合应关注三点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.且要分清是点集还是数集.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
【训练2】 试用描述法表示下列集合.
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合；
(3)二次函数y＝x2－2图象上的所有点组成的集合.
解 (1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10(3)二次函数y＝x2－2图象上的所有的点用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－2}.
题型三 集合表示方法的综合应用
【例3】 已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
解 ①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
②当k≠0，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}.
规律方法 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.
【训练3】 已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，求集合B.
解 ∵A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，
∴方程x2＋px＋q＝x有两个相等实根x＝2，
由根与系数关系得∴
∴B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}＝{x|x2－6x＋5＝0}＝{1，5}.
一、素养落地
1.选择合适的方法表示集合，经历由具体到抽象，由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展数学抽象素养，提升数学运算素养.
2.表示集合的要求
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
二、素养训练
1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A.{1，1}
B.{1}
C.{x＝1}
D.{x2－2x＋1＝0}
解析 方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确.
答案 B
2.下列集合中不同于另外三个集合的是( )
A.{0}
B.{y|y2＝0}
C.{x|x＝0}
D.{x＝0}
解析 A是列举法，C是描述法，对于B，要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同，而D表示该集合含有一个元素，即方程“x＝0”.故选D.
答案 D
3.集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________.
解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
答案 {1}
4.已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围为________________.
解析 ∵1?{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
答案 {a|a≤－2}
5.用适当的方法表示下列集合：
(1)16与24的公约数；
(2)不等式3x－5>0的解构成的集合.
解 (1)16与24的公约数组成的集合为{1，2，4，8}.
(2)不等式3x－5>0的解集为.
基础达标
一、选择题
1.下列各组集合中表示同一集合的是( )
A.M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B.M＝{3，2}，N＝{2，3}
C.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D.M＝{3，2}，N＝{(3，2)}
解析 由于集合中的元素具有无序性，故{3，2}＝{2，3}.
答案 B
2.方程组的解集是( )
A.{x＝3，y＝0}
B.{3}
C.{(3，0)}
D.{(x，y)|(3，0)}
解析 方程组解的形式是有序实数对，故可排除A，B，而D中的用描述法表示集合的形式不正确，排除D.
答案 C
3.集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A.方程y＝2x－1
B.点(x，y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
解析 集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
答案 D
4.下列命题中正确的是( )
A.集合{x∈R|x2＝1}中有两个元素
B.集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D.{1，2}与{2，1}是不同的集合
解析 {x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，?{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合.
答案 A
5.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是( )
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C.{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D.{x|x＝4s－3，s∈N
，且s≤5}
解析 对于x＝4s－3，当s依次取1，2，3，4，5时，恰好对应的x的值为1，5，9，13，17.
答案 D
二、填空题
6.集合{x∈N
|x－3<2}用列举法可表示为________.
解析 {x∈N
|x－3<2}＝{x∈N
|x<5}＝{1，2，3，4}.
答案 {1，2，3，4}
7.由能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为________________.
解析 正整数中所有的偶数均能被2整除.
答案 {x|x＝2n，n∈N＋}
8.已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
解析 ∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；
当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.
∴B＝{0，1}.
答案 {0，1}
三、解答题
9.用适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集.
(1)大于1且小于70的正整数构成的集合；
(2)方程x2－x＋2＝0的实数解构成的集合.
解 (1)设大于1且小于70的正整数构成的集合为A，
则可用描述法表示为A＝{x|1(2)设方程x2－x＋2＝0的实数解构成的集合为B，
因为Δ＝1－8＝－7<0，
所以该方程无实数解，即集合B中不存在任何元素，
所以B＝?.B是有限集.
10.用指定的方法表示下列集合[(1)(2)用列举法，(3)(4)用描述法]：
(1)M＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N
，y∈N
}；
(2)方程组的解构成的集合；
(3)大于3的全体偶数构成的集合；
(4)平面直角坐标系中，x轴上的所有点.
解 (1)由x＋y＝4，x∈N
，y∈N
，
得
所以M＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)}.
(2)由得
所以所求集合为{(3，－2)}.
(3)所求集合为{x|x＝2k，k>1，且k∈N
}.
(4)所求集合为{(x，y)|y＝0，x∈R}.
能力提升
11.集合A＝用列举法表示为( )
A.{－2}
B.{－2，2}
C.{－2，2，4}
D.{－2，2，4，5}
解析 因为x∈Z，∈N，所以6－x＝1，2，4，8.
此时x＝5，4，2，－2，即A＝{5，4，2，－2}.
答案 D
12.下列三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解 (1)不是.
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量的取值范围；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量的取值范围.
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对.可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的.
创新猜想
13.(多选题)下列说法中不正确的是( )
A.集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}
B.实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}
C.方程组的解组成的集合为{x＝1，y＝2}
D.方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的所有解组成的集合为{(2，－3)}
解析 对于A，由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1?N，所以集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0，1}.
对于B，集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R.
对于C，方程组的解是有序实数对，而集合{x＝1，y＝2}表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为{(1，2)}或.
对于D，由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，故集合为{(2，－3)}.
答案 ABC
14.(多空题)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集________(答案不唯一).
解析 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等.
答案 不是 第1章
集 合
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
康托尔与集合论
翻开高中数学课本，首先映入眼帘的数学概念是集合.研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论.它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，而且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么集合论正是构成这座大厦的基石.其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一.
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康托尔(Georg
Cantor，1845～1918)，德国数学家，生于俄罗斯圣彼得堡，自幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博士学位，以后一直在哈雷大学任教，从事数学教学与研究.
[读图探新]——发现现象背后的知识
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先生，
请你告诉我，集合是什么？”而集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动.数学家激动的喊：“找到了，找到了，这就是一个集合”.
问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全一样的吗？网中的“大鱼”能构成集合吗？
问题2：渔民网中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？
问题3：如果有两个渔民都在打渔，他们各自渔网中的鱼的种类组成两个集合，那么求这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什么运算？将两个渔网中的鱼组成的集合中的鱼的种类合在一起的过程又是集合的哪种运算？
链接：数学家所说的集合是指渔网中的鱼，很显然渔网中的对象都是确定的、无序的和互异的；渔网中的鱼组成的集合是湖中的鱼组成集合的一部分，是湖中鱼构成集合的一个子集；两个渔网中相同鱼的种类组成的集合是两个集合的交集，两个渔网中的鱼的种类合在一起就构成了两个集合的并集.
1.1 集合的概念与表示
第一课时 集合的概念
课标要求
素养要求
1.通过实例了解集合的含义；理解元素与集合的属于关系.2.记住常用数集的表示符号，并会应用.
通过集合概念及元素与集合关系的学习.培养数学抽象素养，提升数学运算素养.
新知探究
中华人民共和国成立70周年阅兵式于2019年10月1日10：00在北京天安门广场隆重举行，阅兵编59个方(梯)队，参与人数约1.5万人，是历年来规模最大的一次.
问题 参加阅兵式的所有女兵能否组成一个集合？
提示 参加阅兵式的所有女兵能够组成一个集合.
1.集合与元素
(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，常用大写字母A，B等表示集合.
(2)集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元，常用小写字母a，b表示元素.
2.元素与集合的关系
在a∈A与a?A这两种情况中有且只有一种成立
知识点
关系
概念
记法
读法
元素与集合的关系
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于A
a∈A
“a属于A”
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A
a?A
“a不属于A”
3.常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N
或N＋
Z
Q
R
拓展深化
[微判断]
1.漂亮的花可以组成集合.(×)
提示 “漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.
2.元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的.(×)
提示 集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合.
3.y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1，2)∈A.(√)
[微训练]
1.考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2020年1月1日，参加“一带一路”的国家.
A.③④
B.②③④
C.②③
D.②④
解析 ①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
答案 B
2.“用∈”或“?”填空.
(1)0∈N；(2)?Q；(3)－3∈Z；(4)∈R.
[微思考]
1.若a∈A，b∈A，则元素a，b有什么关系？为什么？
提示 a≠b，因为组成集合的元素是确定的、不同的对象.
2.某班所有的“调皮的同学”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？
提示 某班所有的“调皮的同学”不能构成集合，因“调皮的同学”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
题型一 集合概念的理解
【例1】 考察下列每组对象能否构成一个集合.
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体.
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
规律方法 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
【训练1】 (1)下列说法中正确的有________(填序号).
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，如果a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合.
(2)下列各组对象可以组成集合的是( )
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
解析 (1)①不正确.book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确.集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形.
③不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关.
(2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合.
答案 (1)② (2)B
题型二 元素与集合的关系
【例2】 用符号“∈”或“?”填空：
(1)设集合A是由正整数的全体构成的集合，则0________A，________A，(－1)0________A；
(2)设集合B是由小于的实数的全体构成的集合，则2________B，1＋________B.
解析 (1)0不是正整数，不是整数，(－1)0＝1是正整数，故依次填?，?，∈.
(2)2＝>，
∵(1＋)2＝3＋2<11，
∴1＋<，故依次填?，∈.
答案 (1)? ? ∈ (2)? ∈
规律方法 符号“∈”“?”仅可用来表示元素与集合的关系，有且只有其中的一种情况成立，a∈A还是a?A取决于a是不是集合A中的元素.
【训练2】 (1)给出下列关系：①∈R；②|－3|?N；③|－|∈Q；④0?N.其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)已知集合M是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则2________M；(－2，1)________M，(1，3)________M.
解析 (1)①正确；②③④不正确.
(2)集合M中的元素是第二象限的点，而2是实数，故2?M.点(－2，1)是第二象限内的点，故(－2，1)∈M.而(1，3)在第一象限，∴(1，3)?M.
答案 (1)A (2)? ∈ ?
题型三 集合中元素的性质及应用
【例3】 已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同.
解 (1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求.
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0，1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，且x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同.
若2a－1＝0，则a＝，A包含的元素为0，－，，与集合B中元素不相同.
故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同.
规律方法 集合中的元素是确定的、互异的、没有顺序.其中互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.元素的无序性主要体现在：给出元素属于某集合，它可能表示集合中的任一元素.
【训练3】 由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，求a2
020＋b2
020的值.
解 由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得或
解得或(不满足集合元素的互异性，舍去).
所以a2
020＋b2
020＝(－1)2
020＋0＝1.
一、素养落地
1.通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养.
2.研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据.
3.集合中的元素必须是确定的、互异的，可以任意排序，与次序无关.
二、素养训练
1.设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是( )
A.a∈M
B.a?M
C.a＝M
D.a≠M
解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是.∵<2，∴a?M.
答案 B
2.现有下列各组对象：
①著名的数学家；②某校2020年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点.
其中能构成集合的是( )
A.①③
B.②③
C.③④
D.③④⑤
解析 ①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给一个数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；类似地，④也能构成一个集合；对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合.
答案 D
3.已知1，x，x2三个实数构成一个集合，x满足的条件是( )
A.x≠0
B.x≠1
C.x≠±1
D.x≠0且x≠±1
解析 根据集合中元素的互异性，
得解得x≠0且x≠±1.
答案 D
4.用符号∈或?填空.
2________N，________Q，－3________Z，0________?，0________N
.
答案 ∈ ? ∈ ? ?
5.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值.
解 (1)由集合中元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.
经检验知x＝－2时三个元素符合互异性.
故x＝－2.
基础达标
一、选择题
1.以下各组对象不能组成集合的是( )
A.中国古代四大发明
B.地球上的小河流
C.方程x2－7＝0的实数解
D.周长为10
cm的三角形
解析 因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合.
答案 B
2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A.3.14
B.－5
C.
D.
解析 由题意知a应为无理数，故a可以为.
答案 D
3.给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a?Z；
③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.
答案 B
4.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( )
A.矩形
B.平行四边形
C.菱形
D.梯形
解析 由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.
答案 D
5.由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A.1
B.－2
C.－1
D.2
解析 由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知C正确，故选C.
答案 C
二、填空题
6.下列说法：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正确的有________(填序号).
解析 因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确.
答案 ②④
7.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.
解析 由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3.经验证，
当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，故m＝3.
答案 3
8.用∈，?填空：
(1)0________N；
(2)π________Q；
(3)－________R；
(4)________Z.
答案 (1)∈ (2)? (3)∈ (4)∈
三、解答题
9.已知集合A中的元素为0，2，4，2－a，若a2－a＋2∈A，求实数a.
解 (1)若a2－a＋2＝0，无解；
(2)若a2－a＋2＝2，即a2－a＝0，∴a＝0或1.
但a＝0时，2－a＝2，不满足元素互异性，舍去，a＝1满足；
(3)若a2－a＋2＝4，即a2－a－2＝0，a＝2或a＝－1.
但a＝2时，2－a＝0，不满足元素互异性，舍去，a＝－1满足；
(4)若a2－a＋2＝2－a，a＝0，由以上可知不满足题意.
综上，a＝1或－1.
10.已知集合A中的元素x满足ax2－3x＋1＝0，a∈R.
(1)若1∈A，求a的值；
(2)若A为单元素集合，求a的值；
(3)若A为双元素集合，求a的取值范围.
解 (1)∵1∈A，∴a×12－3×1＋1＝0，∴a＝2.
(2)当a＝0时，x＝；
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，∴a＝.
∴a＝0或a＝时A为单元素集合.
(3)当a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，
即a<且a≠0时，方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的解，∴a<且a≠0.
能力提升
11.由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含________个元素.
解析 由于＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中至少有两个相等，所以最多含2个元素.
答案 2
12.已知数集A满足条件：若a∈A，a≠－1，则∈A.
(1)若2∈A，任意写出A中的两个元素；
(2)若A为单元素集合，求a.
解 (1)若a∈A，a≠－1，则∈A，
∴当2∈A时，＝∈A；
当＝2，即a＝－时，2∈A.
综上，可知A中还有的两个元素为－和(答案不唯一).
(2)∵A为单元素集合，则必有a＝，
即a2＋a－1＝0，
解得a＝或a＝.
创新猜想
13.(多选题)下列说法正确的是( )
A.N中最小的元素是1
B.由单词“banana”中的所有字母组成的集合中有3个元素
C.若x∈N，则满足2x－5<0的元素组成的集合中的所有元素之和为3
D.在直角坐标系中，在坐标轴上的所有点组成一个集合
解析 N表示自然数集，最小的元素是0，故A错.B正确，元素分别为字母b，a，n.C中，由2x－5<0且x∈N，知x＝0，1，2，故所有元素之和为3，正确.D正确.
答案 BCD
14.(多空题)已知集合M中有2个元素x，2－x，若－1?M，则3________M，1________M.(用∈，?填空)
解析 若3∈M，则－1∈M，不合题意，故3?M.当x＝1时，2－x＝1，M中的两元素为1，1，不合题意，故1?M.
答案 ? ?
