1.2 子集、全集、补集
第一课时 子集
课标要求
素养要求
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.
新知探究
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.
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问题 (1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？
(2)集合A与集合B又存在什么关系？
提示 (1)集合A中的元素都是B的元素.
(2)A是B的子集.
1.子集、真子集
(1)如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A?B或B?A.读作：“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.
(2)如果A?B，并且A≠B.那么集合A称为集合B的真子集，记为A?B或B?A.读作“A真包含于B”或“B真包含A”.
2.子集、真子集的性质
(1)任意集合A都是它自身的子集，即A?A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即??A.
(3)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么A?C.
(4)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么A?C.
3.用维恩图表示非空集合的基本关系
(1)A?B表示为：或
(2)A?B表示为：
(3)A＝B表示为：
拓展深化
[微判断]
1.1?{1，2，3}.(×)
提示 “?”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.
2.任何集合都有子集和真子集.(×)
提示 空集只有子集，没有真子集.
3.若a∈A，则{a}?A.(×)
提示 也有可能{a}＝A.
4.若A?B，且B?A，则A＝B.(√)
[微训练]
1.已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B?A，则实数m＝________.
解析 ∵B?A，∴
元素3，4必为A中元素，∴m＝4.
答案 4
2.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.
解析 由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.
答案 －1 0
3.若{1，2}?B?{1，2，4}，则B＝________.
解析 由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.
答案 {1，2}或{1，2，4}
[微思考]
1.A?B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？
提示 A?B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝?，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.
2.符号“∈”与“?”的区别是什么？
提示 符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系；而符号“?”用于表示集合与集合之间的关系.
3.集合A中有n(n∈N
)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？
提示 ①由n个元素组成的集合有2n个子集；
②由n个元素组成的集合有(2n－1)个真子集；
③由n个元素组成的集合有(2n－1)个非空子集；
④由n个元素组成的集合有(2n－2)个非空真子集.
题型一 集合关系的判断
【例1】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}.
解 (1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N?M.
规律方法 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.
【训练1】 (1)设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )
A.P?N?M?Q
B.Q?M?N?P
C.P?M?N?Q
D.Q?N?M?P
(2)设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )
A.A∈B
B.B∈A
C.A?B
D.B?A
解析 (1)正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
(2)∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.∴A?B.
答案 (1)B (2)C
题型二 集合的子集、真子集
【例2】 (1)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.
解析 集合{a，b，c}的子集有：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中，除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
答案 ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 7
(2)写出满足{3，4}?P?{0，1，2，3，4}的所有集合P.
解 由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.
规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
【训练2】 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
题型三 子集关系的应用
【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围.
解 (1)当B≠?时，如图所示.
∴或
解这两个不等式组得2≤m≤3.
(2)当B＝?时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}.
【迁移1】 (变换条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解 (1)当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠?时，如图所示.
∴解得
即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}.
【迁移2】 (变换条件)若本例条件“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，求m的取值范围.
解 当A?B时，如图所示，此时B≠?.
∴即
∴m∈?，即m的取值范围为?.
规律方法 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示.
(2)涉及到“A?B”或“A?B且B≠?”的问题，一定要分A＝?和A≠?两种情况讨论，不要忽视空集的情况.
【训练3】 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围.
解 (1)若A?B，由图可知a>2.
(2)若B?A，由图可知1≤a≤2.
一、素养落地
1.通过自然语言、图形语言、符号语言表示集合间的基本关系，提升数学抽象素养和直观想象素养.
2.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
二、素养训练
1.已知集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有( )
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
解析 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1},
故选B.
答案 B
2.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )
A.A＝B
B.A?B
C.A?B
D.B?A
解析 ∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴A≠B.又1∈A且1?B，∴B是A的真子集，故选D.
答案 D
3.设集合A＝{x|1解析 画出数轴可得a≥2.
答案 {a|a≥2}
4.我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为____________.
答案 N?Z?Q?R
5.已知集合M＝{x|x＝a2＋1，a∈N}，集合P＝{y|y＝b2＋2b＋2，b∈N}，试判断M与P的关系，并说明理由.
解 P?M.理由如下：设y∈P，且y＝b2＋2b＋2＝(b＋1)2＋1.∵b∈N，∴b＋1∈N＋，∴y∈M，故P?M.
当a＝0时，x＝1，∴1∈M.
∵b∈N，∴y＝b2＋2b＋2＝(b＋1)2＋1≥2，∴1?P.
由P?M，1∈M，且1?P，知P?M.
基础达标
一、选择题
1.已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
解析 集合N的真子集有：?，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个.
答案 C
2.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子：①{1}∈A；②－1?A；③??A；④{1，－1}?A.其中表示正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 因为A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，所以{1}?A，①不正确；－1∈A，②不正确；
??A，符合子集的定义，所以③正确；
{－1，1}?A，符合子集的定义，所以④正确.
综上可知，正确的式子有2个.
答案 B
3.已知集合A＝{x|－1A.A∈B
B.A?B
C.B?A
D.B?A
解析 由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2?A，故有A?B.
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答案 B
4.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由题意知：A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又A?C?B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个.
答案 D
5.已知集合A＝{x∈Z|(x－1)(x＋2)<0}，则集合A的一个真子集为( )
A.{x|－2B.{x|0C.{0}
D.{?}
解析 A＝{x∈Z|(x－1)(x＋2)<0}＝{－1，0}，所以A的真子集为?，{0}，{－1}，故选C.
答案 C
二、填空题
6.集合A＝{x|ax－3＝0，a∈Z}，若A?N
，则a的所有取值组成的集合为________.
解析 当a＝0时，A＝?，满足题意；当a≠0时，x＝∈N
，则a＝1或a＝3.
答案 {0，1，3}
7.下列关系式不正确的是________(填序号).
①{2}?{1，2}；②{0}?{1，2}；③?∈{0，1，2}；④???；⑤{x|x2－4＝0}＝{(－2，2)}；⑥{x|x≥1}＝{y|y＝x2＋1}.
解析 0?{1，2}，故{0}与{1，2}不是子集、真子集关系，②错；③中?是集合，故??{0，1，2}，所以③错；⑤中两个集合不相等，{x|x2－4＝0}＝{－2，2}与点集{(－2，2)}不同.
答案 ②③⑤
8.设A＝{x|2解析 因为B?A，所以或
即a的取值范围是{a|3≤a≤4}.
答案 {a|3≤a≤4}
三、解答题
9.判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}.
解 (1)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－5≥0}＝，所以可利用数轴判断A，B的关系.如图所示，A?B.
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(2)因为A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，所以B＝{0，1，2}，所以B?A.
10.已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B?A，求实数a的取值范围.
解 由题意知B的可能情况有B≠?和B＝?两种.
①当B≠?时，∵B?A，
∴或成立，解得a>3.
②当B＝?时，由a>2a－1，解得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}.
能力提升
11.若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是( )
A.C?A＝B
B.A?C?B
C.A＝B?C
D.B?A?C
解析 ∵A＝{x|x＝2(k＋1)－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝2·2k－1，k∈Z}，∴C?A＝B，故选A.
答案 A
12.已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}.
(1)若??M，求实数a的取值范围；
(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M?N，求实数a的取值范围.
解 (1)由题意得方程x2＋2x－a＝0有实数解，
∴Δ＝22－4×(－a)≥0，得a≥－1，
∴实数a的取值范围是{a|a≥－1}.
(2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M?N，
∴当M＝?时，Δ＝22－4×(－a)<0，得a<－1；
当M≠?时，当Δ＝0时，a＝－1，
此时M＝{－1}，满足M?N，符合题意.
当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素，
若M?N，则M＝N，从而无解.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}.
创新猜想
13.(多选题)设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B?A的实数m的值可以为( )
A.
B.－
C.
D.0
解析 ∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，又∵B?A，当m＝0时，mx＋1＝0无解，故B＝?，满足条件；若B≠?，则B＝{－3}或B＝{2}，即m＝或m＝－，故满足条件的实数m∈.
答案 ABD
14.(多空题)已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝________.若集合B满足{0}?B?A，则集合B＝________.
解析 ∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1，0}.
答案 {－1，0} {－1，0}(共28张PPT)
第二课时 全集、补集
课标要求
素养要求
1.理解全集、补集的概念.
2.会求给定子集的补集.
学会运用图形语言、符号语言、自然语言表达全集、补集及相互转换.培养数学抽象素养和数学运算素养.
新知探究
某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.
问题 没有获得金奖的学生有哪些？
提示 没有获得金奖的学生的集合为M＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}.
补集的概念
注意补集是相对于全集而言的，没有全集补集就不存在
1.全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的__________，那么就称这个集合为全集.
(2)记法：全集通常记作____.
2.补集
设A?S，由S中__________的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为________.(读作“A在S中的补集”)，即?SA＝__________________.
所有元素
U
不属于A
{x|x∈S且x?A}
?SA
拓展深化
[微判断]
1.全集一定是实数集R.(
)
提示 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化.
2.存在x0∈U，x0?A，且x0??UA.(
)
提示 要么x0∈A，要么x0∈?UA，且有且只有一个成立.
3.设集合A＝{1，2}，相对于集合M＝{0，1，2，3}，N＝{1，2，3}，则?MA＝?NA.(
)
提示 ?MA＝{0，3}，?NA＝{3}，∴?MA≠?NA.
×
×
×
[微训练]
1.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________.
解析 由补集的定义，结合数轴可得?UA＝{x|x<1}.
答案 {x|x<1}
2.设全集为U，M＝{1，2}，?UM＝{3}，则U＝________.
解析 U＝M∪(?UM)＝{1，2}∪{3}＝{1，2，3}.
答案 {1，2，3}
3.已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若?AB＝{5}，则实数m＝________.
解析 ∵?AB＝{5}，∴5∈A，∴m＝5.
答案 5
[微思考]
1.如果全集U，且A?B，则?UA与?UB是什么关系？
提示 由Venn图可知，若A?B，则?UA??UB.
2.如果A＝B，则?UA与?UB是什么关系？反过来，若?UA＝?UB时，A与B又是什么关系？
提示 若A＝B，则?UA＝?UB，同时，若?UA＝?UB，则A＝B.
题型一 简单的补集运算
【例1】 (1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则?UM＝( )
A.{x|－2≤x≤2}
B.{x|－2C.{x|x<－2或x>2}
D.{x|x≤－2或x≥2}
(2)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，?UA＝{2，4，6}，
?UB＝{1，4，6}，则集合B＝________.
解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM＝{x|－2≤x≤2}.
(2)A＝{1，3，5，7}，?UA＝{2，4，6}，则U＝{1，2，3，4，5，6，7}，?UB＝{1，4，6}.∴B＝{2，3，5，7}.
答案 (1)A (2){2，3，5，7}
规律方法 求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
【训练1】 (1)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则?UA＝( )
A.{1，2}
B.{3，4，5}
C.{1，2，3，4，5}
D.?
(2)若全集U＝R，集合A＝{x|1A.{x|x<1或x≥3}
B.{x|x≤1或x>3}
C.{x|x<1或x>3}
D.{x|x≤1或x≥3}
解析 (1)∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴?UA＝{3，4，5}.
(2)U＝R，?UA＝{x|x≤1或x>3}.
答案 (1)B (2)B
题型二 由全集与补集的关系求参数
【例2】 设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}，?UA＝{5}，求实数m.
解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U且5?A，
①当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3，5，6}，A＝{6，7}，不符合要求，舍去；
②当m＝3时，|3－2m|＝3，
此时，U＝{3，5，6}，A＝{3，6}，满足?UA＝{5}.
综上，得m＝3.
由m2－m－1＝5，得m2－m－6＝0，∴m＝－2或m＝3.
规律方法 集合A与?UA中没有公共元素；若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合Venn图求解，若集合中元素有无限个时，可利用数轴分析求参数.
【训练2】 (1)设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，|a－5|}，?UM＝{5，7}，则a的值为________.
(2)设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若?UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.
解析 (1)由U＝{1，3，5，7}，M＝{1，|a－5|}，?UM＝{5，7}知M＝{1，3}.
∴|a－5|＝3，∴a＝8或2.
(2)∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴?UA＝{x|xb}.又∵?UA＝{x|x<3或x>4}，∴a＝3，b＝4，a＋b＝7.
答案 (1)2或8 (2)7
题型三 补集与集合关系的综合应用
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论.
①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
综上所述，a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}.
规律方法 如果所给集合是无限集，一般用数轴分析求出其补集，要注意端点的取舍；结合两集合的子集、真子集关系，要注意分空集与非空集合两种情况讨论.
【训练3】 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且A??UB，求实数a的取值范围.
解 若B＝?，则a＋1>2a－1，即a<2时，此时?UB＝R，所以A??UB.
若B≠?，则a＋1≤2a－1，即a≥2时，此时?UB＝{x|x2a－1}，
所以实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}.
一、素养落地
1.通过全集与补集概念的学习提升数学抽象素养；通过补集的运算提升数学运算素养.
2.补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
(3)从符号角度来看，若x∈U，A?U，则x∈A或x∈?UA，二者必居其一.
二、素养训练
1.若全集U＝{0，1，2，3}且?UA＝{2}，则集合A的真子集共有( )
A.3个
B.5个
C.7个
D.8个
解析 A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7(个).
答案 C
2.已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3A.{x|x≤－3或x>4}
B.{x|x>4}
C.{x|x＝－3或x>4}
D.{x|x≥4}
解析 借助数轴得?UA＝{x|x＝－3或x>4}.
答案 C
3.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则?UA与?UB的关系是________.
4.已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x解析 ∵A＝{x|1≤x答案 2
5.已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求?UA，?UB.
解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
则?UA＝{x|－1≤x≤3}；
?UB＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}.(共33张PPT)
1.2 子集、全集、补集
第一课时 子集
课标要求
素养要求
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.
新知探究
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.
问题 (1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？
(2)集合A与集合B又存在什么关系？
提示 (1)集合A中的元素都是B的元素.
(2)A是B的子集.
1.子集、真子集
(1)如果集合A的任意一个元素______集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为________________.读作：“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.
(2)如果A?B，并且________.那么集合A称为集合B的真子集，记为________或B?A.读作“A真包含于B”或“B真包含A”.
都是
A?B或B?A
A≠B
A?B
2.子集、真子集的性质
(1)任意集合A都是它自身的______，即A?A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即________.
(3)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么________.
(4)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么________.
子集
??A
A?C
A?C
3.用维恩图表示非空集合的基本关系
(1)A?B表示为：
或
(2)A?B表示为：
(3)A＝B表示为：
拓展深化
[微判断]
1.1?{1，2，3}.(
)
提示 “?”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.
2.任何集合都有子集和真子集.(
)
提示 空集只有子集，没有真子集.
3.若a∈A，则{a}?A.(
)
提示 也有可能{a}＝A.
4.若A?B，且B?A，则A＝B.(
)
×
×
×
√
[微训练]
1.已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B?A，则实数m＝________.
解析 ∵B?A，∴
元素3，4必为A中元素，∴m＝4.
答案 4
2.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.
解析 由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.
答案 －1 0
3.若{1，2}?B?{1，2，4}，则B＝________.
解析 由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.
答案 {1，2}或{1，2，4}
[微思考]
1.A?B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？
提示 A?B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝?，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.
2.符号“∈”与“?”的区别是什么？
提示 符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系；而符号“?”用于表示集合与集合之间的关系.
3.集合A中有n(n∈N
)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？
提示 ①由n个元素组成的集合有2n个子集；
②由n个元素组成的集合有(2n－1)个真子集；
③由n个元素组成的集合有(2n－1)个非空子集；
④由n个元素组成的集合有(2n－2)个非空真子集.
题型一 集合关系的判断
【例1】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}.
解 (1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
规律方法 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.
【训练1】 (1)设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )
A.P?N?M?Q
B.Q?M?N?P
C.P?M?N?Q
D.Q?N?M?P
(2)设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )
A.A∈B
B.B∈A
C.A?B
D.B?A
解析 (1)正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
(2)∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.∴A?B.
答案 (1)B (2)C
题型二 集合的子集、真子集
【例2】 (1)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.
解析 集合{a，b，c}的子集有：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中，除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
答案 ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 7
解 由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.
规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
【训练2】 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
题型三 子集关系的应用
【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围.
解 (1)当B≠?时，如图所示.
解这两个不等式组得2≤m≤3.
(2)当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}.
【迁移1】 (变换条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解 (1)当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠?时，如图所示.
即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}.
解 当A?B时，如图所示，此时B≠?.
∴m∈?，即m的取值范围为?.
【训练3】 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(2)若B?A，由图可知1≤a≤2.
1.通过自然语言、图形语言、符号语言表示集合间的基本关系，提升数学抽象素养和直观想象素养.
2.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
一、素养落地
二、素养训练
1.已知集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有( )
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
解析 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1},
故选B.
答案 B
2.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )
解析 ∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴A≠B.又1∈A且1?B，∴B是A的真子集，故选D.
答案 D
3.设集合A＝{x|1解析 画出数轴可得a≥2.
答案 {a|a≥2}
4.我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为____________.
答案 N?Z?Q?R
5.已知集合M＝{x|x＝a2＋1，a∈N}，集合P＝{y|y＝b2＋2b＋2，b∈N}，试判断M与P的关系，并说明理由.
当a＝0时，x＝1，∴1∈M.
∵b∈N，∴y＝b2＋2b＋2＝(b＋1)2＋1≥2，∴1?P.第二课时 全集、补集
课标要求
素养要求
1.理解全集、补集的概念.2.会求给定子集的补集.
学会运用图形语言、符号语言、自然语言表达全集、补集及相互转换.培养数学抽象素养和数学运算素养.
新知探究
某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.
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问题 没有获得金奖的学生有哪些？
提示 没有获得金奖的学生的集合为M＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}.
补集的概念
注意补集是相对于全集而言的，没有全集补集就不存在
1.全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.
(2)记法：全集通常记作U.
2.补集
设A?S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为?SA.(读作“A在S中的补集”)，即?SA＝{x|x∈S且x?A}.
拓展深化
[微判断]
1.全集一定是实数集R.(×)
提示 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化.
2.存在x0∈U，x0?A，且x0??UA.(×)
提示 要么x0∈A，要么x0∈?UA，且有且只有一个成立.
3.设集合A＝{1，2}，相对于集合M＝{0，1，2，3}，N＝{1，2，3}，则?MA＝?NA.(×)
提示 ?MA＝{0，3}，?NA＝{3}，∴?MA≠?NA.
[微训练]
1.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________.
解析 由补集的定义，结合数轴可得?UA＝{x|x<1}.
答案 {x|x<1}
2.设全集为U，M＝{1，2}，?UM＝{3}，则U＝________.
解析 U＝M∪(?UM)＝{1，2}∪{3}＝{1，2，3}.
答案 {1，2，3}
3.已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若?AB＝{5}，则实数m＝________.
解析 ∵?AB＝{5}，∴5∈A，∴m＝5.
答案 5
[微思考]
1.如果全集U，且A?B，则?UA与?UB是什么关系？
提示 由Venn图可知，若A?B，则?UA??UB.
2.如果A＝B，则?UA与?UB是什么关系？反过来，若?UA＝?UB时，A与B又是什么关系？
提示 若A＝B，则?UA＝?UB，同时，若?UA＝?UB，则A＝B.
题型一 简单的补集运算
【例1】 (1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则?UM＝( )
A.{x|－2≤x≤2}
B.{x|－2C.{x|x<－2或x>2}
D.{x|x≤－2或x≥2}
(2)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，?UA＝{2，4，6}，?UB＝{1，4，6}，则集合B＝________.
解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM＝{x|－2≤x≤2}.
(2)A＝{1，3，5，7}，?UA＝{2，4，6}，则U＝{1，2，3，4，5，6，7}，?UB＝{1，4，6}.∴B＝{2，3，5，7}.
答案 (1)A (2){2，3，5，7}
规律方法 求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
【训练1】 (1)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则?UA＝( )
A.{1，2}
B.{3，4，5}
C.{1，2，3，4，5}
D.?
(2)若全集U＝R，集合A＝{x|1A.{x|x<1或x≥3}
B.{x|x≤1或x>3}
C.{x|x<1或x>3}
D.{x|x≤1或x≥3}
解析 (1)∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴?UA＝{3，4，5}.
(2)U＝R，?UA＝{x|x≤1或x>3}.
答案 (1)B (2)B
题型二 由全集与补集的关系求参数
【例2】 设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}，?UA＝{5}，求实数m.
解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U且5?A，
∴由m2－m－1＝5，得m2－m－6＝0，
∴m＝－2或m＝3.
①当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3，5，6}，A＝{6，7}，不符合要求，舍去；
②当m＝3时，|3－2m|＝3，
此时，U＝{3，5，6}，A＝{3，6}，满足?UA＝{5}.
综上，得m＝3.
规律方法 集合A与?UA中没有公共元素；若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合Venn图求解，若集合中元素有无限个时，可利用数轴分析求参数.
【训练2】 (1)设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，|a－5|}，?UM＝{5，7}，则a的值为________.
(2)设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若?UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.
解析 (1)由U＝{1，3，5，7}，M＝{1，|a－5|}，?UM＝{5，7}知M＝{1，3}.
∴|a－5|＝3，∴a＝8或2.
(2)∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴?UA＝{x|xb}.又∵?UA＝{x|x<3或x>4}，∴a＝3，b＝4，a＋b＝7.
答案 (1)2或8 (2)7
题型三 补集与集合关系的综合应用
【例3】 已知集合A＝{x|2a－2解 ?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?.∵A??RB，
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论.
①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠?，则有或∴a≤1.
综上所述，a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}.
规律方法 如果所给集合是无限集，一般用数轴分析求出其补集，要注意端点的取舍；结合两集合的子集、真子集关系，要注意分空集与非空集合两种情况讨论.
【训练3】 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且A??UB，求实数a的取值范围.
解 若B＝?，则a＋1>2a－1，即a<2时，此时?UB＝R，所以A??UB.
若B≠?，则a＋1≤2a－1，即a≥2时，此时?UB＝{x|x2a－1}，
又A??UB，所以a＋1>5或2a－1<－2，所以a>4或a<－(舍去).
所以实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}.
一、素养落地
1.通过全集与补集概念的学习提升数学抽象素养；通过补集的运算提升数学运算素养.
2.补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
(3)从符号角度来看，若x∈U，A?U，则x∈A或x∈?UA，二者必居其一.
二、素养训练
1.若全集U＝{0，1，2，3}且?UA＝{2}，则集合A的真子集共有( )
A.3个
B.5个
C.7个
D.8个
解析 A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7(个).
答案 C
2.已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3A.{x|x≤－3或x>4}
B.{x|x>4}
C.{x|x＝－3或x>4}
D.{x|x≥4}
解析 借助数轴得?UA＝{x|x＝－3或x>4}.
答案 C
3.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则?UA与?UB的关系是________.
解析 ?UA＝{4，5，6，…}，?UB＝{3，4，5，6，…}，
∴?UA??UB.
答案 ?UA??UB
4.已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x解析 ∵A＝{x|1≤x答案 2
5.已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求?UA，?UB.
解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
则?UA＝{x|－1≤x≤3}；
?UB＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}.
基础达标
一、选择题
1.已知全集U＝{x|－1≤x≤5，x∈Z}，集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}，则?UA＝( )
A.{x|－1≤x<0或3B.{x|－1≤x<0或3≤x≤5}
C.{－1，3，4，5}
D.{3，4，5}
解析 U＝{x|－1≤x≤5，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3，4，5}，A＝{x|0≤x<3，x∈N}＝{0，1，2}，∴?UA＝{－1，3，4，5}.
答案 C
2.设U＝R，A＝{x|－1A.{x|x≤－1或x>0}
B.{x|－1≤x<0}
C.{x|x<－1或x≥0}
D.{x|x≤－1或x≥0}
答案 A
3.已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a等于( )
A.0或2
B.0
C.1或2
D.2
解析 由题意知则a＝2.
答案 D
4.若全集U＝{0，1，2，3，4，5}，且?UA＝{x∈N
|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有( )
A.3个
B.4个
C.7个
D.8个
解析 ?UA＝{x∈N
|1≤x≤3}＝{1，2，3}，
∴A＝{0，4，5}，∴集合A的真子集共有23－1＝7(个).
答案 C
5.设全集U＝R，集合A＝{x|x<0，或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若?UA??UB，则a的取值范围是( )
A.{a|a>1}
B.{a|a≥1}
C.{a|a<1}
D.{a|a≤1}
解析 由题意知?UA＝{x|0≤x<1}，?UB＝{x|x画出数轴并表示出?UA与?UB.
因为?UA??UB，
所以结合数轴可得a的取值范围为a≥1.
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答案 B
二、填空题
6.设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1，2}，则实数m＝________.
解析 ∵?UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.
答案 －3
7.已知全集U＝R，A＝{x|1≤x解析 因为?UA＝{x|x<1或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}.所以b＝2.
答案 2
8.已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，若全集U＝R，且A??UB，则a的取值范围为________.
解析 ?UB＝{x|x因为A??UB，所以a>－2.
答案 {a|a>－2}
三、解答题
9.(1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求?UA和?UB；
(2)U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，求?UB和?AB；
(3)U＝R，A＝{x|1解 (1)根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以?UA＝{4，5，6，7，8}，?UB＝{1，2，7，8}.
(2)
?UB＝{x|x是三边不都相等的三角形}；
?AB＝{x|x是有且仅有两边相等的三角形}.
(3)
?UA＝{x|x≤1，或x≥5}，A与?UA在数轴上分别表示如下.
10.已知集合A＝{x|－1解 ?RA＝{x|x≤－1或x>3}.当B＝?时，即m≥1＋3m，得m≤－，满足B??RA.
当B≠?时，要使B??RA成立，
则或解得m>3.
综上可知，实数m的取值范围是
.
能力提升
11.设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{x|x2－mx＋n＝0，x∈U}，若?UA＝{2，3}，则m＋n＝________.
解析 因为?UA＝{2，3}，所以A＝{x|x2－mx＋n＝0，x∈U}＝{1，4}，即方程x2－mx＋n＝0的两个实根为1和4，得m＝5，n＝4，m＋n＝9.
答案 9
12.设全集U＝R，M＝{x|3a解 ?UP＝{x|x<－2，或x>1}，
∵M??UP，
∴分M≠?和M＝?两种情况讨论：
若M＝?，则3a≥2a＋5，∴a≥5.
若M≠?，则或
∴a≤－或≤a<5，综上得a≤－或a≥，
即实数a的取值范围是.
创新猜想
13.(多空题)若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S＝R时，?SA＝________；当S＝{x|－4≤x≤1}时，?SA＝________.
解析 ∵A＝{x|－1≤x<1}，
∴S＝R时，?SA＝{x|x<－1或x≥1}；
S＝{x|－4≤x≤1}时，?SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}.
答案 {x|x<－1或x≥1} {x|－4≤x<－1或x＝1}
14.(多空题)已知全集U＝R，集合P＝{x|x≤0或x≥6}，M＝{x|a解析 全集U＝R，∴?UP＝{x|0若M＝?，即a≥2a＋4，解得a≤－4，符合M??UP.
若M≠?，要使M??UP，则需解得0≤a≤1，
∴a≤－4或0≤a≤1.
答案 {x|0