2.2 充分条件、必要条件、充要条件
第一课时 充分条件与必要条件
课标要求
素养要求
1.了解推出的意义.2.理解充分条件与必要条件的意义.
通过对必要条件、充分条件、充要条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件、充要条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.
问题 (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示 (1)一定亮.
(2)不一定，还可能是C开关闭合.
充分条件、必要条件
如果p?q，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件.
如果p?q，那么p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
拓展深化
[微判断]
1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.(×)
提示 不是唯一的，使结论成立的条件有多个.
2.“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.(√)
3.“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.(√)
4.ab>0是a>0，b>0的充分条件.(×)
提示 由ab>0?a>0，b>0，也可能a<0，b<0，故不是充分条件.
[微训练]
1.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).
答案 必要
2.“a＝b”是“ac＝bc”的______条件(填“充分”或“必要”).
答案 充分
[微思考]
命题“若p，则q”的真假，与充分条件，必要条件什么关系？
提示 “若p，则q”是真命题；p?q；p是q的充分条件；q是p的必要条件，这四种说法是等价的.
题型一 充分条件的判断
【例1】 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠15，q：x≠5或y≠10.
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)对于实数x，y，因为x＝5且y＝10?x＋y＝15，
所以由x＋y≠15?x≠5或y≠10，
故p是q的充分条件.
(3)由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件.
故(1)(2)(3)命题中p是q的充分条件.
规律方法 要判断p是不是q的充分条件，就是看p能否推出q，即判断“若p，则q”这一命题是否为真命题.
【训练1】 下列命题中，p是q的充分条件的是________.
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根.
解析 (1)∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件.
(2)∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，
∴p不是q的充分条件.
(3)∵m<－2，∴12＋4m<0，
∴方程x2－x－m＝0无实根，
∴p是q的充分条件.
答案 (3)
题型二 必要条件的判断
【例2】 下列各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？
(1)p：ac＝bc，q：a＝b.
(2)p：x＝y，q：x2＝y2.
(3)p：a＋5是无理数.q：a是无理数.
解 (1)因为a＝b?ac＝bc，所以p是q的必要条件.
(2)由x2＝y2?x＝y，所以p不是q的必要条件.
(3)由a是无理数?a＋5是无理数，所以p是q的必要条件.
规律方法 “若p，则q”为真，即p?q，则q是p的必要条件，若q?p，则p是q的必要条件.
【训练2】 判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
解 (1)∵两个三角形全等?两个三角形相似，即q?p.
∴p是q的必要条件.
(2)四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，即qp.
∴p不是q的必要条件.
(3)因为A∩B＝A?A?B，即q?p，∵p是q的必要条件.
(4)若ac>bc，因为c的正负不确定，所以不能推出a>b，即q?p，
∴p不是q的必要条件.
题型三 充分条件、必要条件的应用
【例3】 已知p：实数x满足3a
解 p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为p?q，所以A?B，
所以?－≤a<0.
所以a的取值范围是.
【迁移1】 (变换条件)将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围.
解 p：aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为q?p，所以B?A，所以?a∈?.
【迁移2】 (变换条件)将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围.
解 p：3aq：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}.
因为p是q的充分条件，
所以p?q，所以A?B，
所以?－1≤a<0.
所以a的取值范围是[－1，0).
规律方法 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【训练3】 (1)若“x2或x<1”的充分条件，求m的取值范围.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且p是q的必要条件，求a的取值范围.
解 (1)由已知条件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1.即m的取值范围为(－∞，1].
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.即a的取值范围为[1，＋∞).
一、素养落地
1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.
2.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断，也就是小范围推出大范围.
3.p是q的充分条件是指p成立就足够保证q成立；q是p的必要条件是指q是p成立必不可少的条件，q成立，p不一定成立，但q不成立，p一定不成立.
二、素养训练
1.下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1
D.p：a>b，q：>
解析 根据充分条件的概念逐一判断.
答案 A
2.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.无法判断
解析 当a＝1时，|a|＝1成立，
但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.
答案 A
3.“0解析 当0答案 充分
4.下列各式：①x<1；②0解析 x<1时，取x＝－2，则x2<1不成立，故x<1x2<1，由②0答案 ②③④
5.已知P＝{x|a－4解 因为x∈P是x∈Q的必要条件.
∴1所以即所以－1≤a≤5.
即所求实数a的取值范围为[－1，5].
基础达标
一、选择题
1.“－21或x<－1”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.既是充分条件，也是必要条件
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1－21或x<－1”的既不是充分条件，也不是必要条件.
答案 C
2.使x>3成立的一个充分条件是( )
A.x>4
B.x>0
C.x>2
D.x<2
解析 只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.
答案 A
3.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
解析 x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4但不满足x≥2且y≥2，故选A.
答案 A
4.设p：x<3，q：－1A.既充分又必要条件
B.充分条件但不是必要条件
C.必要条件但不是充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 因为{x|－1答案 C
5.设x，y是两个实数，使“x，y中至少有一个数大于1”成立的一个充分条件是( )
A.x＋y＝2
B.x＋y>2
C.x2＋y2>2
D.xy>1
解析 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但“x，y中至少有一个数大于1”不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但“x，y中至少有一个数大于1”不成立，也不符合题意.
答案 B
二、填空题
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件(填“充分”或“必要”).
解析 若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件.
答案 充分
7.已知a，b都是实数，那么“|a|>|b|”是“>”的________条件(填“充分”或“必要”).
解析 >可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，但|a|>|b|不可以推出>.
答案 必要
8.下列说法不正确的是________(只填序号).
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2解析 ②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确.
答案 ②
三、解答题
9.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
(1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的对边分别相等；
(2)若x为无理数，则x2为无理数.
解 (1)这是平行四边形的一个性质定理，p?q，所以p是q的充分条件.
(2)当x＝时，x2＝2，2是有理数，pD?q，所以p不是q的充分条件.
10.下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形是正方形，q：四边形的四条边相等；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝.
解 (1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0，
a2＋b2＝0?a＋b＝0.
∴p是q的必要条件，但不是充分条件.
(2)∵四边形是正方形?四边形的四条边相等，
四边形的四条边相等四边形是正方形.
∴p是q的充分条件，但不是必要条件.
(3)∵x＝1或x＝2?x－1＝，
x－1＝?x＝1或x＝2，
∴p是q的既充分又必要条件.
能力提升
11.已知集合A＝{x∈R|－1A.m≥2
B.m≤2
C.m>2
D.－2解析 因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A?B，所以3≤m＋1，即m≥2.
答案 A
12.试说明0解 若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根，
则∴0则>0，>0，－3<－12m<0，从而4－12m＞0，
即Δ>0，且>0，>0.
因此0创新猜想
13.(多选题)给出四个条件：
①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<<.
其中能成为x>y的充分条件的有( )
A.①
B.②
C.③
D.④
解析 ①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2?x>y；②当t>0时，x>y，当t<0时，xyt?x>y；③由x2>y2，得|x|>|y|，故x2>y2?x>y；
④由0<y.故选AD.
答案 AD
14.(多选题)下列式子中，能使<成立的充分条件有( )
A.a<0B.bC.b<0D.0解析 A中，当a<0答案 ABD(共27张PPT)
2.2 充分条件、必要条件、充要条件
第一课时 充分条件与必要条件
课标要求
素养要求
1.了解推出的意义.
2.理解充分条件与必要条件的意义.
通过对必要条件、充分条件、充要条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件、充要条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
新知探究
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.
问题 (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示 (1)一定亮.
(2)不一定，还可能是C开关闭合.
充分条件、必要条件
如果p?q，那么称____是____的充分条件，也称____是____的必要条件.
如果p
q，那么p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
p
q
q
p
拓展深化
[微判断]
1.若p是q的充分条件，则p是唯一的.(
)
提示 不是唯一的，使结论成立的条件有多个.
2.“若q，则p”是真命题，则p是q的必要条件.(
)
3.“x＝3”是“x2＝9”的充分条件.(
)
4.ab>0是a>0，b>0的充分条件.(
)
×
√
√
×
提示 由ab>0
a>0，b>0，也可能a<0，b<0，故不是充分条件.
[微训练]
1.“x>2”是“x>3”的________条件(填“充分”或“必要”).
答案 必要
2.“a＝b”是“ac＝bc”的______条件(填“充分”或“必要”).
答案 充分
[微思考]
命题“若p，则q”的真假，与充分条件，必要条件什么关系？
提示 “若p，则q”是真命题；p?q；p是q的充分条件；q是p的必要条件，这四种说法是等价的.
题型一 充分条件的判断
【例1】 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠15，q：x≠5或y≠10.
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)对于实数x，y，因为x＝5且y＝10?x＋y＝15，
所以由x＋y≠15?x≠5或y≠10，
故p是q的充分条件.
(3)由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件.
故(1)(2)(3)命题中p是q的充分条件.
规律方法 要判断p是不是q的充分条件，就是看p能否推出q，即判断“若p，则q”这一命题是否为真命题.
【训练1】 下列命题中，p是q的充分条件的是________.
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根.
解析 (1)∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件.
(2)∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件.
(3)∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件.
答案 (3)
题型二 必要条件的判断
【例2】 下列各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？
(1)p：ac＝bc，q：a＝b.
(2)p：x＝y，q：x2＝y2.
(3)p：a＋5是无理数.q：a是无理数.
解 (1)因为a＝b?ac＝bc，所以p是q的必要条件.
(2)由x2＝y2
x＝y，所以p不是q的必要条件.
(3)由a是无理数?a＋5是无理数，所以p是q的必要条件.
规律方法 “若p，则q”为真，即p?q，则q是p的必要条件，若q?p，则p是q的必要条件.
【训练2】 判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
解 (1)∵两个三角形全等?两个三角形相似，即q?p.
∴p是q的必要条件.
(2)四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，即q
p.
∴p不是q的必要条件.
(3)因为A∩B＝A?A?B，即q?p，∵p是q的必要条件.
(4)若ac>bc，因为c的正负不确定，所以不能推出a>b，即q
p，
∴p不是q的必要条件.
题型三 充分条件、必要条件的应用
【例3】 已知p：实数x满足3a解 p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为p?q，所以A?B，
【迁移1】 (变换条件)将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围.
【迁移2】 (变换条件)将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围.
解 p：3aq：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}.
因为p是q的充分条件，
所以p?q，所以A?B，
所以a的取值范围是[－1，0).
规律方法 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【训练3】 (1)若“x2或x<1”的充分条件，求m的取值范围.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且p是q的必要条件，求a的取值范围.
解 (1)由已知条件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1.即m的取值范围为(－∞，1].
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.即a的取值范围为[1，＋∞).
一、素养落地
1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.
2.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断，也就是小范围推出大范围.
3.p是q的充分条件是指p成立就足够保证q成立；q是p的必要条件是指q是p成立必不可少的条件，q成立，p不一定成立，但q不成立，p一定不成立.
二、素养训练
1.下列命题中，p是q的充分条件的是( )
解析 根据充分条件的概念逐一判断.
答案 A
2.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.无法判断
解析 当a＝1时，|a|＝1成立，
但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.
答案 A
3.“0解析 当0答案 充分
4.下列各式：①x<1；②0解析 x<1时，取x＝－2，则x2<1不成立，故x<1D
x2<1，由②0答案 ②③④
5.已知P＝{x|a－4解 因为x∈P是x∈Q的必要条件.
∴1即所求实数a的取值范围为[－1，5].第二课时 充要条件
课标要求
素养要求
1.理解充要条件的意义.2.理解性质定理、判定定理与充要条件的关系.
利用充要条件的判断，提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
新知探究
问题 状元与第一名之间是什么关系？
提示 “某人是状元”与“某人是第一名”互为充要条件.一般地，对于条件p，q，如果p能推出q，且q也能推出p，则它们互为充要条件.
充要条件
(1)如果p?q，且q?p，那么称p是q的充分且必要条件.
简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p.
(2)如果p?q，q?s，则p?s.
如果p?q，q?s，则p?s.
拓展深化
[微判断]
1.两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.(√)
2.“xy>0”是“x>0，y>0”的充要条件.(×)
提示 必要不充分条件.
3.若p是q的充要条件，则p与q是两个相互等价的条件.(√)
[微训练]
1.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件.
解析 设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件.
答案 必要不充分
2.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件.
解析 当x>1时，x3>1，当x3>1时，x>1.
答案 充要
[微思考]
如何判断p是q的什么条件？
提示 如果p?q且qp，则p是q的充分不必要条件.
如果pq且q?p，则p是q的必要不充分条件.
如果pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.
如果p?q且q?p，则p是q的充要条件.
题型一 充要条件的判断
【例1】 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件).
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
解 (1)∵p?q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵p?q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵p不能推出q，q?p，
∴p是q的必要不充分条件.
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，
∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，
即p不能推出q.
而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q?p.
∴p是q的必要不充分条件.
规律方法 判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件.
【训练1】 判断下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：ab>0，q：a，b中至少有一个不为零；
(2)p：x>1，q：x≥0；
(3)p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
解 (1)p?q，qp，∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵x>1?x≥0，且x≥0x>1，∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵A∩B＝A?A?B?(?UB)?(
?UA)，∴p是q的充要条件.
题型二 充分条件、必要条件的探求
【例2】 (1)使－A.－B.－C.－1D.－3(2)设a∈R，则a>4的一个必要不充分条件是( )
A.a>1
B.a<1
C.a>5
D.a<5
解析 (1)选项A是－(2)令a>4的一个必要不充分条件对应集合A，则集合A包含{a|a>4}，所以a>1.
答案 (1)B (2)A
规律方法 探求充分条件、必要条件的方法
(1)寻求q的充分条件p，即求使结论q成立的条件p，从集合的角度看，是找q对应集合的子集，得出子集对应的条件p；
(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含条件q对应的集合，得出集合对应的条件p.
【训练2】 (1)不等式0A.0B.x≥－1
C.0D.1(2)函数y＝ax2＋2x＋1(a≠0)的图象与x轴的交点，一个在原点的左侧，一个在原点的右侧的充分不必要条件是( )
A.a<0
B.a>0
C.a<－1
D.a>1
解析 (1)令0(2)∵函数图象一定过(0，1)点，∴函数图象与x轴的两个交点在原点左、右两侧各一个的充要条件为a<0.结合选项知，充分不必要条件是a<－1.故选C.
答案 (1)B (2)C
题型三 充要条件的证明
【例3】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明 先证必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.∴必要性成立.
再证充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.设关于a的二次函数y＝a2－ab＋b2，其中Δ＝(－b)2－4b2＝－3b2<0，∴a2－ab＋b2≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1，∴充分性成立.
综上所述，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.
【训练3】 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
题型四 充要条件的应用
【例4】 已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m].
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即[1－m，1＋m]?[－2，10]，
故有或解得m≤3.
又1－m<1＋m，所以m>0，
所以实数m的取值范围为(0，3].
【迁移1】 (变换条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
因为p是q的充分不必要条件，所以A?B.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，即实数m的取值范围是[9，＋∞).
【迁移2】 (变换条件)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解 若p是q的充要条件，则此方程组无解，所以m不存在.故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
规律方法 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解.
【训练4】 已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝，
因为p是q的必要不充分条件，
所以B?A，
所以－≤－2，即m≥8.
所以m的取值范围为[8，＋∞).
一、素养落地
1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
二、素养训练
1.设p：x<5，q：－1A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 因为(－1，5)?(－∞，5)，
所以p是q成立的必要不充分条件.
答案 C
2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A.
答案 A
3.已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的________条件.
解析 由A＝{0}可推出A∩{0，1}＝{0}，由A∩{0，1}＝{0}，只能说0∈A，但A不一定为{0}，故是必要不充分条件.
答案 必要不充分
4.若“x≤－1或x≥1”是“x解析 “x≤－1或x≥1”是“x所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1.
答案 －1
5.设命题p：x∈，命题q：x∈[a，a＋1]，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 设A＝，B＝[a，a＋1]，
由p是q的充分不必要条件，可知A?B，
∴或
解得0≤a≤，
故所求实数a的取值范围是.
基础达标
一、选择题
1.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，
所以p是q的充分不必要条件.故选A.
答案 A
2.已知p：－2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 p：－2q：－1∵{x|－1∴p是q的必要不充分条件，选B.
答案 B
3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 返回家乡的前提条件是攻破楼兰.
答案 A
4.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 由条件知D?C?B?A，即D?A，但AD，故选A.
答案 A
5.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是( )
A.x≥0
B.x<0或x>2
C.x∈{－1，3，5}
D.x≤－或x≥3
解析 选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈
”成立的一个充分不必要条件.
答案 C
二、填空题
6.(多空题)设x∈R，则“0解析 由|x－1|<1，解得0答案 必要不充分 充分不必要
7.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________.
解析 当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案 －2
8.已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m解析 由p?q，∴A?B，即∴m>3.
答案 (3，＋∞)
三、解答题
9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：x＝2或－2，q：的值为0；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解 (1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0
x－3＝0，故p是q的充分不必要条件.
(2)x＝2或－2的值为0，但的值为0?x＝2或－2，故p是q的必要不充分条件；
(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要条件.
10.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
能力提升
11.“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向上”的一个必要不充分条件是( )
A.a>0
B.a>1
C.a≥－
D.a≠2
解析 由二次函数开口向上得a>0，因为a>0?a≥－.
而a≥－a>0，故a≥－是二次函数开口向上的必要不充分条件.
答案 C
12.已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
证明 充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.
∵ac<0，∴x1·x2＝<0，∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程.
设两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0，∴ac<0.
综上知，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
创新猜想
13.(多选题)－1A.－2B.－1C.0D.0解析 由于－1－1而0答案 AB
14.(多空题)设A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5，a∈R}，B＝[3，22].
(1)A?(A∩B)的充要条件为________；
(2)A?(A∩B)的一个充分不必要条件为________.
解析 (1)由题意得A?(A∩B)?A?B，B＝{x|3≤x≤22}.
若A＝?，则2a＋1>3a－5，解得a<6；
若A≠?，则由A?B，可得
解得6≤a≤9.
综上可知，A?(A∩B)的充要条件为a≤9.
(2)A?(A∩B)的一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
答案 (1)a≤9 (2)6≤a≤9(答案不唯一)(共31张PPT)
第二课时 充要条件
课标要求
素养要求
1.理解充要条件的意义.
2.理解性质定理、判定定理与充要条件的关系.
利用充要条件的判断，提升逻辑推理素养与数学抽象素养.
新知探究
问题 状元与第一名之间是什么关系？
提示 “某人是状元”与“某人是第一名”互为充要条件.一般地，对于条件p，q，如果p能推出q，且q也能推出p，则它们互为充要条件.
充要条件
(1)如果p?q，且q?p，那么称p是q的____________条件.
简称为p是q的______条件，也称____的充要条件是____.
(2)如果p?q，q?s，则________.
如果p?q，q?s，则________.
充分且必要
充要
q
p
p?s
p?s
拓展深化
[微判断]
1.两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.(
)
2.“xy>0”是“x>0，y>0”的充要条件.(
)
提示 必要不充分条件.
3.若p是q的充要条件，则p与q是两个相互等价的条件.(
)
√
×
√
[微训练]
1.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件.
答案 必要不充分
2.设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的________条件.
解析 当x>1时，x3>1，当x3>1时，x>1.
答案 充要
[微思考]
如何判断p是q的什么条件？
提示 如果p?q且q
p，则p是q的充分不必要条件.
如果p
q且q?p，则p是q的必要不充分条件.
如果p
q且q
p，则p是q的既不充分也不必要条件.
如果p?q且q?p，则p是q的充要条件.
题型一 充要条件的判断
【例1】 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件).
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
解 (1)∵p?q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵p?q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵p不能推出q，q?p，
∴p是q的必要不充分条件.
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，
∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，
即p不能推出q.
而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q?p.
∴p是q的必要不充分条件.
规律方法 判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件.
【训练1】 判断下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：ab>0，q：a，b中至少有一个不为零；
(2)p：x>1，q：x≥0；
(3)p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
解 (1)p?q，q
p，∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵x>1?x≥0，且x≥0
x>1，∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵A∩B＝A?A?B?(?UB)?(
?UA)，∴p是q的充要条件.
题型二 充分条件、必要条件的探求
(2)令a>4的一个必要不充分条件对应集合A，则集合A包含{a|a>4}，所以a>1.
答案 (1)B (2)A
规律方法 探求充分条件、必要条件的方法
(1)寻求q的充分条件p，即求使结论q成立的条件p，从集合的角度看，是找q对应集合的子集，得出子集对应的条件p；
(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含条件q对应的集合，得出集合对应的条件p.
【训练2】 (1)不等式0A.0B.x≥－1
C.0D.1(2)函数y＝ax2＋2x＋1(a≠0)的图象与x轴的交点，一个在原点的左侧，一个在原点的右侧的充分不必要条件是( )
A.a<0
B.a>0
C.a<－1
D.a>1
解析 (1)令0(2)∵函数图象一定过(0，1)点，∴函数图象与x轴的两个交点在原点左、右两侧各一个的充要条件为a<0.结合选项知，充分不必要条件是a<－1.故选C.
答案 (1)B (2)C
题型三 充要条件的证明
【例3】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明 先证必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.∴必要性成立.
再证充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.设关于a的二次函数y＝a2－ab＋b2，其中Δ＝(－b)2－4b2＝－3b2<0，∴a2－ab＋b2≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1，∴充分性成立.
综上所述，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.
【训练3】 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，则a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
题型四 充要条件的应用
【例4】 已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m].
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
又1－m<1＋m，所以m>0，所以实数m的取值范围为(0，3].
【迁移1】 (变换条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，即实数m的取值范围是[9，＋∞).
【迁移2】 (变换条件)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
规律方法 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解.
【训练4】 已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
因为p是q的必要不充分条件，
所以m的取值范围为[8，＋∞).
一、素养落地
1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
二、素养训练
1.设p：x<5，q：－1A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
所以p是q成立的必要不充分条件.
答案 C
2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A.
答案 A
3.已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的________条件.
解析 由A＝{0}可推出A∩{0，1}＝{0}，由A∩{0，1}＝{0}，只能说0∈A，但A不一定为{0}，故是必要不充分条件.
答案 必要不充分
4.若“x≤－1或x≥1”是“x解析 “x≤－1或x≥1”是“x所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1.
答案 －1