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第2章
常用逻辑用语
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
悖 论
悖论是指逻辑上可以推导出互相矛盾，但表面上又能自圆其说的命题或结论.
(1)理发师悖论：1919年，罗素把他提出的集合论悖论通俗化如下：萨魏尔村有一位理发师，他给自己订下一条规则：他只给村子里自己不给自己刮胡子的人刮胡子.请问他该不该给自己刮胡子？
(2)梵学者的预言：印度预言家的女儿，在纸上写了一件事(一句话)，让他父亲预言这件事在下午三点钟以前是否发生，并在一个卡片上写“是”或“不”.此梵学者，在卡片上写了一个“是”字.他女儿在纸上写的一句话是：“在下午三点钟之前，你将写一个‘不’字在卡片上.”梵学者发现，他被女儿捉弄了，无论他写“是”或“不”都是错的，他根本不可能预言对.
[读图探新]——发现现象背后的知识
古时，有一次画师考试，考试题目是“深山藏古寺”.有一位考生的画面上只有起伏的山峦，密密的松林.一个和尚正从山脚下沿着小路担水上山，整个画面却不见寺庙.最后这幅画被评为第一名.这个故事中和尚担水上山与深山藏古寺之间有什么逻辑关系？要解决这个问题，需先学习充分条件与必要条件！
问题1：什么是命题？常用的量词有哪些？如何判断真假？
问题2：如何对带量词的命题否定？
链接：在数学中，合理使用逻辑用语，在表达数学内容中有重要作用，能判断真假的陈述句是命题，运用逻辑知识对一些命题之间的逻辑关系进行分析和推理，判断命题真假，含有“全部”“所有的”“任意”等全称量词或“有的”“存在”等存在量词的命题，命题与其否定一真一假.
2.1 命题、定理、定义
课标要求
素养要求
1.结合实例，判断所给语句是不是命题.
2.找出命题的条件与结论，并判断命题的真假.
结合实例，理解命题的条件与结论，判断命题的真假，培养数学抽象素养和逻辑推理素养.
新知探究
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉；提出：每一个大于2的偶数即是两个素数的和.
例如4＝2＋2，6＝3＋3，48＝29＋19，等.
哥德巴赫猜想是一个迄今为止没有得到正面证明也没有被推翻的命题.
问题 “请将窗子打开”是命题吗？
提示 不是，因为不能判断真假.
1.命题：将可判断______的陈述句叫作命题.数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式.其中p叫做命题的______，q叫做命题的______.
2.定理，定义
(1)有些已经被证明是真的命题可作为推理的依据而直接使用，称之为定理.
(2)定义是对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.
真假
条件
结论
拓展深化
[微判断]
1.“一个实数不是正数就是负数”是真命题.(
)
提示 还可能为0，是假命题.
2.“两个奇数的和是偶数”这一命题的条件是两个数是奇数.(
)
3.若a2＝b2，则a＝b.(
)
提示 也可能a＝－b.
×
√
×
[微训练]
1.“矩形的对角线相等”这一命题的条件p为________，结论q为________.
答案 四边形是矩形 对角线相等
2.将“垂直于同一个平面的两条直线平行”这一命题改写为“若p，则q”形式为________.
答案 若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行
[微思考]
如何判断命题的真假？
提示 在判断命题是真命题时，要进行证明；要说明命题是假命题，只需找出一个反例.
题型一 命题与真假命题的判断
【例1】 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.
(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)所有的质数都是奇数；
(4)5x>4x；
(5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(6)未来是多么美好啊！
(7)你是高二的学生吗？
(8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.
规律方法 并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
【训练1】 下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由.
(1)x≥16.
(2)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根.
(3)空集是任何非空集合的真子集.
(4)指数函数是增函数吗？
解 (1)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.
(2)是真命题.代入验证即可.
(3)是真命题.由空集的定义和性质不难得出.
(4)不是命题.因为是疑问句无法判断真假.
题型二 命题的条件与结论
【例2】 将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
(1)在△ABC中，大角对大边.
(2)矩形的对角线互相垂直.
(3)相等的两个角的正弦值相等.
(4)等底等高的两个三角形是全等三角形.
解 (1)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.
(2)若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直.
(3)若∠A＝∠B，则sin
A＝sin
B.
(4)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等.
规律方法 命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.
【训练2】 指出下列命题中的条件p和结论q.
(1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数.
(2)如果x∈A，则x∈A∩B.
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
解 (1)p：x＋y＝0；q：x，y互为相反数.
(2)p：x∈A，q：x∈A∩B.
(3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0.
题型三 命题真假的判断
【例3】 判断下列命题的真假：
(1)若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根.
(2)若A?B，则A∩B＝A.
(3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等.
(4)若x＋y>5，则x>2且y>3.
解 (1)当k>0时，Δ＝4＋4k>0恒成立，则方程x2＋2x－k＝0一定有实数根，故是真命题.
(2)当A?B时，任意x∈A，则x∈B，∴A∩B＝A成立，故是真命题.
(3)两个三角形相似则三个内角对应相等，但边长是成比例，不相等，故两个三角形不全等，是假命题.
(4)若x＋y>5，可以x＝1，y＝6，不满足x>2且y>3，是假命题.
规律方法 命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
【训练3】 判断下列命题的真假.
(1)若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根.
(2)若x>y，则x2>y2.
(3)若x>2，则x>1.
解 (1)当mn<0时，Δ＝1－4mn>0恒成立，
∴方程mx2－x＋n＝0有实根，是真命题.
(2)当x＝1，y＝－2时满足x>y，但x2(3)对每一个大于2的数一定大于1，故是真命题.
一、素养落地
1.通过学习命题，找出命题的条件和结论，判断真假，培养数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.命题是能够判断真假的语句，一个命题由条件和结论两部分组成，命题分为真命题和假命题.
二、素养训练
1.下列语句中是命题的是( )
A.两个周期函数的和是周期函数吗？
B.sin
0°＝0
C.x2－2x＋1>0
D.作△ABC∽△EFG
解析 一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
答案 B
2.语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是( )
A.不是命题
B.真命题
C.假命题
D.不能判断真假
解析 由不等式的性质知a>b，则a＋c>b＋c成立，故为真命题.
答案 B
3.平面内四条边都相等的四边形是正方形，这一命题的条件是________.
答案 平面内一个四边形的四条边都相等
4.若x∈M∪N，则x∈M是________命题(真或假).
解析 若x∈M∪N，则x∈M或x∈N.
答案 假
5.将下列命题写成“若p，则q”的形式.
(1)方程x2－x－6＝0的根为x1＝－2或x2＝3.
(2)菱形的对角线互相垂直平分.
解 (1)若x2－x－6＝0，则x1＝－2或x2＝3.
(2)若一个四边形是菱形，则对角线互相垂直平分.?第2章
常用逻辑用语
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
悖 论
悖论是指逻辑上可以推导出互相矛盾，但表面上又能自圆其说的命题或结论.
(1)理发师悖论：1919年，罗素把他提出的集合论悖论通俗化如下：萨魏尔村有一位理发师，他给自己订下一条规则：他只给村子里自己不给自己刮胡子的人刮胡子.请问他该不该给自己刮胡子？
(2)梵学者的预言：印度预言家的女儿，在纸上写了一件事(一句话)，让他父亲预言这件事在下午三点钟以前是否发生，并在一个卡片上写“是”或“不”.此梵学者，在卡片上写了一个“是”字.他女儿在纸上写的一句话是：“在下午三点钟之前，你将写一个‘不’字在卡片上.”梵学者发现，他被女儿捉弄了，无论他写“是”或“不”都是错的，他根本不可能预言对.
[读图探新]——发现现象背后的知识
古时，有一次画师考试，考试题目是“深山藏古寺”.有一位考生的画面上只有起伏的山峦，密密的松林.一个和尚正从山脚下沿着小路担水上山，整个画面却不见寺庙.最后这幅画被评为第一名.这个故事中和尚担水上山与深山藏古寺之间有什么逻辑关系？要解决这个问题，需先学习充分条件与必要条件！
问题1：什么是命题？常用的量词有哪些？如何判断真假？
问题2：如何对带量词的命题否定？
链接：在数学中，合理使用逻辑用语，在表达数学内容中有重要作用，能判断真假的陈述句是命题，运用逻辑知识对一些命题之间的逻辑关系进行分析和推理，判断命题真假，含有“全部”“所有的”“任意”等全称量词或“有的”“存在”等存在量词的命题，命题与其否定一真一假.
2.1 命题、定理、定义
课标要求
素养要求
1.结合实例，判断所给语句是不是命题.2.找出命题的条件与结论，并判断命题的真假.
结合实例，理解命题的条件与结论，判断命题的真假，培养数学抽象素养和逻辑推理素养.
新知探究
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉；提出：每一个大于2的偶数即是两个素数的和.
例如4＝2＋2，6＝3＋3，48＝29＋19，等.
哥德巴赫猜想是一个迄今为止没有得到正面证明也没有被推翻的命题.
问题 “请将窗子打开”是命题吗？
提示 不是，因为不能判断真假.
1.命题：将可判断真假的陈述句叫作命题.数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.
2.定理，定义
(1)有些已经被证明是真的命题可作为推理的依据而直接使用，称之为定理.
(2)定义是对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.
拓展深化
[微判断]
1.“一个实数不是正数就是负数”是真命题.(×)
提示 还可能为0，是假命题.
2.“两个奇数的和是偶数”这一命题的条件是两个数是奇数.(√)
3.若a2＝b2，则a＝b.(×)
提示 也可能a＝－b.
[微训练]
1.“矩形的对角线相等”这一命题的条件p为________，结论q为________.
答案 四边形是矩形 对角线相等
2.将“垂直于同一个平面的两条直线平行”这一命题改写为“若p，则q”形式为________.
答案 若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行
[微思考]
如何判断命题的真假？
提示 在判断命题是真命题时，要进行证明；要说明命题是假命题，只需找出一个反例.
题型一 命题与真假命题的判断
【例1】 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.
(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
(3)所有的质数都是奇数；
(4)5x>4x；
(5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(6)未来是多么美好啊！
(7)你是高二的学生吗？
(8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.
解 (1)是命题，而且是真命题.(2)是命题，且是假命题.如图所示，四边形ABCD，当AB＝AD，BC＝CD且AB≠BC时，对角线AC也垂直于BD.(3)是命题，且是假命题.因为2是质数，但不是奇数.(4)不是命题.因为x是未知数，不能判断真假.(5)是命题，而且是真命题.因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立.(6)是感叹句，不涉及真假，不是命题.(7)是疑问句，不涉及真假，不是命题.(8)是命题，且是假命题.如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数.
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规律方法 并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
【训练1】 下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由.
(1)x≥16.
(2)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根.
(3)空集是任何非空集合的真子集.
(4)指数函数是增函数吗？
解 (1)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.
(2)是真命题.代入验证即可.
(3)是真命题.由空集的定义和性质不难得出.
(4)不是命题.因为是疑问句无法判断真假.
题型二 命题的条件与结论
【例2】 将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
(1)在△ABC中，大角对大边.
(2)矩形的对角线互相垂直.
(3)相等的两个角的正弦值相等.
(4)等底等高的两个三角形是全等三角形.
解 (1)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.
(2)若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直.
(3)若∠A＝∠B，则sin
A＝sin
B.
(4)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等.
规律方法 命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.
【训练2】 指出下列命题中的条件p和结论q.
(1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数.
(2)如果x∈A，则x∈A∩B.
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
解 (1)p：x＋y＝0；q：x，y互为相反数.
(2)p：x∈A，q：x∈A∩B.
(3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0.
题型三 命题真假的判断
【例3】 判断下列命题的真假：
(1)若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根.
(2)若A?B，则A∩B＝A.
(3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等.
(4)若x＋y>5，则x>2且y>3.
解 (1)当k>0时，Δ＝4＋4k>0恒成立，则方程x2＋2x－k＝0一定有实数根，故是真命题.
(2)当A?B时，任意x∈A，则x∈B，∴A∩B＝A成立，故是真命题.
(3)两个三角形相似则三个内角对应相等，但边长是成比例，不相等，故两个三角形不全等，是假命题.
(4)若x＋y>5，可以x＝1，y＝6，不满足x>2且y>3，是假命题.
规律方法 命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
【训练3】 判断下列命题的真假.
(1)若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根.
(2)若x>y，则x2>y2.
(3)若x>2，则x>1.
解 (1)当mn<0时，Δ＝1－4mn>0恒成立，
∴方程mx2－x＋n＝0有实根，是真命题.
(2)当x＝1，y＝－2时满足x>y，但x2(3)对每一个大于2的数一定大于1，故是真命题.
一、素养落地
1.通过学习命题，找出命题的条件和结论，判断真假，培养数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.命题是能够判断真假的语句，一个命题由条件和结论两部分组成，命题分为真命题和假命题.
二、素养训练
1.下列语句中是命题的是( )
A.两个周期函数的和是周期函数吗？
B.sin
0°＝0
C.x2－2x＋1>0
D.作△ABC∽△EFG
解析 一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
答案 B
2.语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是( )
A.不是命题
B.真命题
C.假命题
D.不能判断真假
解析 由不等式的性质知a>b，则a＋c>b＋c成立，故为真命题.
答案 B
3.平面内四条边都相等的四边形是正方形，这一命题的条件是________.
答案 平面内一个四边形的四条边都相等
4.若x∈M∪N，则x∈M是________命题(真或假).
解析 若x∈M∪N，则x∈M或x∈N.
答案 假
5.将下列命题写成“若p，则q”的形式.
(1)方程x2－x－6＝0的根为x1＝－2或x2＝3.
(2)菱形的对角线互相垂直平分.
解 (1)若x2－x－6＝0，则x1＝－2或x2＝3.
(2)若一个四边形是菱形，则对角线互相垂直平分.
基础达标
一、选择题
1.下列语句中命题的个数是( )
①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数；⑤人类可以在火星上居住；⑥打开窗户.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①③④⑤是命题，②不能判断真假，不是命题，⑥是祈使句不是命题.
答案 D
2.“素数都是奇数”写成“若p，则q”的形式为( )
A.若一个数是素数，则一定是奇数
B.任一个素数都是奇数
C.若一个实数是奇数，则一定是素数
D.所有的奇数都是素数
答案 A
3.给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A.4
B.2
C.0
D.－3
解析 方程无实数根，则Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件.
答案 C
4.对语句：“如果x>1，那么x>2”，下列判断正确的个数是( )
①不是命题；②是命题；③是假命题；④是真命题
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 是“若p，则q”形式的命题，而且x>1?
x>2，∴是假命题.
答案 C
5.下列说法正确的是( )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
解析 命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确.
答案 D
二、填空题
6.下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②平面内，四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________(填序号).
解析 ①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.
答案 ①④
7.命题“偶数的平方仍是偶数”是________命题(真或假).
答案 真
8.“不是矩形的四边形对角线不相等”这一命题的条件是________，结论是________.
答案 一个四边形不是矩形 对角线不相等
三、解答题
9.判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆.
解 (1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.
(3)真命题.∵m>1?Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.
(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
10.判断下列语句是否为命题，是真命题还是假命题？
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
②一个数的算术平方根一定是非负数；
③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；
④请完成第九题.
解 ①不是命题，因为它不是陈述句；
②是命题，是假命题，因为负数没有平方根；
③是命题，是假命题，例如－＋＝0，0不是无理数；
④不是命题，因为它不是陈述句.
能力提升
11.命题“集合M是集合A∪B的子集，所以M是集合A∩B的子集”.写成“若p，则q”形式为________，是________命题.(真或假)
解析 若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，M?A∪B，取M＝{1，2}，M不是A∩B的子集，故是假命题.
答案 若集合M是集合A∪B的子集，则M是集合A∩B的子集 假
12.写出下列命题的条件p和结论q，并判断真假.
(1)若x＋y≠8，则x≠2或y≠6.
(2)若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.
解 (1)条件p：x＋y≠8，结论q：x≠2或y≠6，是真命题.
(2)条件p：xy＝0，结论q：x，y中至少有一个为0，是真命题.
创新猜想
13.(多选题)下列命题是真命题的是( )
A.?是集合{0}的真子集
B.矩形是平行四边形
C.若x>1，则x>2
D.当x＝4时，2x－1<0
解析 C中x＝时，x>1，但不满足x>2，是假命题；D中x＝4时，不满足2x－1<0，是假命题.
答案 AB
14.(多空题)下列语句中的命题是________，其中的真命题是________(写出序号).
①等边三角形是等腰三角形；
②一个整数不是偶数就是奇数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④x＋y为有理数，则x、y也都是有理数.
解析 ①是命题且是真命题；②是真命题；③是假命题，没有考虑到在两个三角形中的情况；④是假命题，如x＝，y＝－.
答案 ①②③④ ①②
