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第3章
不等式
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
柯西与柯西不等式
在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西，做出了一些成就.柯西，出生于巴黎，在数学领域有很高的建树和造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式，他在数学和应用数学的功底是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书.
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2
m(含1.2
m)而不超过1.5
m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5
m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2
m的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.
图1
2.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，“刹车距离”是分析事故的重要因素.在一个限速为40
km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了，事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12
m，乙的刹车距离超过10
m，又知甲乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.
图2
图3
问题1：在图1中，从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？
问题2：在图2中，如何检验甲乙两车有无超速现象？
问题3：在图3中，这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢？
链接：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系或不等关系构建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符号来表示，如不超过即为小于等于，超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系，通过本章学习，我们可以迅速的判断汽车是否超速及项链重量的真实性问题.
3.1 不等式的基本性质
课标要求
素养要求
1.掌握不等式的基本性质.
2.运用不等式的性质解决有关问题.
通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.
新知探究
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.
问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
1.等式的性质
性质1 如果a＝b，b＝c，那么________；
性质2 如果a＝b，那么________________；
a＝c
a±c＝b±c
ac＝bc
2.不等式的性质
注意这些性质是否可逆(易错点)
性质1 如果a>b，那么b
b.即a>b?b性质2 如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?________.
性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么____________.
性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么____________.
性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).
a>c
acac>bd
拓展深化
[微判断]
1.a>b?ac2>bc2.(
)
提示 当c＝0时，不成立.
2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(
)
4.设a>b，则a3>b3.(
)
×
×
×
√
[微训练]
A.aB.a>b
C.与m有关
D.恒成立
答案 B
2.已知m>n，则( )
答案 D
[微思考]
1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示 a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.
2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.
题型一 用不等式的性质判断真假
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，
则7－0<6－(－10)，②错误；对于③，对于正数a，b，m，
若a所以0综上，真命题的序号是①③.
答案 (1)C (2)①③
规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.
【训练1】 下列命题中真命题的序号是________.
①a>b?a|x|>b|x|；②a>|b|?a2>b2；
③a≥b，b>2?a≥2；④a>b，c>d?ac>bd；
⑤a>b?a3>b3.
解析 ①当x＝0时结论不成立.
②∵a>|b|≥0，∴a2>b2.
③a≥b，b>2?a>2，∴a≥2.
④取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，得ac＝bd，
∴结论不成立.⑤显然成立.
答案 ②③⑤
题型二 证明不等式
∵a>b>0，c∴a＋b>0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0，
∴(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0.
∵e<0，∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0.
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴(a－c)2>(b－d)2>0，
规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；
2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.
【训练2】 (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac证明 (1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.
又e>f，即f∵a0，ab>0，
题型三 利用不等式的性质求范围
解 ∵3∴1－4规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.
一、素养落地
1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.
二、素养训练
1.若a>b，则下列各式正确的是( )
A.a－2>b－2
B.2－a>2－b
C.－2a>－2b
D.a2>b2
解析 ∵a>b，∴－a<－b，∴2－a<2－b，故B错误.－2a<－2b，故C错误.又若a＝1，b＝－2，则D错误.
答案 A
2.已知a解析 因为a(－3)2>(－2)2，可排除C；
答案 B
答案 a>0>b
4.给出下列命题：
①|a|>|b|?a2>b2；②a>b?a5>b5；③|a|>b?a2>b2.其中正确命题的序号是________.
解析 ①一定成立；②由不等式的性质知，显然正确；③当b<0时，不一定成立.如|2|>－3，但22<(－3)2.
答案 ①②第3章
不等式
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
柯西与柯西不等式
在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西，做出了一些成就.柯西，出生于巴黎，在数学领域有很高的建树和造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式，他在数学和应用数学的功底是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书.
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[读图探新]——发现现象背后的知识
1.在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2
m(含1.2
m)而不超过1.5
m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5
m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2
m的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.
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图1
2.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，“刹车距离”是分析
图2
事故的重要因素.在一个限速为40
km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了，事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12
m，乙的刹车距离超过10
m，又知甲乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.
图3
3.某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑.
问题1：在图1中，从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？
问题2：在图2中，如何检验甲乙两车有无超速现象？
问题3：在图3中，这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢？
链接：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系或不等关系构建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符号来表示，如不超过即为小于等于，超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系，通过本章学习，我们可以迅速的判断汽车是否超速及项链重量的真实性问题.
3.1 不等式的基本性质
课标要求
素养要求
1.掌握不等式的基本性质.2.运用不等式的性质解决有关问题.
通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.
新知探究
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.
INCLUDEPICTURE"补23.TIF"
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"补23.TIF"
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问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
提示 糖水变甜这一现象对应的不等式为<，其中00.
1.等式的性质
性质1 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质2 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质3 如果a＝b，那么ac＝bc；＝(c≠0).
2.不等式的性质
注意这些性质是否可逆(易错点)
性质1 如果a>b，那么bb.即a>b?b性质2 如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c.
性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).
拓展深化
[微判断]
1.a>b?ac2>bc2.(×)
提示 当c＝0时，不成立.
2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)
提示 相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系.
3.若a>b，则<.(×)
提示 若a>0，b<0，则>.
4.设a>b，则a3>b3.(√)
[微训练]
1.已知a，b，m是正实数，则不等式>成立的条件是( )
A.aB.a>b
C.与m有关
D.恒成立
解析 －＝，而a>0，m>0且>0，∴a－b>0.即a>b.
答案 B
2.已知m>n，则( )
A.m2>n2
B.>
C.mx2>nx2
D.m＋x>n＋x
解析 由于m2－n2＝(m－n)(m＋n)，而m＋n>0不一定成立，所以m2>n2不一定成立，而，不一定有意义，所以选项A，B不正确；选项C中，若x2＝0，则不成立.
答案 D
[微思考]
1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
提示 a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.
2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
提示 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.
题型一 用不等式的性质判断真假
【例1】 (1)若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②ab3，则不等式不正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则<；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a其中真命题的序号是________.
解析 (1)由<<0可得b0，则a＋bb3，④正确.故不正确的不等式的个数为2.
(2)对于①，若ab>0，则>0，
又a>b，所以>，所以<，所以①正确；
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，
则7－0<6－(－10)，②错误；对于③，对于正数a，b，m，
若a所以0又>0，所以<，③正确.
综上，真命题的序号是①③.
答案 (1)C (2)①③
规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.
【训练1】 下列命题中真命题的序号是________.
①a>b?a|x|>b|x|；②a>|b|?a2>b2；
③a≥b，b>2?a≥2；④a>b，c>d?ac>bd；
⑤a>b?a3>b3.
解析 ①当x＝0时结论不成立.
②∵a>|b|≥0，∴a2>b2.
③a≥b，b>2?a>2，∴a≥2.
④取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，得ac＝bd，
∴结论不成立.⑤显然成立.
答案 ②③⑤
题型二 证明不等式
【例2】 若a>b>0，c.
证明 法一 －＝
＝
＝.
∵a>b>0，c∴a＋b>0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0，
∴(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0.
∵e<0，∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0.
又(a－c)2(b－d)2>0，∴－>0，
即>.
法二 ＝.∵c－d>0.
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴(a－c)2>(b－d)2>0，
∴0<<1，∴0<<1.
又<0，∴>.
法三 ?a－c>b－d>0?
?>.
规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；
2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.
【训练2】 (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac(2)已知a证明 (1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.
又e>f，即f(2)由于－＝＝，
∵a0，ab>0，
∴<0，故<.
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 已知1解 ∵3∴1－4又<<，∴<<，即<<2.
规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.
【训练3】 已知－<β<α<，求2α－β的取值范围.
解 ∵－<α<，－<β<，
∴－<－β<.∴－π<α－β<π.
又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，
又2α－β＝α＋(α－β)，∴－<2α－β<π.
∴2α－β的取值范围为.
一、素养落地
1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.
二、素养训练
1.若a>b，则下列各式正确的是( )
A.a－2>b－2
B.2－a>2－b
C.－2a>－2b
D.a2>b2
解析 ∵a>b，∴－a<－b，∴2－a<2－b，故B错误.－2a<－2b，故C错误.又若a＝1，b＝－2，则D错误.
答案 A
2.已知aA.<
B.>
C.a2D.<1
解析 因为a不妨令a＝－3，b＝－2，
则－>－，可排除A；
(－3)2>(－2)2，可排除C；
＝>1，可排除D；
而－>－，即>，B正确.
答案 B
3.不等式a>b和>同时成立的条件是________.
解析 若a，b同号，则a>b?<.
答案 a>0>b
4.给出下列命题：
①|a|>|b|?a2>b2；②a>b?a5>b5；③|a|>b?a2>b2.其中正确命题的序号是________.
解析 ①一定成立；②由不等式的性质知，显然正确；③当b<0时，不一定成立.如|2|>－3，但22<(－3)2.
答案 ①②
5.已知>，bc>ad，求证：ab>0.
证明 ∵∴
∴∴ab>0.
基础达标
一、选择题
1.设xA.x2B.x2>ax>a2
C.x2D.x2>a2>ax
解析 ∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
答案 B
2.设aA.>
B.acC.|a|>－b
D.>
解析 a，选项A正确；当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确；|a|＝－a>－b，则选项C正确；由－a>－b>0，可得>，则选项D正确，故选B.
答案 B
3.已知a>b>c，则＋的值是( )
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
解析 ＋＝＝，
∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0，
∴＋>0，故选A.
答案 A
4.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A.a>b?ac3>bc3
B.>?a>b
C.?>
D.?>
解析 当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；
当ab<0时，a>b?<，
即>，C成立.同理可证D不成立.
答案 C
5.已知a，b，c，d为正实数，且<，则( )
A.<<
B.<<
C.<<
D.以上均可能
解析 ∵a，b，c，d为正实数，<，∴ad∴－＝＝<0，
－＝＝>0，
∴<<.
答案 A
二、填空题
6.若8解析 ∵2又∵8答案 (2，5)
7.下列命题中的真命题是________(填序号).
①若a>b>0，则<；②若a>b，则c－2a0，则<；④若a>b，则2a>2b.
解析 ①a>b>0?0<b?－2a<－2b?c－2a答案 ①②④
8.设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小顺序是________(按从大到小的顺序).
解析 ∵a>b>c>0，
y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc
＝2c(a－b)>0，
∴y2>x2，即y>x.同理可得z>y，故z>y>x.
答案 z>y>x
三、解答题
9.判断下列四个命题的真假.
(1)若a(2)若a>b>c，则有a|c|>b|c|；
(3)若b1，且n为奇数，则有an>bn.
解 (1)∵a0，∴>0.
∴a·(2)∵a>b，|c|≥0，当c≠0时，|c|>0，∴a|c|>b|c|.
当c＝0时，|c|＝0，∴a|c|＝b|c|＝0.
∴(2)是假命题.
(3)当b－a>0.∴(－b)n>(－a)n.
∵n为奇数，∴－bn>－an.∴an>bn.∴(3)是真命题.
10.已知c>a>b>0，求证：>.
证明 －＝
＝＝.
∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0，a－b>0.
∴>0.∴>.
能力提升
11.若a>b>0，cA.>
B.<
C.>
D.<
解析 法一 ?<<0?<<0??>?<.
法二 依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，C，D均错误，只有B正确.
答案 B
12.已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围.
解 法一 设u＝a＋b，v＝a－b得a＝，b＝，
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.
法二 令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.
∴∴
又
∴－2≤4a－2b≤10.
创新猜想
13.(多选题)已知a，b，c，d∈R，则下列结论中不成立的是( )
A.若a>b，c>b，则a>c
B.若a>－b，则c－aC.若a>b，c
D.若a2>b2，则－a<－b
解析 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C，不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0答案 ACD
14.(多空题)已知12解析 由15由15又因为12所以<<4.
答案 (－24，45) 