5.3 函数的单调性
第一课时 函数的单调性
课标要求
素养要求
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.理解函数单调性的作用和实际意义.3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用
.
1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.体会用符号形式表达单调性定义的必要性.2.在函数单调性的应用过程中，发展逻辑推理和数学运算素养.
新知探究
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
时间间隔t
刚记忆完毕
20分钟后
60分钟后
8～9小时后
1天后
2天后
6天后
一个月后
记忆量y
(百分比)
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.
问题 “艾宾浩斯遗忘曲线”从函数性质看具有什么性质？
提示 “艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数.
1.增函数和减函数
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I?A，
(1)如果对区间I内的任意两个值x1，x2，当x1
(2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么称y＝f(x)在区间I上是减函数，I称为y＝f(x)
的减区间.
2.单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间.
拓展深化
[微判断]
1.函数f(x)＝在其定义域上为减函数.(×)
提示 f(x)＝在区间(0，＋∞)和(－∞，0)上为减函数.
2.若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).(√)
3.函数f(x)＝x2＋1，由于f(－1)提示 只比较两个函数值，不能说明单调性.
4.函数f(x)的定义域为I，如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1，x2，当x1提示 应该为?x1，x2∈D，当x1[微训练]
1.下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是( )
A.f(x)＝－
B.f(x)＝x
C.f(x)＝－x2
D.f(x)＝1－x
解析 由函数的图象知f(x)＝1－x在(－∞，0)上为减函数，故选D.
答案 D
2.若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________.
解析 因为f(x)＝ax－3在R上递增，所以a>0.
答案 (0，＋∞)
3.已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图.根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为________，减区间为________.
解析 由图象可知f(x)在[－2，6]上的递增区间为[－2，－1]和[2，6]，减区间为[－1，2].
答案 [－2，－1]和[2，6] [－1，2]
[微思考]
1.若函数y＝f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么y＝f(x)的减区间可写成D1∪D2吗？
提示 不可以，单调区间不能取并集，单调性是函数的局部性质，如y＝在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为减函数.
2.?x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，则y＝f(x)在某个区间D上是减函数吗？简要说明原因.
提示 是.若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.同理(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0时，f(x)在D上为减函数.
题型一 判断或证明函数的单调性
【例1】 已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明.
解 (1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠±1}.
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减.
证明：?x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，
有f(x2)－f(x1)＝eq
\f(1,x－1)－eq
\f(1,x－1)＝eq
\f(（x1－x2）（x1＋x2）,（x－1）（x－1）)
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
所以x－1>0，x－1>0，x1＋x2>0.
又x1于是eq
\f(（x1－x2）（x1＋x2）,（x－1）（x－1）)<0，
即f(x1)>f(x2)，
因此，函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减.
规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤：
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.
【训练1】 证明函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上是增函数.
证明 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1那么f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋＝.
由x1，x2∈(2，＋∞)，得x1>2，x2>2.
所以x1x2>4，x1x2－4>0，又由x1于是<0，即f(x1)所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数.
题型二 求函数的单调区间
角度1 由图象求单调区间
【例2－1】 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间.
解 y＝－x2＋2|x|＋3
＝
作出函数图象如图所示.
函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数，
故函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间是[－1，0]，[1，＋∞).
角度2 用定义求单调区间
【例2－2】 求函数f(x)＝(a>b>0)的单调区间.
解 已知函数的定义域是(－∞，－b)∪(－b，＋∞).
设x1，x2是区间(－b，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝－＝.
∵a>b>0，x2>x1>－b，
∴a－b>0，x2－x1>0，
x2＋b>0，x1＋b>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－b，＋∞)上为减函数，即函数f(x)＝(a>b>0)的单调递减区间为(－b，＋∞).
同理可得，f(x)在(－∞，－b)上为减函数.
综上所述，函数f(x)＝(a>b>0)的单调递减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞).
规律方法 (1)函数单调区间的两种求法
①图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间.
②定义法.即先求出定义域，再利用定义进行判断求解.
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个或两个以上单调区间时，单调区间之间可用
“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.
【训练2】 (1)根据如图，写出函数在每一单调区间上是单调增函数还是单调减函数；
(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间.
解 (1)函数在[－1，0]，[2，4]上是单调减函数，在[0，2]，[4，5]上是单调增函数.
(2)先画出f(x)＝
的图象，如图，则函数单调减区间是(－∞，－1]，[1，3]，单调增区间是(－1，1)，(3，＋∞).
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题型三 函数单调性的应用
角度1 由单调性比较大小
【例3－1】 已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有( )
A.f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B.f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
解析 由题意知a＋b≤0，得到a≤－b，b≤－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).故选D.
答案 D
角度2 由单调性求参数
【例3－2】 若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.∪
解析 要使f(x)在R上是减函数，需满足：
解得≤a<.
答案 A
角度3 利用单调性解不等式
【例3－3】 已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)解 由题意知解得0即所求a的取值范围是.
规律方法 1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
2.利用单调性比较大小的方法
(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，例如：已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去.
3.利用函数的单调性解不等式的方法
当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
【训练3】 (1)已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)解析 (1)由题意得
解得－1≤x<.
(2)∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
∴－＝1，∴a＝－2.如图.
∵f(m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2，0).
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答案 (1) (2)(－2，0)
一、素养落地
1.经历从图象的直观描述到符号表达的抽象过程，在函数单调性的应用中提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
2.对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2).
(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性.
3.若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.
4.利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小.
二、素养训练
1.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A.y＝2x＋1
B.y＝x2＋1
C.y＝3－x
D.y＝x2＋2x＋1
解析 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数.
答案 C
2.函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A.(－∞，1)
B.(1，＋∞)
C.(－∞，2)
D.(2，＋∞)
解析 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞).
答案 B
3.函数y＝的单调递减区间是________.
解析 y＝的图象可由y＝的图象向右平移一个单位得到，如图，∴单调减区间是(－∞，1)，(1＋∞).
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答案 (－∞，1)，(1＋∞)
4.定义在(－2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)解析 由题设知实数a应满足：
解得答案
5.已知函数f(x)＝是减函数，求实数a的取值范围.
解 由题意得，要使f(x)是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a，即a≤5.故实数a的取值范围为(－∞，5].
基础达标
一、选择题
1.函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的增区间是( )
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A.[－4，4]
B.[－4，－3]∪[1，4]
C.[－3，1]
D.[－3，4]
解析 由图象知增区间为[－3，1]，故选C.
答案 C
2.下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈I，当x10，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析 当x10知f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)答案 B
3.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A.y＝5－x
B.y＝x2＋2
C.y＝
D.y＝－|x|
解析 选项A，C，D中的函数在(0，2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数.
答案 B
4.若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.(3，＋∞)
D.(－∞，－3]
解析 ∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象是开口向上的抛物线，直线x＝为函数的对称轴，又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤，解得a≤－.
答案 B
5.函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－3)
B.(0，＋∞)
C.(3，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析 ∵f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，
∴2m>－m＋9，即m>3，故选C.
答案 C
二、填空题
6.已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________.
解析 当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1).
答案 (－∞，1)
7.下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是________(填序号).
①f(x)＝－； ②f(x)＝－3x＋1；
③f(x)＝x2＋4x＋3；④f(x)＝x－.
解析 由题意知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，①③④在(0，＋∞)上均为增函数.
答案 ①③④
8.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系为________________(用“>”号连接).
解析 由题意知f(x)的对称轴为x＝2，故f(1)＝f(3)，
∵f(x)＝x2＋bx＋c在[2，＋∞)上为增函数，
∴f(2)答案 f(4)>f(1)>f(2)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝.
(1)求m，n的值；
(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明.
解 (1)因为f(1)＝m＋＋＝2，
f(2)＝2m＋＋＝.
所以即m，n的值分别为1和2.
(2)由(1)知f(x)＝x＋＋.
f(x)在x∈[1，＋∞)上为增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝x1＋＋－
＝(x1－x2)
＝.
因为1≤x11，
所以2x1x2>2>1，
所以<0，即f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
10.已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
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(1)将函数写成分段函数的形式；
(2)画出函数的图象；
(3)根据图象写出它的单调区间.
解 (1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝
(2)如图.
(3)由图象可知单调递增区间为(－2，0)，[2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2].
能力提升
11.已知函数f(x)＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是( )
A.[0，＋∞)
B.
C.
D.(－∞，0)∪
解析 当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是单调减函数，即有≥0，解得a≥0；当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是单调减函数，分界点x＝0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤.
答案 B
12.讨论函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性.
解 ?x1，x2∈(－1，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq
\f(ax1,x－1)－eq
\f(ax2,x－1)
＝eq
\f(ax1（x－1）－ax2（x－1）,（x－1）（x－1）)
＝eq
\f(ax1x2（x2－x1）＋a（x2－x1）,（x－1）（x－1）)＝eq
\f(a（x2－x1）（x1x2＋1）,（x－1）（x－1）)
∵x1，x2∈(－1，1)，x1∴x－1<0，x－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0.
∴当a>0时，eq
\f(a（x2－x1）（x1x2＋1）,（x－1）（x－1）)>0.
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
当a<0时，eq
\f(a（x2－x1）（x1x2＋1）,（x－1）（x－1）)<0，
即f(x1)创新猜想
13.(多选题)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A.函数在区间[－5，－3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[－5，5]上没有单调性
解析 单调区间不能用“∪”连接.
答案 ABD
14.(多选题)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的有( )
A.>0
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C.f(a)≤f(x1)D.f(x1)>f(x2)
解析 CD中x1与x2的大小无法确定，故不能比较函数值的大小.
答案 AB第二课时 函数的最大(小)值
课标要求
素养要求
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.
通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
新知探究
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况？
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问题 (1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
提示 (1)该天的最高气温为25
℃，最低气温为－5
℃.
(2)该天某时刻的气温变化范围是[－5
℃，25
℃].
(3)气温的最大值在t＝17处取得，气温的最小值在t＝6时取得.
函数的最大值与最小值
设函数y＝f(x)的定义域是A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A.都有f(x)≤f(x0).那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0).
拓展深化
[微判断]
1.若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.(×)
提示 M是存在的，并且?x0∈I，使得f(x0)＝M.
2.一个函数可能有多个最小值.(×)
提示 最大(小)值至多有1个.
3.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.(√)
4.如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.(×)
提示 值域确定，但不一定有最值.
5.因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.(×)
提示 f(x)＝x2的最小值为0.
[微训练]
1.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________.
解析 根据图象可知f(x)max＝3.
答案 3
2.函数y＝在[2，3]上的最小值为________.
解析 ∵y＝在[2，3]上递减，∴ymin＝f(3)＝.
答案
3.函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为________.
解析 函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0，又0∈[－1，2]，∴f(x)max＝f(0)＝2.
答案 2
[微思考]
任何函数都有最大(小)值吗？
提示 不一定，函数的最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素，若仅有对定义域内的任意实数x，都有f(x)≤M，但M不在函数值域内，则M不能称为函数的最值，例如函数y＝，这个函数既没有最大值也没有最小值.
题型一 利用函数图象求最值
【例1】 已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值.
解 作出f(x)的图象如图：
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
规律方法 用图象法求最值的三个步骤
【训练1】 画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间及函数的最小值.
解
y＝f(x)的图象如图所示，y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.
题型二 利用单调性求最值
【例2】 已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
(1)证明 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)
＝.
∵1≤x11，
∴x1x2－1>0，
∴<0，即f(x1)∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
(2)解 由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝.
综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2.
规律方法 1.利用单调性求最值：
首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
【训练2】 已知函数f(x)＝，x∈[3，5].
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
解 (1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3，5]上为增函数.
(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，
f(x)min＝f(3)＝.
题型三 二次函数的最值
【例3】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1.
(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.
解 (1)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，
所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
综上，f(x)max＝
(2)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝.
①当t≥时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
③当t<所以f(x)min＝f＝.
综上，f(x)min＝
规律方法 1.含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.
2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
【训练3】 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.
(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).
解 f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.
(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.
又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上得g(t)＝
一、素养落地
1.通过函数图象经历函数最值的抽象过程、发展数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
2.求函数最大(小)值的常用方法有：
(1)观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；
(2)配方法，对于“二次函数”类的函数，一般通过配方法求最值；
(3)图象法，对于图象较容易画出来的函数，可借助图象直观地求出最值；
(4)单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性(需给出证明)后，依据单调性确定函数最值.
二、素养训练
1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )
A.3，5
B.－3，5
C.1，5
D.5，－3
解析 因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
答案 B
2.函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
INCLUDEPICTURE"W169.TIF"
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"W169.TIF"
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A.－2，f(2)
B.2，f(2)
C.－2，f(5)
D.2，f(5)
答案 C
3.已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为________，________.
解析 作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0.
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
INCLUDEPICTURE"S213.TIF"
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"S213.TIF"
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答案 1 0
4.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是________.
解析 由题意a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
答案 ±2
5.求函数f(x)＝在区间[2，5]上的最大值与最小值.
解 任取2≤x1则f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵2≤x1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0.
∴f(x2)∴f(x)＝在[2，5]上是单调减函数.
∴f(x)max＝f(2)＝＝2，
∴f(x)min＝f(5)＝＝.
三、审题答题
示范(一) 利用函数的单调性求最值
【典型示例】
(12分)已知函数f(x)＝.
(1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数①.
(2)求x∈[0，3]时，函数f(x)的值域②.
联想解题
看到①想到利用函数单调性的定义，证明f(x)在(－1，＋∞)上的单调性.
看到②首先利用(1)的结论首先判断f(x)在[0，3]上的单调性→求f(x)在[0，3]上的最值→得到f(x)在[0，3]上的值域.
满分示范
(1)证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)且x11分
则f(x1)－f(x2)＝－②＝③，
3分
∵－1∴x1＋1>0，x2＋1>0，x2－x1>0，4分
∴>0④，即f(x1)>f(x2)⑤，5分
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.6分
(2)解 由(1)的证明知，函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.
∵[0，3]?(－1，＋∞)，8分
∴函数f(x)在[0，3]上是减函数.10分
∴函数f(x)在[0，3]上的最大值是f(0)＝2，最小值是f(3)＝⑥.11分
∴函数f(x)在[0，3]上的值域是⑦12分
满分心得
(1)求函数的最值的常用方法―→函数的单调性.
(2)证明函数单调性的步骤.
取值——作差——变形——判断——结论
①
② ③ ④ ⑤
(3)利用单调性求最值―→得到函数的值域
⑥ ⑦
基础达标
一、选择题
1.函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
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"S216A.TIF"
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A.f(－2)，0
B.0，2
C.f(－2)，2
D.f(2)，2
解析 由图象可知，此函数的最小值是f(2)，最大值是2.
答案 D
2.函数f(x)＝的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
解析 因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝＋≥，所以≤.故f(x)的最大值为.
答案 C
3.函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( )
A.[0，3]
B.[－1，0]
C.[－1，＋∞)
D.[－1，3]
解析 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D.
答案 D
4.已知f(x)＝－，则( )
A.f(x)max＝，f(x)
无最小值
B.f(x)min＝1，f(x)
无最大值
C.f(x)max＝1，f(x)min＝－1
D.f(x)max＝1，f(x)min＝0
解析 f(x)＝－的定义域为[0，1].
因为f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1.
答案 C
5.已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5，20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A.[160，＋∞)
B.(－∞，40]
C.(－∞，40]∪[160，＋∞)
D.(－∞，20]∪[80，＋∞)
解析 由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5，20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5，20)上是单调函数.二次函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.
答案 C
二、填空题
6.(多空题)函数y＝的最小值为________，最大值为________.
解析 由题意可知，当x∈[－3，－1]时，ymin＝－2；当x∈(－1，4]时，ymin＝－5，故最小值为－5，同理可得最大值为0.
答案 －5 0
7.函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________.
解析 由f(x)＝(x－2)2＋1知，
当x＝2时，y＝f(x)的最小值为1，
当f(x)＝5，即x2－4x＋5＝5时，
解得x＝0或x＝4.
依据图象得2≤m≤4.
答案 [2，4]
8.已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0，1]内的最大值是－5，则a的值为________.
解析 由题意知函数f(x)的对称轴方程为x＝.
当<0，即a<0时，f(x)在[0，1]上单调递减，则f(x)max＝f(0)＝－4a－a2＝－5，解得a＝1或a＝－5.又a<0，则a＝－5；
当>1，即a>2时，f(x)在[0，1]上单调递增，
则f(x)max＝f(1)＝－4－a2＝－5，
解得a＝1或a＝－1.
又a>2，则a不存在；
当0≤≤1，即0≤a≤2时，
f(x)max＝f＝－4a＝－5,
解得a＝.
综上，a＝－5或.
答案 －5或
三、解答题
9.已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题.
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值.
解 f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示.
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"W171.TIF"
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(1)f(x)在和(0，＋∞)上是增函数，
在上是减函数.
因此f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)；
单调递减区间为.
(2)因为f＝，f＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
10.已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围.
(3)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.
解 (1)由已知，设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，
由f(0)＝3，得a＝2，
故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数不单调，
则2a<1所以a的取值范围是.
(3)由已知，即2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在[－1，1]上恒成立，
化简得x2－3x＋1－m>0.
设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min>0，因为g(x)在区间[－1，1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，
解得m<－1，即实数m的取值范围是(－∞，－1).
能力提升
11.(多空题)定义min{a，b}＝设函数f(x)＝min{－x2＋2x＋5，x＋3}，则f(1)＝________；f(x)的最大值为________.
解析 由－x2＋2x＋5得x<－1或x>2；
由－x2＋2x＋5≥x＋3，得－1≤x≤2，
据题意得，f(x)＝
∴f(1)＝4，
当x<－1或x>2时，f(x)＝－(x－1)2＋6，则f(x)<5；
当－1≤x≤2时，2≤f(x)≤5，
∴f(x)的最大值为5.
答案 4 5
12.已知函数f(x)＝－x(x∈[2，＋∞)).
(1)证明：函数f(x)是减函数.
(2)若不等式(a＋x)(x－1)>2对x∈[2，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
(1)证明 在[2，＋∞)上任取x1，x2，令x1>x2，
f(x1)－f(x2)＝－x1－＋x2
＝＋x2－x1＝(x2－x1).∵2≤x2∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1<0，
∴(x2－x1)<0，
即f(x1)∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减.
(2)解 ∵(a＋x)(x－1)>2对x∈[2，＋∞)恒成立，
∴a>－x在[2，＋∞)上恒成立.
∴a>f(x)max.
由(1)可知f(x)＝－x在[2，＋∞)上单调递减，
∵f(x)max＝f(2)＝－2＝0，
∴a>0.即实数a的取值范围是(0，＋∞).
创新猜想
13.(多选题)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数m的值可能是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 函数y＝x2－4x－4的图象关于x＝2对称，且f(2)＝－8，f(0)＝f(4)＝－4，如图，y＝x2－4x－4在(－∞，2)上单调递减，(2，＋∞)上单调递增，由图可知，m∈[2，4]，所以实数m的取值范围是[2，4]，故选ABC.
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答案 ABC
14.(多选题)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有( )
A.y＝＋
B.y＝4x＋
C.y＝3x－
D.y＝x－1＋
解析 选项A，x≥1，y＝＋≥2＝2，当且仅当x＝2取得最小值2；
选项B，y＝4x＋在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为5；
选项C，y＝3x－在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为2；
选项D，y＝x－1＋＝(x＋1)＋－2≥2－2＝2，
当且仅当x＝1时，
取得最小值2.故选ACD.
答案 ACD(共35张PPT)
第二课时 函数的最大(小)值
课标要求
素养要求
借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.
通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
新知探究
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况？
问题 (1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
提示 (1)该天的最高气温为25
℃，最低气温为－5
℃.
(2)该天某时刻的气温变化范围是[－5
℃，25
℃].
(3)气温的最大值在t＝17处取得，气温的最小值在t＝6时取得.
函数的最大值与最小值
设函数y＝f(x)的定义域是A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A.都有_________.那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为______________；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为___________.
f(x)≤f(x0)
ymax＝f(x0)
f(x)≥f(x0)
ymin＝f(x0)
拓展深化
[微判断]
1.若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值.(
)
提示 M是存在的，并且?x0∈I，使得f(x0)＝M.
2.一个函数可能有多个最小值.(
)
提示 最大(小)值至多有1个.
3.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.(
)
4.如果函数的值域是确定的，则它一定有最值.(
)
提示 值域确定，但不一定有最值.
5.因为不等式x2>－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.(
)
提示 f(x)＝x2的最小值为0.
×
×
√
×
×
[微训练]
1.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________.
解析 根据图象可知f(x)max＝3.
答案 3
3.函数y＝－3x2＋2在区间[－1，2]上的最大值为________.
解析 函数y＝－3x2＋2的对称轴为x＝0，又0∈[－1，2]，∴f(x)max＝f(0)＝2.
答案 2
[微思考]
任何函数都有最大(小)值吗？
题型一 利用函数图象求最值
解 作出f(x)的图象如图：
规律方法 用图象法求最值的三个步骤
解
y＝f(x)的图象如图所示，y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.
题型二 利用单调性求最值
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
(1)证明 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1∵1≤x11，∴x1x2－1>0，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
(2)解 由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
规律方法 1.利用单调性求最值：
首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
解 (1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1因为3≤x10，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3，5]上为增函数.
(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，
题型三 二次函数的最值
【例3】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1.
(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；
(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.
所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
规律方法 1.含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.
2.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
【训练3】 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3.
(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).
解 f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上.
(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0]上是减函数，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在[－2，3]上先递减后递增，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
一、素养落地
1.通过函数图象经历函数最值的抽象过程、发展数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
2.求函数最大(小)值的常用方法有：
(1)观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；
(2)配方法，对于“二次函数”类的函数，一般通过配方法求最值；
(3)图象法，对于图象较容易画出来的函数，可借助图象直观地求出最值；
(4)单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性(需给出证明)后，依据单调性确定函数最值.
二、素养训练
1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )
A.3，5
B.－3，5
C.1，5
D.5，－3
解析 因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
答案 B
2.函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.－2，f(2)
B.2，f(2)
C.－2，f(5)
D.2，f(5)
答案 C
答案 1 0
解析 作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0.
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
4.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是________.
解析 由题意a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
答案 ±2
解 任取2≤x1∵2≤x1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0.
∴f(x2)三、审题答题
示范(一) 利用函数的单调性求最值
看到①想到利用函数单调性的定义，证明f(x)在(－1，＋∞)上的单调性.
看到②首先利用(1)的结论首先判断f(x)在[0，3]上的单调性→求f(x)在[0，3]上的最值→得到f(x)在[0，3]上的值域.
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是减函数.6分(共38张PPT)
5.3 函数的单调性
第一课时 函数的单调性
课标要求
素养要求
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.
2.理解函数单调性的作用和实际意义.
3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用
.
1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.体会用符号形式表达单调性定义的必要性.
2.在函数单调性的应用过程中，发展逻辑推理和数学运算素养.
新知探究
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：
时间间隔t
刚记忆完毕
20分
钟后
60分
钟后
8～9小
时后
1天后
2天后
6天后
一个
月后
记忆量y
(百分比)
100
58.2
44.2
35.8
33.7
27.8
25.4
21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.
问题 “艾宾浩斯遗忘曲线”从函数性质看具有什么性质？
提示 “艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数.
1.增函数和减函数
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I?A，
(1)如果对区间I内的______两个值x1，x2，当x1(2)如果对于区间I内的______两个值x1，x2，当x1的减区间.
任意
f(x1)增函数
任意
f(x1)>f(x2)
减函数
2.单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是________或________，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有________，增区间和减区间统称为__________.
增函数
减函数
单调性
单调区间
拓展深化
[微判断]
2.若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).(
)
3.函数f(x)＝x2＋1，由于f(－1))
提示 只比较两个函数值，不能说明单调性.
4.函数f(x)的定义域为I，如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1，x2，当x1)
提示 应该为?x1，x2∈D，当x1×
√
×
×
[微训练]
1.下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是( )
解析 由函数的图象知f(x)＝1－x在(－∞，0)上为减函数，故选D.
答案 D
2.若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________.
解析 因为f(x)＝ax－3在R上递增，所以a>0.
答案 (0，＋∞)
3.已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图.根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为________，减区间为________.
解析 由图象可知f(x)在[－2，6]上的递增区间为[－2，－1]和[2，6]，减区间为[－1，2].
答案 [－2，－1]和[2，6] [－1，2]
[微思考]
1.若函数y＝f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么y＝f(x)的减区间可写成D1∪D2吗？
2.?x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，则y＝f(x)在某个区间D上是减函数吗？简要说明原因.
提示 是.若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.同理(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0时，f(x)在D上为减函数.
题型一 判断或证明函数的单调性
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明.
解 (1)由x2－1≠0，得x≠±1，
证明：?x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，
由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，
又x1即f(x1)>f(x2)，
规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤：
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.
证明 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1由x1，x2∈(2，＋∞)，得x1>2，x2>2.
所以x1x2>4，x1x2－4>0，又由x1题型二 求函数的单调区间
角度1 由图象求单调区间
【例2－1】 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间.
作出函数图象如图所示.
函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数，
故函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间是[－1，0]，[1，＋∞).
角度2 用定义求单调区间
解 已知函数的定义域是(－∞，－b)∪(－b，＋∞).
设x1，x2是区间(－b，＋∞)上的任意两个实数，且x1∵a>b>0，x2>x1>－b，
∴a－b>0，x2－x1>0，
x2＋b>0，x1＋b>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
规律方法 (1)函数单调区间的两种求法
①图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间.
②定义法.即先求出定义域，再利用定义进行判断求解.
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个或两个以上单调区间时，单调区间之间可用
“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.
【训练2】 (1)根据如图，写出函数在每一单调区间上是单调增函数还是单调减函数；
(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间.
解 (1)函数在[－1，0]，[2，4]上是单调减函数，在[0，2]，[4，5]上是单调增函数.
题型三 函数单调性的应用
角度1 由单调性比较大小
【例3－1】 已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有( )
A.f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B.f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
解析 由题意知a＋b≤0，得到a≤－b，b≤－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).故选D.
答案 D
角度2 由单调性求参数
答案 A
角度3 利用单调性解不等式
【例3－3】 已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)规律方法 1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
2.利用单调性比较大小的方法
(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，例如：已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去.
3.利用函数的单调性解不等式的方法
当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)(2)∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，∴－
＝1，∴a＝－2.如图.∵f(m＋2)一、素养落地
1.经历从图象的直观描述到符号表达的抽象过程，在函数单调性的应用中提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
2.对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2).
(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性.
3.若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.
4.利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小.
二、素养训练
1.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )
A.y＝2x＋1
B.y＝x2＋1
C.y＝3－x
D.y＝x2＋2x＋1
解析 函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数.
答案 C
2.函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A.(－∞，1)
B.(1，＋∞)
C.(－∞，2)
D.(2，＋∞)
解析 易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞).
答案 B
答案 (－∞，1)，(1＋∞)
4.定义在(－2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)