5.4 函数的奇偶性
第一课时 函数的奇偶性(一)
课标要求
素养要求
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.
通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
新知探究
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物……
问题 (1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？
(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
提示 (1)整个图形对称.
(2)建筑物是轴对称图形，六角形的雪花晶体既是轴对称图形，又是中心对称图形.
偶函数与奇函数
(1)定义：设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数；
如果对于任意x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.
(2)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
拓展深化
[微判断]
1.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(×)
提示 反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.
2.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(×)
提示 存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.
3.若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(×)
提示 函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数.
4.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(√)
[微训练]
1.下列函数是偶函数的是( )
A.y＝x
B.y＝3x2
C.y＝
D.y＝|x|(x∈[0，1])
解析 利用偶函数的定义，定义域关于原点对称，满足f(－x)＝f(x).故选B.
答案 B
2.f(x)＝x3＋的图象关于________对称.
解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.∴其图象关于原点对称.
答案 原点
[微思考]
1.如果函数f(x)具有奇偶性，那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗？
提示 定义域一定关于原点对称.由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内(若－x不在定义域内，则f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.
2.对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若f(x)为偶函数，需满足什么条件？
(2)若f(x)为奇函数，需满足什么条件？
提示 (1)b＝0 (2)a＝c＝0
题型一 函数奇偶性判断
角度1 一般函数奇偶性的判断
【例1－1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
解 (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
角度2 分段函数奇偶性的判定
【例1－2】 判断函数f(x)＝的奇偶性.
解 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
规律方法 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
分段函数奇偶性的判断，要分别从关于原点对称的区间上来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有奇偶性.
【训练1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解 (1)函数的定义域为R.又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数.
题型二 奇、偶函数的图象特征
【例2】 已知函数f(x)＝，令g(x)＝f.
(1)已知f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据；
(2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
(1)解 ∵f(x)＝，∴f(x)的定义域为R.
又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示，
(2)证明 ∵g(x)＝f＝＝(x≠0)，
∴f(x)＋g(x)＝＋＝＝1，
即f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
规律方法 (1)先判断函数的奇偶性；
(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
【训练2】 (1)如图给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值为( )
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A.
B.－
C.
D.－
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为( )
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A.(2，5)
B.(－5，－2)∪(2，5)
C.(－2，0)
D.(－2，0)∪(2，5)
解析 (1)奇函数的图象关于原点对称，因此，f(－2)＝－f(2)＝－.
(2)因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0，5]上的图象，知它在[－5，0]上的图象，如图所示，由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
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答案 (1)B (2)D
题型三 由奇偶性求参数值
【例3】 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
解析 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＋2a＝0，解得a＝，又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，
得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又x∈R使其恒成立，故a＝0.
答案 (1) 0 (2)0
规律方法 利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解.
【训练3】 (1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
(2)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
解析 (1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
(2)由题意知则
所以
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
答案 (1)－1 (2)0
一、素养落地
1.结合实例，利用函数图象抽象出函数奇偶性，提升直观想象素养和逻辑推理素养.
2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0).
3.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)f(x)为奇函数?f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y轴对称.
二、素养训练
1.函数f(x)＝－x的图象关于( )
A.y轴对称
B.直线y＝－x对称
C.坐标原点对称
D.直线y＝x对称
解析 ∵f(x)＝－x是奇函数，
∴f(x)＝－x的图象关于原点对称.
答案 C
2.下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A.y＝x3
B.y＝|x|＋1
C.y＝－x2＋1
D.y＝2x＋1
解析 排除法.偶函数只有B、C，而函数y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，函数y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数.故选B.
答案 B
3.已知函数f(x)是定义在区间[a－1，2a]上的奇函数，则实数a的值为________________.
解析 由题意知a－1＋2a＝0，得a＝.
答案
4.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.
答案 4
5.求证：函数f(x)＝x2＋的图象关于y轴对称.
证明 ∵函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故其图象关于y轴对称.
基础达标
一、选择题
1.下列函数中奇函数的个数为( )
①f(x)＝x3；②f(x)＝x5；
③f(x)＝x＋；④f(x)＝.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由定义知①②③都是奇函数，④是偶函数.
答案 C
2.若函数f(x)满足＝1，则f(x)的图象的对称轴是( )
A.x轴
B.y轴
C.直线y＝x
D.不能确定
解析 ＝1?f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，∴其图象的对称轴为y轴.
答案 B
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中不一定正确的是( )
A.f(－x)＋f(x)＝0
B.f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C.f(x)·f(－x)≤0
D.＝－1
解析 f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以A，B，C均正确.只有f(x)≠0时，才有＝－1，D不正确.
答案 D
4.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
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"W172.TIF"
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A.－2
B.2
C.1
D.0
解析 f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.
答案 A
5.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
解析 F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x).
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数.
答案 B
二、填空题
6.下列函数为偶函数的是________(只填序号).
①y＝x2(x≥0)；②y＝(x－1)；③y＝2；④y＝|x|(x≤0).
解析 对于①④，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；又②中，由得定义域为[－1，1)，不关于原点对称，故②也是非奇非偶函数；对于③，其定义域为R，且对?x∈R都满足f(－x)＝f(x)＝2，故③是偶函数.
答案 ③
7.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
解析 在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，
令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，
又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
∴f(1)＋g(1)＝1.
答案 1
8.已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为________.
解析 ∵f(－2)＝－f(2)＝3，
∴f(－2)＝(－2)2－2m＝3，
∴m＝.
答案
三、解答题
9.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x4－3x2；
(2)f(x)＝.
解 (1)f(x)＝x4－3x2的定义域是R，关于原点对称.
又f(－x)＝(－x)4－3(－x)2＝x4－3x2＝f(x)，
∴f(x)＝x4－3x2是偶函数.
(2)由得－1≤x＜0或0＜x≤1，
∴f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，
∴f(x)＝＝.
又f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数.
10.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，求证：g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)为奇函数.
证明 ∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，
∴b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx，其定义域为R，
又g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x).
∴g(x)为奇函数.
能力提升
11.函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________.
解析 设g(x)＝f(x)－5＝ax3＋bx＋.
显然，g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵g(－x)＝－ax3－bx－＝－g(x).
∴g(x)是奇函数，∴g(3)＝－g(－3)＝－[f(－3)－5]
＝－f(－3)＋5＝－2＋5＝3.
又g(3)＝f(3)－5＝3，∴f(3)＝8.
答案 8
12.定义在R上在奇函数f(x)
在
[0，＋∞)上的图象如图所示.
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(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
解 (1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图.
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2).
创新猜想
13.(多选题)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是( )
A.y＝x＋f(x)
B.y＝xf(x)
C.y＝x2＋f(x)
D.y＝x2f(x)
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x).
令y＝g(x).
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，
∴y＝x＋f(x)是奇函数.
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，
∴y＝xf(x)是偶函数.
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，
由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，
∴y＝x2＋f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，
∴y＝x2f(x)是奇函数.
答案 AD
14.(多空题)已知f(x)＝ax2＋bx＋2a－b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝________，单调递减区间是________.
解析 根据题意，f(x)＝ax2＋bx＋2a－b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，
则有(a－1)＋2a＝0，解得a＝，又f(x)＝ax2＋bx＋2a－b为二次函数，其对称轴为x＝－，若f(x)为偶函数，则必有x＝－＝0，则b＝0；所以f(x)＝＋，其递减区间为(－∞，0].
答案 (－∞，0]第二课时 函数的奇偶性(二)
课标要求
素养要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.
1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养.2.通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.
新知探究
被誉为“上海之鸟”浦东国际机场的设计是一个硕大无比展开双翅的海鸥，它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，一些函数的图象也有着如此美妙的对称性.
问题 这种对称性体现了函数的什么性质？
提示 函数的奇偶性.
奇函数、偶函数性质
(1)奇函数的图象关于原点对称，若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数.
偶函数的图象关于y轴对称，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数.
(2)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a
(3)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a拓展深化
[微判断]
1.若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(√)
2.若对f(x)定义域内任意的x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝对称.(√)
3.若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最大值－M.(×)
提示 奇函数的图象关于原点对称，在[a，b]上有最大值M，则在[－b，－a]上有最小值－M.
[微训练]
1.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A.f(3)B.f(－π)C.f(3)D.f(4)解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π<4，
∴f(3)即f(3)答案 C
2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，所以f(x)＝－x－1.
答案 －x－1
[微思考]
若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？
提示 不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.
题型一 利用奇偶性求解析式
角度1 求对称区间上的解析式
【例1－1】 (1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.
(2)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝________.
解析 (1)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).
(2)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
综上，f(x)的解析式为f(x)＝
答案 (1)x(x＋1) (2)
角度2 构造方程组求解析式
【例1－2】 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
规律方法 已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
【训练1】 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解 (1)设x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，
综上可知f(x)＝
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
题型二 奇偶性与单调性综合应用
角度1 比较大小
【例2－1】 (1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A.fB.f(2)C.f(2)D.f(－1)(2)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(－3)>f(－2)
B.f(π)>f(－2)>f(－3)
C.f(π)
D.f(π)解析 (1)∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2).
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，－2<－<－1.
∴f(2)(2)因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).
答案 (1)B (2)A
角度2 利用奇偶性、单调性解不等式
【例2－2】 (1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)(2)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)解 (1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数，
所以f(x)在[－3，3]上是减函数.
所以不等式f(1－m)解得－2≤m<，即m的取值范围为.
(2)∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，
∴g(1－m)≤g(m)?g(|1－m|)即m的取值范围为.
规律方法 1.比较大小的方法：
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
2.利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)【训练2】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数.若f(－3)＝0，则<0的解集为________.
(2)已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在区间[0，1)上为增函数.若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围.
(1)解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}.
答案 {x|－33}
(2)解 因为f(a－2)＋f(3－2a)<0，
所以f(a－2)<－f(3－2a)，
又因为f(x)是奇函数，所以f(a－2)又因为f(x)在区间[0，1)上为增函数，所以f(x)在区间(－1，1)上为增函数.
所以即解得1所以a的取值范围为(1，2).
题型三 奇偶性与对称性的应用
【例3】 若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A.f(1)B.fC.fD.f解析 ∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)，
故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3).
又f(x)在(0，2)上为增函数，∴f(x)在(2，4)上为减函数.
又2<<3<<4，∴f>f(3)>f，
即f答案 B
规律方法 (1)要证明函数f(x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x).
(2)要证明函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x
，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.
【训练3】 证明函数f(x)＝的图象关于点(－1，1)对称.
证明 函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).
任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∵f(－1＋x)＋f(－1－x)＝＋
＝＋＝2，
即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，
∴f(x)的图象关于点(－1，1)对称.
一、素养落地
1.结合图象的对称性，通过奇偶性的应用，提升逻辑推理素养、直观想象素养和数学抽象素养.
2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
4.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等核心是转化.
5.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.
二、素养训练
1.若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A.f(－3)>f(0)>f(1)
B.f(－3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(－3)
D.f(1)>f(－3)>f(0)
解析 ∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0).
答案 B
2.已知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A.f(x)＝－x(x＋2)
B.f(x)＝x(x－2)
C.f(x)＝－x(x－2)
D.f(x)＝x(x＋2)
解析 设x<0，则－x>0，则f(－x)＝x2＋2x＝－f(x)，
所以f(x)＝－x(x＋2)，故选A.
答案 A
3.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|).
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2).
又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以|x－1|<2，解得－2所以－1答案 (－1，3)
4.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为________.
解析 ∵f(x)是偶函数.∴f(－10)＝f(10).又在[0，＋∞)上单调递减，所以f(－10)＝f(10)答案 f(－10)5.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若
f(1－m)解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上是减函数，
所以f(x)在[－2，2]上是减函数.
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
基础达标
一、选择题
1.如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上是( )
A.增函数且最小值为－5
B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5
D.减函数且最大值为－5
解析 f(x)为奇函数，∴f(x)在[1，3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，又已知f(－1)＝5，∴f(1)＝－5.
答案 A
2.若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f，c＝f的大小关系是( )
A.b＜a＜c
B.b＜c＜a
C.a＜c＜b
D.c＜a＜b
解析 由f(x)为偶函数，得a＝f(－)＝f().
又∵＜＜，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f()＜f＜f，即a＜c＜b.
答案 C
3.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.
B.
C.
D.
解析 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)答案 A
4.已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A.[－2，2]
B.[－1，1]
C.[0，4]
D.[1，3]
解析 ∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.
∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.
答案 D
5.已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，若f(3)＝1，则不等式f(2x＋1)<1的解集为( )
A.(－1，1)
B.(－1，＋∞)
C.(－∞，1)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 ∵f(x＋1)是偶函数，∴f(1－x)＝f(1＋x)，
故y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又∵f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减.∴f(3)＝1，∴f(－1)＝f(3)＝1，∴f(2x＋1)<1?－1<2x＋1<3，解得－1答案 A
二、填空题
6.如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
解析 设x<0，∴－x>0，∴F(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3.又∵F(x)为奇函数，
∴F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.
答案 2x＋3
7.已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)解析 由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)答案 (－∞，1)
8.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________.
解析 ∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)答案 f(－2)三、解答题
9.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
解 (1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝
(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是[－1，0)，(0，1].
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MERGEFORMAT
10.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.
(1)求b值；
(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
解 (1)因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，
所以f(0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意).
(2)因为函数f(x)在[0，2]上单调递增，又f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2，2]上是增函数，
因为f(m)＋f(m－1)>0，
所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，
所以m－1>－m，①
又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域范围内有意义.所以②
解①②得能力提升
11.已知函数f(x)在定义域[2－a，3]上既是奇函数又是减函数，若f(1－m)＋f(1－m2)<0，则实数m的取值范围是________.
解析 ∵f(x)是定义在[2－a，3]上的奇函数，∴2－a＝－3，即a＝5，
∴函数f(x)的定义域为[－3，3].
由f(1－m)＋f(1－m2)<0，得f(1－m)<－f(1－m2).
又∵f(x)是奇函数，∴f(1－m)由f(x)在[－3，3]上是减函数，得解得－2答案 (－2，1)
12.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
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MERGEFORMAT
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间；
(3)求当f(x)＝1时的x值.
解 (1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；当x<0时，－x>0，
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.综上，f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示.
单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，
单调递减区间为(－1，1).
(3)当x>0时，x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－，
因为x>0，所以x＝1＋，
当x<0时，－x2－2x＝1，解得x＝－1(满足条件).
综上所述，x＝1＋或x＝－1.
创新猜想
13.(多选题)已知函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，且在[0，5]上是单调函数，若f(－4)A.f(－1)B.f(2)C.f(－3)D.f(0)>f(1)
解析 由题意可得，函数f(x)在[－5，0]上也是单调函数，再根据f(－4)f(1)成立.
答案 ABC
14.(多选题)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有( )
A.f(a)>f(－b)
B.g(a)>g(－b)
C.g(－a)D.g(－a)>f(－a)
解析 f(x)为R上的奇函数，且为增函数，且a>b>0，
∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，
又－a<－b<0，∴f(－a)∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)＝0，
∴A正确，x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，
∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴B正确，C错误.
又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴D正确.
答案 ABD(共32张PPT)
5.4 函数的奇偶性
第一课时 函数的奇偶性(一)
课标要求
素养要求
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.
通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
新知探究
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物……
问题 (1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？
(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
提示 (1)整个图形对称.
(2)建筑物是轴对称图形，六角形的雪花晶体既是轴对称图形，又是中心对称图形.
偶函数与奇函数
(1)定义：设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意x∈A，都有－x∈A，并且____________，那么称函数y＝f(x)是偶函数；
如果对于任意x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数.
(2)偶函数的图象关于______对称，奇函数的图象关于______对称.
f(－x)＝f(x)
－f(x)
y轴
原点
拓展深化
[微判断]
1.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(
)
提示 反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.
2.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(
)
提示 存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.
3.若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(
)
提示 函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数.
4.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(
)
×
×
×
√
[微训练]
1.下列函数是偶函数的是( )
解析 利用偶函数的定义，定义域关于原点对称，满足f(－x)＝f(x).故选B.
答案 B
解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴f(x)为奇函数.∴其图象关于原点对称.
答案 原点
[微思考]
1.如果函数f(x)具有奇偶性，那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗？
提示 定义域一定关于原点对称.由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内(若－x不在定义域内，则f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.
2.对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若f(x)为偶函数，需满足什么条件？
(2)若f(x)为奇函数，需满足什么条件？
提示 (1)b＝0 (2)a＝c＝0
题型一 函数奇偶性判断
角度1 一般函数奇偶性的判断
【例1－1】 判断下列函数的奇偶性：
解 (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
解 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
规律方法 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
分段函数奇偶性的判断，要分别从关于原点对称的区间上来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有奇偶性.
【训练1】 判断下列函数的奇偶性：
解 (1)函数的定义域为R.又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数.
题型二 奇、偶函数的图象特征
(1)已知f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据；
(2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
即f(x)＋g(x)＝1(x≠0).
规律方法 (1)先判断函数的奇偶性；
(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
【训练2】 (1)如图给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值为( )
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为( )
A.(2，5)
B.(－5，－2)∪(2，5)
C.(－2，0)
D.(－2，0)∪(2，5)
(2)因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0，5]上的图象，知它在[－5，0]上的图象，如图所示，由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
答案 (1)B (2)D
题型三 由奇偶性求参数值
【例3】 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，
得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又x∈R使其恒成立，故a＝0.
规律方法 利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解.
解析 (1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
答案 (1)－1 (2)0
一、素养落地
二、素养训练
A.y轴对称
B.直线y＝－x对称
C.坐标原点对称
D.直线y＝x对称
答案 C
2.下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A.y＝x3
B.y＝|x|＋1
C.y＝－x2＋1
D.y＝2x＋1
解析 排除法.偶函数只有B、C，而函数y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，函数y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数.故选B.
答案 B
3.已知函数f(x)是定义在区间[a－1，2a]上的奇函数，则实数a的值为________________.
4.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.
答案 4
证明 ∵函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴f(x)为偶函数，故其图象关于y轴对称.(共35张PPT)
第二课时 函数的奇偶性(二)
课标要求
素养要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.
1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养.
2.通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.
新知探究
被誉为“上海之鸟”浦东国际机场的设计是一个硕大无比展开双翅的海鸥，它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，一些函数的图象也有着如此美妙的对称性.
问题 这种对称性体现了函数的什么性质？
提示 函数的奇偶性.
奇函数、偶函数性质
(1)奇函数的图象关于______对称，若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数.
偶函数的图象关于______对称，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数.
(2)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性______.
(3)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性______.
原点
y轴
增函数
相同
减函数
相反
拓展深化
[微判断]
1.若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(
)
3.若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最大值－M.(
)
提示 奇函数的图象关于原点对称，在[a，b]上有最大值M，则在[－b，－a]上有最小值－M.
√
√
×
[微训练]
1.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A.f(3)B.f(－π)C.f(3)D.f(4)解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π<4，
∴f(3)答案 C
2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
解析 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，所以f(x)＝－x－1.
答案 －x－1
[微思考]
若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？
提示 不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.
题型一 利用奇偶性求解析式
角度1 求对称区间上的解析式
【例1－1】 (1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.
(2)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝________.
解析 (1)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).
(2)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
用－x代替x，
规律方法 已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
【训练1】 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解 (1)设x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
题型二 奇偶性与单调性综合应用
角度1 比较大小
【例2－1】 (1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
(2)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(－3)>f(－2)
B.f(π)>f(－2)>f(－3)
C.f(π)
D.f(π)解析 (1)∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2).
(2)因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).
答案 (1)B (2)A
角度2 利用奇偶性、单调性解不等式
【例2－2】 (1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)(2)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)解 (1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数，
所以f(x)在[－3，3]上是减函数.
(2)∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，
规律方法 1.比较大小的方法：
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
2.利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在区间[0，1)上为增函数.若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围.
(1)解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3故所求解集为{x|－33}.
答案 {x|－33}
(2)解 因为f(a－2)＋f(3－2a)<0，
所以f(a－2)<－f(3－2a)，
又因为f(x)是奇函数，所以f(a－2)又因为f(x)在区间[0，1)上为增函数，所以f(x)在区间(－1，1)上为增函数.
题型三 奇偶性与对称性的应用
【例3】 若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是( )
解析 ∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)，
故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3).
又f(x)在(0，2)上为增函数，∴f(x)在(2，4)上为减函数.
答案 B
规律方法 (1)要证明函数f(x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x).
(2)要证明函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x
，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.
证明 函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).
任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，
∴f(x)的图象关于点(－1，1)对称.
一、素养落地
1.结合图象的对称性，通过奇偶性的应用，提升逻辑推理素养、直观想象素养和数学抽象素养.
2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
4.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等核心是转化.
5.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.
二、素养训练
1.若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A.f(－3)>f(0)>f(1)
B.f(－3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(－3)
D.f(1)>f(－3)>f(0)
解析 ∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0).
答案 B
2.已知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)的解析式是( )
A.f(x)＝－x(x＋2)
B.f(x)＝x(x－2)
C.f(x)＝－x(x－2)
D.f(x)＝x(x＋2)
解析 设x<0，则－x>0，则f(－x)＝x2＋2x＝－f(x)，
所以f(x)＝－x(x＋2)，故选A.
答案 A
3.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|).
又因为f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2).
又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以|x－1|<2，解得－2所以－1答案 (－1，3)
4.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为________.
解析 ∵f(x)是偶函数.∴f(－10)＝f(10).又在[0，＋∞)上单调递减，所以f(－10)＝f(10)答案 f(－10)5.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若
f(1－m)解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上是减函数，
所以f(x)在[－2，2]上是减函数.