章末检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2
019的否定是( )
A.?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2
019
B.?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2
019
C.?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2
019
D.以上都不对
答案 C
2.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵a≤b≤c，∴a2＋b2＝c2?△ABC为直角三角形，故选C.
答案 C
3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵a＝3?A?B，而A?Ba＝3，∴“a＝3”是“A?B的充分不必要条件”.
答案 B
4.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 令x＝1，y＝－2，满足x>y，但不满足x>|y|；由x>|y|得－x
y成立，故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
答案 C
5.下列命题中的假命题是( )
A.?x∈R，|x|＋1>0
B.?x∈N＋，(x－1)2>0
C.?x∈R，|x|<1
D.?x∈R，＋1＝2
解析 A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题.
答案 B
6.“命题?x∈R，使x2＋ax－4a<0为假命题”是“－16≤a≤0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 依题意得“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”是真命题，故Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选C.
答案 C
7.命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.{a|a<1}
B.{a|a≤1}
C.{a|a>1}
D.{a|a≥1}
解析 因为綈p是假命题，所以p为真命题，即方程ax2＋2x＋1＝0有实数根.
当a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－，满足条件.当a≠0时，若使方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a≥0，即a≤1且a≠0.综上知a≤1.
答案 B
8.在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙
B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲
D.甲、丙、乙
解析 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：
(1)若乙预测正确，则丙预测也正确，不合题意；
(2)若丙预测正确，甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测又正确，与假设矛盾；
(3)若甲预测正确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意，故选A.
答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.对任意实数a，b，c，下列命题中的假命题是( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析 a＝b?a－b＝0?(a－b)c＝0?ac＝bc，∴ac＝bc是a＝b的必要条件.
答案 ACD
10.下列命题的否定中是全称量词命题且为真命题的有( )
A.?x∈R，x2－x＋<0
B.所有的正方形都是矩形
C.?x∈R，x2＋2x＋2≤0
D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0
解析 命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题.又D为真命题，故选AC.
答案 AC
11.设全集为U，在下列选项中是B?A的充要条件的有( )
A.A∪B＝A
B.(
?UA)∩B＝?
C.(
?UA)?(
?UB)
D.A∪(?UB)＝U
解析 由Venn图可知，A，B，C，D都是充要条件，故选ABCD.
答案 ABCD
12.不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为( )
A.[－4，－1]
B.[1，4]
C.[－4，－1]∪[1，4]
D.[－4，4]
解析 由不等式1≤|x|≤4，解得－4≤x≤－1，或1≤x≤4.∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B.故选AB.
答案 AB
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________(本题第一空2分，第二空3分).
(1)每一个矩形的对角线都互相平分；(2)有些集合无真子集；(3)能被8整除的数也能被2整除.
解析 (1)中含有全称量词“每一个”，(3)中陈述的是所有满足条件的数，所以(1)(3)是全称量词命题；(2)中含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题.
答案 (1)(3) (2)
14.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_____________________.
解析 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.
答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
15.已知命题p：?x∈R，x2－2x＋m＝0，若綈p为假命题，则实数m的取值范围为________.
解析 因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，x2－2x＋m＝0为真命题，则方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＝4－4m≥0，即m≤1.故实数m的取值范围为{m|m≤1}.
答案 {m|m≤1}
16.线段y＝－3x＋m，x∈[－1，1]在x轴下方的一个充分不必要条件是________.
解析 结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，
需
∴∴m<－3.
∴m<－4就是一个使命题成立的充分不必要条件.
答案 m∈(－∞，－4)(答案不唯一)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin
∠A＝cos
∠B.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
18.(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性.
(1)?x∈Z，|x|∈N；
(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；
(3)?x∈R，x＋1≤0；
(4)?x∈R，x2＋2x＋3＝0.
解 (1)?x∈Z，|x|?N，假命题.
(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题.
(3)?x∈R，x＋1>0，假命题.
(4)?x∈R，x2＋2x＋3≠0，真命题.
19.(本小题满分12分)已知命题p：?1≤x≤3，都有m≥x，命题q：?1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围.
解 由题意知命题p，q都是真命题.
由?1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由?1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.
20.(本小题满分12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－证明 (1)充分性：∵－∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，
且－3m>0，
∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根.
(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，
则有解得－综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－21.(本小题满分12分)若p：－2解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.
若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，
且0于是0<－a<2，0即－2所以p是q的必要不充分条件.
22.(本小题满分12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}.
(1)若a＝3，求(?RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，
?RP＝{x|x<4或x>7}，
Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以(?RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}.
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即P?Q，
即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}.章末检测卷(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.等于( )
A.3
B.－3
C.±3
D.－27
解析 ＝＝－3.
答案 B
2.若＋有意义，则a的取值范围是( )
A.a≥0
B.a≥1
C.a≥2
D.a∈R
解析 ∵∴a≥1.
答案 B
3.方程2log3x＝的解是( )
A.x＝
B.x＝
C.x＝
D.x＝9
解析 ∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
答案 A
4.化简(x<0，y<0)为( )
A.2x2y
B.2xy
C.4x2y
D.－2x2y
解析 ＝|2x2y|＝－2x2y.
答案 D
5.lg－2lg＋lg＝( )
A.lg
2
B.lg
3
C.lg
4
D.lg
5
解析 原式＝lg－lg＝lg＝lg
2.
答案 A
6.若a>0，a＝，则loga＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为a＝，a>0，所以a＝＝，设loga＝x，所以＝a.所以x＝3.
答案 B
7.计算：＋3log3－lg
5＋，其结果是( )
A.－1
B.1
C.－3
D.3
解析 原式＝＋－lg
5＋＝＋－lg
5＋1－lg
2＝1.
答案 B
8.设a＝log36，b＝log520，则log215＝( )
A.
B.
C.
D.
解析 a＝log36＝1＋log32，b＝log520＝1＋log54＝1＋2log52，
∴log23＝，log25＝，
∴log215＝log23＋log25＝＋＝.
答案 D
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.下列说法不正确的为( )
A.＝a
B.若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
C.＝x＋y
D.＝
解析 A中，n为偶数时，不一定成立，故错误.B中，a2－a＋1＝＋>0，
∴(a2－a＋1)0＝1，正确.C错误.D中，左侧为负，右侧为正，不相等.
答案 ACD
10.下列运算错误的是( )
A.2log10＋log0.25＝2
B.log427·log258·log95＝
C.lg
2＋lg
50＝10
D.log(2＋)(2－)－(log2)2＝－
解析 A中，原式＝log102＋log0.25＝log25＝－2，故A错误.
B中，原式＝··＝××＝，故B错误.
C中，lg
2＋lg
50＝lg
100＝2.故C错误.
D中，原式＝log(2＋)－
＝－1－＝－.
答案 ABC
11.若ab>0，则下列等式中不正确的是( )
A.lg(ab)＝lg
a＋lg
b
B.lg＝lg
a－lg
b
C.lg＝lg
D.lg(ab)＝
解析 A，B成立的条件是a>0，b>0.D成立的前提是ab≠1.C成立.
答案 ABD
12.已知a>0，且a≠1，下列说法不正确的是( )
A.若M＝N，则logaM＝logaN
B.若logaM＝logaN，则M＝N
C.若logaM2＝logaN2，则M＝N
D.若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析 A中，当M＝N<0时无意义；B正确；C中可得M2＝N2，可能M＝－N；D中，当M＝N＝0时，不成立.
答案 ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
解析 原式＝
＝＝.
答案
14.已知2x＝10，则x－log25＝________.
解析 x＝log210，∴x－log25＝log2＝1.
答案 1
15.[(－5)4]＝________，log43·log＝________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 [(－5)4]＝5，log43·log＝·＝·＝.
答案 5
16.＝________(a>0，b>0).
解析 原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1＝.
答案
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)()－(b>0).
解 (1)原式＝＝＝＝a.
(2)原式＝＝＝＝＝＝x－.
(3)原式＝[(b－)]－＝b－××(－)＝b.
18.(本小题满分12分)(1)求值：－(－9.6)0－＋(1.5)－2＋[(－5)4]；
(2)已知a＋a－＝3，求a＋a－的值.
解 (1)原式＝－1－＋＋5
＝－1－＋＋5＝.
(2)由a＋a－＝3，得a＋a－1＝－2＝7，故a＋a－＝＋(a－)3＝(a＋a－)(a－1＋a－1)＝3×(7－1)＝18.
19.(本小题满分12分)计算下列各式的值：
(1)；
(2)log3
·log5[4log210－(3)－7log72].
解 (1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72]
＝·log5(10－3－2)
＝·log55＝－.
20.(本小题满分12分)计算：
(1)÷100；
(2)(log43)×；
(3)log2.56.25＋lg
0.01＋ln－21＋log23.
解 (1)原式＝＝＝＝.
(2)原式＝×＝×＝×＝.
(3)原式＝log2.52.52＋lg
10－2＋ln
e－2×2log23＝2＋(－2)＋－6＝－.
21.(本小题满分12分)计算：
(1)－＋＋；
(2)lg
500＋lg－lg
64＋50×(lg
2＋lg
5)2.
解 (1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
(2)原式＝lg
5＋lg
102＋lg
23－lg
5－lg
26＋50×(lg
10)2＝lg
5＋2＋3lg
2－lg
5－3lg
2＋50＝52.
22.(本小题满分12分)若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值.
解 原方程可变形为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0，设t＝lg
x，则方程变形为2t2－4t＋1＝0，设t1，t2是方程2t2－4t＋1＝0的两个实根，
则t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，
不妨令t1＝lg
a，t2＝lg
b，则lg
a＋lg
b＝2，
lg
a·lg
b＝，
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12.章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.函数的概念
函数有三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数.
2.函数的三种表示方法及其优缺点
(1)解析法、列表法、图象法均是函数的表示方法，解析法是从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系；图象法从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系；列表法可根据表格，由自变量x的取值查到和它对应的唯一的函数值y.
(2)三种表示方法各有优缺点，并不是所有的函数都能用解析法表示，解题时要根据需要选择适当的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的定义.
3.函数的单调性
(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键.
(2)函数单调性的证明
根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：
①取值：任取x1，x2∈D，且x10；
②作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)，向有利于判断差的符号的方向变形；
③判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
④下结论：根据定义得出结论.
(3)证明函数单调性的等价变形：(1)f(x)是单调增函数?任意x10?[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0；(2)f(x)是单调减函数?任意x1f(x2)?<0?[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0.
4.函数的奇偶性
对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)
→
性质：①函数y＝f(x)是偶函数?y＝f(x)的图象关于y轴对称.
②函数y＝f(x)是奇函数?y＝f(x)的图象关于原点对称.
③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反.
④奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义时，必有y＝f(x)的图象过原点，即f(0)＝0.
要点一 求函数的定义域
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.
注意：a.f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；
b.定义域是指x的范围.
【例1】 (1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为( )
A.
B.
C.
D.∪
(2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(1－3x)的定义域为( )
A.
B.
C.[0，1]
D.
解析 (1)由题意知解得x<1且x≠，即f(x)的定义域是∪.
(2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则x－1∈[－2，1]，即f(x)的定义域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0，1].
答案 (1)D (2)C
【训练1】 已知函数f(x)的定义域是[0，2]，求g(x)＝f＋f的定义域.
解 ∵f(x)的定义域是[0，2]，
且g(x)＝f＋f，
∴则
∴≤x≤，
∴g(x)的定义域为.
要点二 分段函数
分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式.主要考查与分段函数有关的求值，求参数，判断单调性，奇偶性和解不等式等问题.
1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验.
【例2】 已知函数f(x)＝
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)求f(f(1))；
(3)解不等式f(x＋1)>.
解 (1)f(x)的定义域为
(0，1)∪[1，2)∪＝.
易知f(x)在(0，1)上为增函数，∴0f(x)在上为减函数，∴0∴值域为.
(2)f(1)＝－＝.
f(f(1))＝f＝×＝.
(3)f(x＋1)>等价于①
或②或③
解①得－∴f(x＋1)>的解集为∪[0，1)＝.
【训练2】 (1)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A.2
B.4
C.6
D.8
(2)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________.
解析 (1)当x≥1时，f(x)＝2(x－1)是增函数可知，若a≥1，则f(a)≠f(a＋1)，所以0由f(a)＝f(a＋1)得＝2(a＋1－1)，解得a＝，
则f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
(2)f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－.
当x≤1时，f(x)min＝0；当x>1时，f(x)＝x＋－6≥2－6，当且仅当x＝，即x＝时取等号，
∴f(x)的最小值为2－6.
综上，f(x)的最小值是2－6.
答案 (1)C (2)－ 2－6
要点三 函数的图象及应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能直接判断函数的单调性，奇偶性等性质，还可以比较大小，求最值等，同样，由函数的性质也能准确的画出函数图象.
【例3】 对任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的最大者，求f(x)的最小值.
解 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象，如图所示，得到三个交点A(0，3)，B(1，2)，C(5，8).
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观察图象可得函数f(x)的表达式为
f(x)＝
因为图象的最低点是B(1，2)，所以函数f(x)的最小值是2.
【训练3】 已知函数f(x)＝x|x－m|(x∈R)，且f(1)＝0.
(1)求m的值，并用分段函数的形式来表示f(x)；
(2)如图所示，在给定的平面直角坐标系内作出函数f(x)的草图(不用列表、描点)；
(3)由图象指出函数f(x)的单调区间.
解 (1)由题意得f(1)＝|1－m|＝0，解得m＝1，
∴f(x)＝x|x－1|
＝
(2)由(1)中的解析式画出函数的图象如图所示.
(3)结合图象可得函数的单调递增区间为和[1，＋∞)，单调递减区间为.
要点四 函数性质的综合应用
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性方面解决.
函数的单调性是函数的重要性质，对于某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化到自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、研究方程根等方面应用非常广泛.而奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇、偶函数的对称性可缩小研究的范围，使求解的问题避免进行复杂的讨论.
【例4】
已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值.
解 (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.
因此，实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
∵－2≤x11，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，
∴f(x)max＝f(－1)＝－，
f(x)min＝f(－2)＝－.
【训练4】 已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1故实数a的取值范围是(1，3].
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MERGEFORMAT章末检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.>
B.>1
C.a2D.ab解析 利用特值法，令a＝－2，b＝2.
则<，A错误；<0，B错误；
a2＝b2，C错误；ab答案 D
2.不等式<的解集是( )
A.{x|x<2}
B.{x|x>2}
C.{x|0D.{x|x<0或x>2}
解析 由<，得－＝<0，
即x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D.
答案 D
3.如果二次函数y＝x2－(k＋1)x＋k＋4有两个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A.(－∞，－3)∪(5，＋∞)
B.(－∞，－5)∪(3，＋∞)
C.(－3，5)
D.(－5，3)
解析 由Δ＝(k＋1)2－4(k＋4)>0得k2－2k－15>0，
∴k>5或k<－3.
答案 A
4.已知a>0，b>0，且满足＋＝1，则ab的最大值是( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析 因为a>0，b>0，且满足＋＝1，
所以1≥2，化为ab≤3，当且仅当a＝，b＝2时取等号，则ab的最大值是3.
答案 B
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.aB.v＝
C.D.v＝
解析 设甲、乙两地的距离为s，
则v＝＝.
由于aa，
又＋>2，∴v<.
故a答案 A
6.已知a>0，b>0，＋＝1，若不等式2a＋b≥3m恒成立，则m的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.7
解析 ∵2a＋b＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9(当且仅当a＝b时，取等号).∴3m≤9，即m≤3.
答案 C
7.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A.m>
B.m<
C.m<1
D.m>1
解析 ∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，
又∵m>?Δ＝1－4m<0，
所以“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件，故选A.
答案 A
8.设实数1A.{x|3aB.{x|a2＋2C.{x|3D.{x|3解析 由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)·(x－a2－2)<0，∵1a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为{x|a2＋2答案 B
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.若<<0，则下列不等式中，正确的不等式有( )
A.a＋bB.|a|>|b|
C.aD.＋>2
解析 ∵<<0，∴b－a>0，则|b|>|a|，故B错误；C显然错误；由于>0，>0，∴＋>2＝2，故D正确.故选AD.
答案 AD
10.已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则( )
A.a＝2
B.a＝1
C.b＝5
D.b＝1
解析 y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y≥2－5＝2×3－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
此时a＝2，b＝1.
答案 AD
11.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是( )
A.ab≤1
B.＋≤
C.a2＋b2≥2
D.＋≥2
解析 因为ab≤＝1，所以A正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故B不正确；a2＋b2≥＝2，所以C正确；＋＝＝≥2，所以D正确.
答案 ACD
12.下列命题是假命题的是( )
A.不等式>1的解集为{x|x<1}
B.函数y＝x2－2x－8的零点是(－2，0)和(4，0)
C.若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2
D.x2－3x＋2<0是x<2成立的充分不必要条件
解析 由>1得<0，∴解集为(0，1)，故A错误；二次函数的零点是指其图象与x轴交点的横坐标，应为－2和4，故B错误；C
中，≥2，故y＝＋≥2.等号成立的条件为x2＋4＝1，无解，故C错误；D中，由x2－3x＋2<0得1答案 ABC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________.
解析 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.
答案 (－∞，1]∪[9，＋∞)
14.已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，则实数m的取值范围是________.
解析 要满足y＝x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，
只需即
解得－答案
15.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨，和最小值为________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则y＝·4＋4x＝＋4x≥2＝160(万元)，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.
答案 20 160
16.若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是________.
解析 依题意有
解得m>4.
答案 (4，＋∞)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)当x>3时，求的最小值.
解 ∵x>3，∴x－3>0.
∴＝
＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝，
即x＝6时，等号成立，
∴的最小值为24.
18.(本小题满分12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解 (1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴
解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，
即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式的解集为R，
则b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
19.(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解 (1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，
则解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，原不等式的解集为{x|2②当c<2时，原不等式的解集为{x|c③当c＝2时，原不等式无解.
综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2当c<2时，原不等式的解集为{x|c当c＝2时，原不等式的解集为?.
20.(本小题满分12分)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2
000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
解 (1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1
000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
(2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x>25时，a≥＋＋有解.
由于＋≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立.
所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
21.(本小题满分12分)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立.
证明 因为a，b，c均为正数，
所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋
≥ab＋bc＋ac＋＋＋＝＋＋≥6.③
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，
当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立.故当且仅当a＝b＝c＝时，原不等式等号成立.
所以原不等式成立.
22.(本小题满分12分)已知不等式>0(a∈R).
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若当x＝－a时不等式成立，求a的取值范围.
解 (1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1.
②当a>0时，不等式可化为
(x＋1)>0，
解得x<－1或x>.
③当a<0时，不等式可化为(x＋1)<0.
若<－1，即－1则若＝－1，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若>－1，即a<－1，则－1综上所述，当a<－1时，
不等式的解集为；
当a＝－1时，不等式解集为?；
当－1当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；
当a>0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪.
(2)∵当x＝－a时不等式成立，
∴>0，
即－a＋1<0，
∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).章末检测卷(五)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)＝＋的定义域是( )
A.[－1，＋∞)
B.(－∞，0)∪(0，＋∞)
C.[－1，0)∪(0，＋∞)
D.R
解析 解得－1≤x<0或x>0，区间表示为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选C.
答案 C
2.下列函数中与函数y＝x(x≥0)有相同图象的一个是( )
A.y＝
B.y＝()2
C.y＝
D.y＝
解析 y＝＝|x|，x∈R；y＝()2＝x，x≥0；y＝＝x，x∈R；y＝＝，x>0，所以选B.
答案 B
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
A.(－3，－1)∪(1，4)
B.(－5，－3)∪(－1，1)
C.(－3，－1)，(1，4)
D.(－5，－3)，(－1，1)
解析 在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4).
答案 C
4.已知函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，则y＝f(x)的单调增区间是( )
A.(－1，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.(2，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以对称轴为直线x＝＝0，解得m＝0.所以f(x)＝x2＋1，所以y＝f(x)的单调增区间是(0，＋∞).
答案 B
5.已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A.x＋1
B.2x－1
C.－x＋1
D.x＋1或－x－1
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝x＋2，
∴∴故选A.
答案 A
6.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A.[－4，0)
B.(－∞，－2]
C.[－4，－2]
D.(－∞，0)
解析 ∵f(x)在R上为增函数，
∴需满足
即－4≤a≤－2，故选C.
答案 C
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝x2＋2x，若f(3－2a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－∞，1)
C.(－1，＋∞)
D.(1，＋∞)
解析 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x是增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以由f(3－2a)>f(a)得3－2a>a，解得a<1.
答案 B
8.二次函数f(x)＝ax2＋2a(a≠0)是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为( )
A.gB.g(0)C.gD.g(3)解析 由题意得解得a＝1，
所以f(x)＝x2＋2，
所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以g(0)＝g(2).
又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以g所以g答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9.下列说法中正确的有( )
A.若x1，x2∈I，对任意的x1B.函数y＝x2在R上是减函数
C.函数y＝－在定义域上是增函数
D.y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
解析 对于B，在(－∞，0]上是减函数；对于C，在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f(－3)>f(5)，故不正确.
答案 AD
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最大值为
B.f(x)在(－1，0)上是增函数
C.f(x)>0的解集为(－1，1)
D.f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]
解析 x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋，
∴f(x)的最大值为，A正确；f(x)在上是减函数，B错误；f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，x<0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确.故选AD.
答案 AD
11.已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](aA.有最大值4
B.有最小值－4
C.有最大值3
D.有最小值－3
解析 法一 根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，故选BC.
法二 当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，∴－4≤f(x)≤3，
即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，
故选BC.
答案 BC
12.已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A.(－∞，－1)
B.(－3，－1)
C.(0，1)
D.(1，3)
解析 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，
所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1
＝
且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，
所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1).故选BC.
答案 BC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.
解析 设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，
则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，
于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，
所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
答案 －10
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2，则函数f(x)＝________，f(－4)＝________(本题第一空3分，第二空2分).
解析 令x<0，则－x>0，∵x>0时，f(x)＝x2＋2，
∴f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2，
又f(x)为定义在R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2.
当x＝0时，f(x)＝0.
∴f(x)＝
∴f(－4)＝－(－4)2－2＝－18.
答案 －18
15.函数y＝f(x)在(－2，2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________.
解析 由题意知解得答案
16.已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________.
解析 当x>1时，f(x)＝x2是增函数，若f(x)是R上的增函数，则f(x)＝x－1在(－∞，1]上是增函数，且满足×1－1≤12，因此解得4≤a<8.
答案 [4，8)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)求f(－1)，f，f(4)的值；
(2)求函数的定义域、值域.
解 (1)易知f(－1)＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3.
(2)作出图象如图所示.利用数形结合易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}.
18.(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值.
解 (1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，
由于f(f(x))＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，
故解得故f(x)＝－3x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，
故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，
当－1当a>5时，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1，
综上，ymax＝
19.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝
(1)若F(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.
解 (1)由已知可知：
解得
则F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，则g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
则g(x)的对称轴为x＝.
由于g(x)在[－2，2]上是单调函数，
故≤－2或≥2，即k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
设任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1，x2∈[1，＋∞)，x11，2x1x2－1>0，x1－x2<0，
所以<0，即f(x1)即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为
f(1)＝1＋＋2＝.
(2)因为f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).
21.(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)如图已画出函数y＝f(x)在y轴左侧的图象，请补充完整函数y＝f(x)的图象，并根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；
(2)写出函数y＝f(x)的解析式和值域；
(3)若函数y＝f(x)在[a，b](a解 (1)根据偶函数图象关于y轴对称的特点，可知函数y＝f(x)的图象如图所示.
由图象可知函数的单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞).
(2)设x>0，则－x<0，f(－x)＝x2－2x.
∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)＝x2－2x，
∴f(x)＝值域为{y|y≥－1}.
(3)若f(x)＝3，则x＝－3或x＝3.
又f(－1)＝f(1)＝－1，
结合图象可知，当a＝－3，－1≤b≤3时，
函数值域为[－1，3].此时2≤b－a≤6.
当b＝3，－3≤a≤1时，函数值域为[－1，3].
此时，2≤b－a≤6，综上2≤b－a≤6.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解 (1)由题意，得
∴(经检验符合题意)，故f(x)＝.
(2)任取x1，x2∈(－1，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq
\f(x1,1＋x)－eq
\f(x2,1＋x)
＝eq
\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（1＋x）（1＋x）).∵－1∴x1－x2<0，1＋x>0，1＋x>0.
又－10.
∴eq
\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（1＋x）（1＋x）)<0，即f(x1)∴f(x)在(－1，1)上是增函数.
(3)由(2)知f(x)在(－1，1)上是增函数，又f(x)在(－1，1)上为奇函数，∴f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，
∴解得0∴不等式的解集为{t|0章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.函数的概念
函数有三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数.
2.函数的三种表示方法及其优缺点
(1)解析法、列表法、图象法均是函数的表示方法，解析法是从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系；图象法从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系；列表法可根据表格，由自变量x的取值查到和它对应的唯一的函数值y.
(2)三种表示方法各有优缺点，并不是所有的函数都能用解析法表示，解题时要根据需要选择适当的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的定义.
3.函数的单调性
(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键.
(2)函数单调性的证明
根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：
①取值：任取x1，x2∈D，且x10；
②作差变形：Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)，向有利于判断差的符号的方向变形；
③判断符号：确定Δy的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
④下结论：根据定义得出结论.
4.函数的奇偶性
性质：①函数y＝f(x)是偶函数?y＝f(x)的图象关于y轴对称.
②函数y＝f(x)是奇函数?y＝f(x)的图象关于原点对称.
③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反.
④奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义时，必有y＝f(x)的图象过原点，即f(0)＝0.
要点一 求函数的定义域
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.
注意：a.f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；
b.定义域是指x的范围.
(2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则x－1∈[－2，1]，即f(x)的定义域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0，1].
答案 (1)D (2)C
解 ∵f(x)的定义域是[0，2]，
要点二 分段函数
分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式.主要考查与分段函数有关的求值，求参数，判断单调性，奇偶性和解不等式等问题.
1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验.
A.2
B.4
C.6
D.8
解析 (1)当x≥1时，f(x)＝2(x－1)是增函数可知，若a≥1，则f(a)≠f(a＋1)，所以0要点三 函数的图象及应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能直接判断函数的单调性，奇偶性等性质，还可以比较大小，求最值等，同样，由函数的性质也能准确的画出函数图象.
解 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象，如图所示，得到三个交点A(0，3)，B(1，2)，C(5，8).
因为图象的最低点是B(1，2)，所以函数f(x)的最小值是2.
【训练3】 已知函数f(x)＝x|x－m|(x∈R)，且f(1)＝0.
(1)求m的值，并用分段函数的形式来表示f(x)；
(2)如图所示，在给定的平面直角坐标系内作出函数f(x)的草图(不用列表、描点)；
(3)由图象指出函数f(x)的单调区间.
解 (1)由题意得f(1)＝|1－m|＝0，解得m＝1，
(2)由(1)中的解析式画出函数的图象如图所示.
要点四 函数性质的综合应用
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性方面解决.
函数的单调性是函数的重要性质，对于某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化到自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、研究方程根等方面应用非常广泛.而奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇、偶函数的对称性可缩小研究的范围，使求解的问题避免进行复杂的讨论.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值.
解 (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
比较得n＝－n，n＝0.
因此，实数m和n的值分别是2和0.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1∵－2≤x11，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
所以1故实数a的取值范围是(1，3].