5.2 函数的表示方法
课标要求
素养要求
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.4.会求函数的解析式.
1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，发展学生的数学抽象素养.2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.
新知探究
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1
318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式.
INCLUDEPICTURE"B28.TIF"
INCLUDEPICTURE
"B28.TIF"
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MERGEFORMAT
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题 根据初中所学知识，请判断问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
提示 解析法、图象法和列表法.
1.函数三种表示方法
表示方法
定义
优点
列表法
用列表来表示两个变量之间函数关系
不必通过计算就可知自变量对应的函数值
解析法
用等式来表示两个变量之间函数关系
便于研究函数性质
图象法
用图象来表示两个变量之间函数关系
直观而形象地表示出函数的变化情况
2.分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式.
拓展深化
[微判断]
1.任何一个函数都可以用列表法表示.(×)
提示 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示.
2.分段函数是一个函数，且其图象一定是间断的.(×)
提示 图象可间断，也可连续.
3.任何一个函数都有解析式.(×)
提示 一些函数只能用列表法表示，没有解析式.
[微训练]
1.已知函数f(x)＝则f(2)＝________.
解析 f(2)＝＝1.
答案 1
2.由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))＝________.
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
解析 由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.
答案 2
3.若f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)＝________.
解析 令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
答案 3x－1
[微思考]
任何一个函数都可以用解析法，图象法或列表法三种形式之一表示吗？
提示 不一定，并不是所有的函数都可以用解析法表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.
题型一 三种表示方法的应用
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解 (1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
x/台
6
7
8
9
10
y/元
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)图象法：
(3)解析法：y＝3
000x，x∈{1，2，3，…，10}.
规律方法 理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
【训练1】 将一条长为10
cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N
)的函数关系.
解 这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N
}.
①解析法：S＝＋.
将上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x<10，x∈N
}.
②列表法：
一段铁丝长x(cm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
两个正方形的面积之和S(cm2)
③图象法：
题型二 函数图象问题
【例2】 作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y＝(2)y＝|x＋1|.
解 (1)y＝
列表如下：
x
…
1
2
3
…
y
…
4
2
1
2
3
…
当0
当x≥1时，图象是直线y＝x的一部分.作该分段函数的图象如图所示
，可得函数的值域是[1，＋∞).
(2)当x＋1≥0，即x≥－1时，
y＝x＋1；
当x＋1<0，即x<－1时，
y＝－x－1.
故y＝
该分段函数的图象如图所示，
可得函数的值域是[0，＋∞).
规律方法 画函数图象时要注意：
(1)分段函数的图象应该分段画；
(2)在画图象的某一段时，应先画出该段解析式对应的整个图象，再在上面截取所需要的图象；
(3)画出函数图象后，可直接求得函数的值域，故图象法是求函数值域的重要方法之一；
(4)一般地，函数y＝|x－a|的图象关于直线x＝a对称.
【训练2】 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)讨论方程f(x)＝a的解的情况.
解 (1)先作出y＝x2－4x＋3的图象，然后将其在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，原x轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象.
INCLUDEPICTURE"W159.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W159.TIF"
\
MERGEFORMAT
(2)由图象易知，
当a<0时，原方程无解；
当a＝0或a>1时，原方程有两个解；
当0当a＝1时，原方程有三个解.
题型三 求函数解析式
角度1 换元法(配凑法)求函数解析式
【例3－1】 求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x).
解 (1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴f(x)＝2x－1.
(2)法一(换元法) 令t＝＋1，t≥1，则x＝(t－1)2，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
法二(配凑法) f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
角度2 用待定系数法求函数解析式
【例3－2】 (1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).
解 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴∴f(x)＝x2－2x－1.
角度3 消元法(或解方程组法)求函数解析式
【例3－3】 定义在区间(－1，1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x2，求f(x)的解析式.
解 ∵对任意的x∈(－1，1)有－x∈(－1，1)，
由2f(x)－f(－x)＝x2，①
得2f(－x)－f(x)＝(－x)2，②
①×2＋②消去f(－x)得3f(x)＝3x2，
∴f(x)＝x2(－1规律方法 1.已知f[g(x)]＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：
(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.
(2)配凑法，即从f[g(x)]的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
3.待定系数法求函数解析式：
已知所要求的f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.
【训练3】 (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)；
(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x).
解 (1)法一(换元法) 令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
法二(配凑法) f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1.
(2)∵f＝x2＋＝＋2，
令t＝x－，
∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
(3)∵f(x)＋2f＝x，
∴用代替x得f＋2f(x)＝，
消去f得f(x)＝－(x≠0)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－(x≠0).
题型四 分段函数求值
【例4】 已知函数f(x)＝求f(－5)，f(1)，f.
解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
【迁移1】 (变换所求)例4条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
解 当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－2【迁移2】 (变换所求)例4的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.
解 当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈?.
综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.
规律方法 1.求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.
当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
【训练4】 (1)f(x)＝则f(5)的值是( )
A.24
B.21
C.18
D.16
(2)已知f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围为( )
A.(－3，＋∞)
B.[－3，＋∞)
C.(－∞，－3)
D.(－∞，－3]
解析 (1)f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.
(2)当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；
当－2当a≥4时，3a<－3，a<－1，此时不等式无解，故选C.
答案 (1)A (2)C
一、素养落地
1.通过函数表示方法的学习，学会有逻辑地思考问题，并增强交流能力，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.
2.函数三种表示法的优缺点
3.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是对于x的不同取值区间，有着不同的对应关系.
二、素养训练
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝( )
x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 由表可知f(11)＝4.
答案 C
2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )
A.f(x)＝x2＋6x
B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3
D.f(x)＝x2＋6x－10
解析 法一 设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
法二 ∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A.
答案 A
3.函数f(x)＝的定义域是________.
解析 定义域为[0，1]∪(1，2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞).
答案 [0，＋∞)
4.已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为________.
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.
∴
解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
答案 f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8
5.已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域.
解
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
INCLUDEPICTURE"S51X.TIF"
INCLUDEPICTURE
"S51X.TIF"
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(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]；当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0，1].
基础达标
一、选择题
1.设函数f(x)＝则f的值为( )
A.
B.－
C.
D.18
解析 当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，则f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，当x≤1时，f(x)＝1－x2，
∴f＝f＝1－＝.故选A.
答案 A
2.已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝x2＋2x＋1
B.f(x)＝x2－2x＋1
C.f(x)＝x2＋2x－1
D.f(x)＝x2－2x－1
解析 令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
答案 A
3.设x∈R，定义符号函数sgn
x＝则函数f(x)＝|x|sgn
x的图象大致是( )
解析 函数f(x)＝|x|sgn
x＝故函数f(x)＝|x|sgn
x的图象为y＝x所在的直线，故选C.
答案 C
4.函数f(x)＝的值域是( )
A.R
B.[0，＋∞)
C.[0，3]
D.{x|0≤x≤2或x＝3}
解析 当0≤x≤1时，f(x)∈[0，2]，
当1当x≥2，f(x)＝3，
∴值域是{x|0≤x≤2或x＝3}.
答案 D
5.函数f(x)＝x2－2|x|的图象是( )
解析 f(x)＝所以C正确.
答案 C
二、填空题
6.已知f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝______.
解析 当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍).
当x0>2时，f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.
综上，x0＝－或4.
答案 －或4
7.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________.
解析 由表中对应值，知f[g(1)]＝f(3)＝1.
当x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不满足条件；
当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，满足条件；
当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不满足条件；
所以满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是2.
答案 1 2
8.若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________.
解析 由题意得f(x)＝
画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1].
答案 (－∞，1]
三、解答题
9.已知函数f(x)＝1＋(－2①用分段函数的形式表示函数f(x)；
②画出函数f(x)的图象；
③写出函数f(x)的值域.
解 ①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
②函数f(x)的图象如图所示.
③由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3).
10.求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f(1＋)＝x－2－1，求f(x)；
(3)已知f＝x2＋，求f(x)；
(4)若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，求f(x)；
(5)已知函数f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3，求f(x).
解 (1)设x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6，
(2)设1＋＝t(t≥1)，则＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－2(t－1)－1＝t2－4t＋2，
∴f(x)＝x2－4x＋2(x≥1).
(3)f＝x2＋＝－2，
∴f(x)＝x2－2(x≤－2或x≥2).
(4)∵2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，①
用代替x，得2f＋f(x)＝＋，②
①×2－②得3f(x)＝4x－＋，
∴f(x)＝x－＋(x≠0).
(5)由解得
故f(x)＝x2－6x＋5.
能力提升
11.对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数.若f(x)＝2－x2，g(x)＝x，则min{f(x)，g(x)}的最大值是________.
解析
设h(x)＝min{f(x)，g(x)}，当2－x2>x，即－2当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，h(x)＝2－x2.
故h(x)＝
画出h(x)的图象如图所示，
实线部分即为函数h(x)的图象，由图象可知，
当x＝1时，h(x)取得最大值1，
所以min{f(x)，g(x)}的最大值是1.
答案 1
12.如图所示，已知底角45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7
cm，腰长为2
cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.
INCLUDEPICTURE"W162.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W162.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2
cm，
INCLUDEPICTURE"W163.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W163.TIF"
\
MERGEFORMAT
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2
cm，
又BC＝7
cm，所以AD＝GH＝3
cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2，
(2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝2＋2(x－2)＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF
＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10.
结合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示.
创新猜想
13.(多选题)已知f(x)＝则下列选项中正确的是( )
解析 作出函数f(x)的图象如图：
A.将f(x)的图象向右平移一个单位即可得到f(x－1)的图象，则A正确；
B.∵f(x)≥0，∴|f(x)|＝f(x)，图象不变，则B错误；
C.y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，则C正确；
D.f(|x|)的图象是把函数f(x)的图象保留y轴右边的，左边的去掉，再把右边的作关于y轴的对称，则D正确.
故错误的是B，故选ACD.
答案 ACD
14.(多空题)已知f(x)＝则f(f(－1))＝________；若f(x)＝－1，则x＝________.
解析 由－1≤1，得f(－1)＝(－1)2－1＝0，由0≤1，得f(0)＝－1，
所以f(f(－1))＝f(0)＝－1.
因为f(x)＝－1，故
或
解得x＝0或x＝2，满足题意.
答案 －1 0或2(共41张PPT)
5.2 函数的表示方法
课标要求
素养要求
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
4.会求函数的解析式.
1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，发展学生的数学抽象素养.
2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.
新知探究
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1
318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题 根据初中所学知识，请判断问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
提示 解析法、图象法和列表法.
1.函数三种表示方法
表示方法
定义
优点
列表法
用______来表示两个变量之间函数关系
不必通过计算就可知自变量对应的函数值
解析法
用等式来表示两个变量之间函数关系
便于研究函数性质
图象法
用______来表示两个变量之间函数关系
直观而形象地表示出函数的变化情况
2.分段函数
在定义域内__________上，有不同的解析表达式.
列表
图象
不同部分
拓展深化
[微判断]
1.任何一个函数都可以用列表法表示.(
)
提示 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示.
2.分段函数是一个函数，且其图象一定是间断的.(
)
提示 图象可间断，也可连续.
3.任何一个函数都有解析式.(
)
提示 一些函数只能用列表法表示，没有解析式.
×
×
×
[微训练]
答案 1
2.由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))＝________.
解析 由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.
答案 2
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
3.若f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)＝________.
解析 令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
答案 3x－1
[微思考]
任何一个函数都可以用解析法，图象法或列表法三种形式之一表示吗？
题型一 三种表示方法的应用
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解 (1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
x/台
6
7
8
9
10
y/元
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)图象法：
(3)解析法：y＝3
000x，x∈{1，2，3，…，10}.
规律方法 理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
【训练1】 将一条长为10
cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N
)的函数关系.
解 这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N
}.
②列表法：
③图象法：
一段铁丝长x(cm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
两个正方形的面积之和S(cm2)
题型二 函数图象问题
【例2】 作出下列函数的图象并求出其值域.
列表如下：
当0当x≥1时，图象是直线y＝x的一部分.作该分段函数的图象如图所示
，可得函数的值域是[1，＋∞).
(2)当x＋1≥0，即x≥－1时，
y＝x＋1；
当x＋1<0，即x<－1时，
y＝－x－1.
该分段函数的图象如图所示，可得函数的值域是[0，＋∞).
规律方法 画函数图象时要注意：
(1)分段函数的图象应该分段画；
(2)在画图象的某一段时，应先画出该段解析式对应的整个图象，再在上面截取所需要的图象；
(3)画出函数图象后，可直接求得函数的值域，故图象法是求函数值域的重要方法之一；
(4)一般地，函数y＝|x－a|的图象关于直线x＝a对称.
【训练2】 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)讨论方程f(x)＝a的解的情况.
解 (1)先作出y＝x2－4x＋3的图象，然后将其在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，原x轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象.
(2)由图象易知，当a<0时，原方程无解；
当a＝0或a>1时，原方程有两个解；
当0当a＝1时，原方程有三个解.
题型三 求函数解析式
角度1 换元法(配凑法)求函数解析式
【例3－1】 求下列函数的解析式：
解 (1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴f(x)＝2x－1.
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
角度2 用待定系数法求函数解析式
【例3－2】 (1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).
解 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
角度3 消元法(或解方程组法)求函数解析式
【例3－3】 定义在区间(－1，1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x2，求f(x)的解析式.
解 ∵对任意的x∈(－1，1)有－x∈(－1，1)，
由2f(x)－f(－x)＝x2，①
得2f(－x)－f(x)＝(－x)2，②
①×2＋②消去f(－x)得3f(x)＝3x2，
∴f(x)＝x2(－1规律方法 1.已知f[g(x)]＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：
(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.
(2)配凑法，即从f[g(x)]的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
3.待定系数法求函数解析式：
已知所要求的f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.
【训练3】 (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
解 (1)法一(换元法) 令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
法二(配凑法) f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1.
∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
题型四 分段函数求值
【迁移1】 (变换所求)例4条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
【迁移2】 (变换所求)例4的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.
解 当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈?.
综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.
规律方法 1.求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.
当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
A.24
B.21
C.18
D.16
解析 (1)f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.
(2)当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；
当－2当a≥4时，3a<－3，a<－1，此时不等式无解，故选C.
答案 (1)A (2)C
一、素养落地
1.通过函数表示方法的学习，学会有逻辑地思考问题，并增强交流能力，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.
2.函数三种表示法的优缺点
3.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是对于x的不同取值区间，有着不同的对应关系.
二、素养训练
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
解析 由表可知f(11)＝4.
答案 C
2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )
A.f(x)＝x2＋6x
B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3
D.f(x)＝x2＋6x－10
解析 法一 设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
法二 ∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A.
答案 A
解析 定义域为[0，1]∪(1，2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞).
答案 [0，＋∞)
4.已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为________.
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域.
解
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]；当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0，1].