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第5章
函数概念与性质
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
1.早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.
1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示“幂”.
2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(Bernoulli
Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”
3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”
1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元.
19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念——函数.
[读图探新]——发现现象背后的知识
函数的概念(图一)
例:新中国成立后共进行了六次人口普查,各次普查得到的人口数据如下表：
年份
1953
1964
1982
1990
2000
2010
总人口数（亿）
5.9
6.9
10.1
11.3
12.7
13.4
函数的表示(图二)
函数的最值(图三) 函数的奇偶性(图四)
问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？
问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？
问题3：天安门是轴对称图形，联想一下：如何用自然语言描述函数的图象特征呢？
链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图象法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.
5.1 函数的概念与图象
第一课时 函数的概念
课标要求
素养要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养.
2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.
新知探究
问题 (1)时间t和物体下落的距离s有何限制？
(2)时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
(3)下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？
提示 (1)0≤t≤3，0≤s≤44.1.(2)确定.
(3)不能.
1.函数的概念
给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的______________，在集合B中都有______的实数y和它对应.
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作________，x∈A，其中x叫作自变量，集合A叫做函数的________.
每一个实数x
唯一
y＝f(x)
定义域
2.值域
若A是函数y＝f(x)的________，则对A中的每一个x(输入值)都有一个y(输出值)与之对应，我们将所有__________组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的______.
定义域
输出值y
值域
拓展深化
[微判断]
1.函数的定义域和值域一定是无限集合.(
)
提示 函数的定义域和值域也可能是有限集，如y＝x2，x∈{1，2}，显然y∈{1，4}.
2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(
)
提示 根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应.
3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.(
)
提示 在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.
×
×
×
[微训练]
答案 (1，＋∞)
解析 由x－1>0，得x>1.
答案 7
[微思考]
1.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
提示 确定，一一对应.
2.如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？
提示 不确定，例如函数的定义域为A＝{－1，0，1}，值域为B＝{0，1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.
题型一 函数关系的判断
角度1 由定义判断是否为函数
【例1－1】 判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
解 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数.
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数.
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.
角度2 从图象判断是否为函数关系
【例1－2】 下列图形中不是函数图象的是( )
解析 A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B、C、D均符合函数定义.
答案 A
角度3 同一个函数的判定
【例1－3】 (1)下列各组函数：
(1)解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系分别对应相同，故是同一函数.
答案 ⑤
规律方法 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法
①判断集合A，B是否为非空数集.
②判断集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素与之对应.
满足上述两条，则该对应关系是函数，要注意“任意性”“存在性”“唯一性”，只要一个不满足便不能构成函数.
(2)判断两个函数是否为同一个函数的方法
①一般先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，可再化简函数的解析式，看对应关系是否相同，若对应关系也相同，则是同一个函数.
②因为函数的值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系都分别相同，值域就一定相同.
【训练1】 (1)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数的是( )
解析 (1)根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素在集合B中没有元素与它对应，故不正确.
∴D正确.
答案 (1)D (2)D
题型二 函数的定义域
角度1 求具体函数的定义域
【例2－1】 求下列函数的定义域：
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.
解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}.
角度2 抽象函数的定义域
【例2－2】 已知函数f(x－1)的定义域为[－2，3]，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
解析 ∵函数y＝f(x－1)的定义域为[－2，3]，
∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为[－3，2].
∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，
答案 D
规律方法 求函数定义域时，要注意应用下列原则：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.
(5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
(6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的.
注意 定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接.
(2)由题意知－2答案 (1)C (2)C
题型三 函数的值域与函数值
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值；
(3)求函数g(x)的值域.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
(3)g(x)＝x2＋2，x∈R，
由于x2＋2≥2，∴函数g(x)的值域为[2，＋∞).
规律方法 求函数值的方法
(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.函数的值域即为函数定义域中的每一个x对应的函数值的集合.
【训练3】 求下列函数的值域：
(1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1，0，1，2}；
(2)f(x)＝x2＋2x＋3.
解 (1)∵函数定义域为{－1，0，1，2}，
f(x)＝(x＋1)2＋2.
∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11，
∴函数f(x)的值域为{2，3，6，11}.
(2)f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，
∴f(x)的值域为[2，＋∞).
一、素养落地
1.理解函数概念，提升数学抽象素养，会求函数的定义域、值域，提升数学运算素养.
2.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应.这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数.
3.函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象.
二、素养训练
1.下表表示函数y＝f(x)的x与y的所有对应值，则此函数的定义域为( )
X
－1
0
1
f(x)
2
3
5
A.{－1，0，1}
B.{2，3，5}
C.{x|－1≤x≤1}
D.{x|2≤x≤5}
解析 定义域为x的所有取值构成的集合，故选A.
答案 A
2.下列从集合M到集合N的对应关系中，y是x的函数的是( )
解析 对于A，M中的奇数在N中无元素与之对应，y不是x的函数；
对于B，M中的每个元素在N中都有两个元素与之对应，y不是x的函数；
对于C，M中的每个元素在N中都有唯一元素与之对应，y是x的函数；
对于D，M中x＝0在N中没有元素对应，y不是x的函数.
答案 C
答案 3a
4.下列各对函数中是同一个函数的是________(填序号).
答案 ②④
5.求出函数g(x)＝x2－2的值域A，判断－5和7是否是A中的元素.
解 g(x)的定义域为R，∵x2≥0，∴x2－2≥－2，
∴A＝[－2，＋∞).故－5?A，7∈A.第二课时 函数的图象
课标要求
素养要求
1.理解用函数图象表示函数.2.会画函数图象，并结合图象求函数值域.
通过函数图象的画法及图象的应用提升数学直观想象素养与逻辑推理素养.
新知探究
如图，艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐慢了，这条曲线表明了遗忘的发展规律是“先快后慢”.
问题 根据初中学习的知识，你能说出以上问题是用什么方法表示函数的吗？
提示 图象法.
函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象.
拓展深化
[微判断]
1.任何一个函数都可以画出图象.(×)
提示 有的函数不能画出图象，如f(x)＝
2.函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.(×)
提示 反例：f(x)＝的图象就不是连续的曲线.
3.函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图象相同.(×)
提示 两函数的定义域不同，则图象不同.
4.函数y＝f(x)图象上所有的点组成的集合是{y|y＝f(x)，x∈A}.(×)
提示 集合应为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}.
[微训练]
1.函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图象是( )
A.直线
B.射线
C.线段
D.离散的点
解析 ∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1，5]，则此时图象为线段.故选C.
答案 C
2.下列可以作为函数y＝f(x)的图象的是( )
解析 看图象中x轴上任意一个x是否有唯一的y与之对应.
答案 B
[微思考]
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
提示 要检验一个图形是否为函数的图象，其法则为：在定义域内任取一个x对应的点作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象.
题型一 画函数图象
【例1】 画出下列函数的图象：
(1)y＝x2＋x，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)y＝x2＋x，x∈R；
(3)y＝x2＋x，x∈[－1，1).
解 (1)列表：
x
－1
0
1
2
3
y
0
0
2
6
12
描点得该函数的图象如图：
INCLUDEPICTURE"W140.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W140.TIF"
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MERGEFORMAT
(2)y＝x2＋x＝－，
故函数对称轴为x＝－，
顶点为.
又y＝x2＋x开口向上，且与x轴，y轴分别交于点(－1，0)，(0，0).故图象如图.
(3)y＝x2＋x，x∈[－1，1)的图象是y＝x2＋x，x∈R的图象上x∈[－1，1)的一段，其中点(－1，0)在图象上，用实心点表示；点(1，2)不在图象上，用空心点表示.
INCLUDEPICTURE"W142.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W142.TIF"
\
MERGEFORMAT
规律方法 (1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.
(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.
【训练1】 作出下列函数图象：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3).
解 (1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}.
所以图象为一直线上的孤立点(如图①).
(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.
所画函数图象如图②.
题型二 函数图象的应用
【例2】 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域.
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
－1
0
1
3
y
0
3
4
0
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，
容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1，4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4].
【迁移1】 (变换条件)如果将x1x2>1,
试比较f(x1)与f(x2)的大小.
解 当x1>x2>1时，结合图象知f(x1)【迁移2】 (变换条件)如果函数的定义域为[－1，4]，求函数的值域.
解 当定义域为[－1，4]时，结合图象知值域为[－5，4].
规律方法 函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点.
【训练2】 (1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________.
INCLUDEPICTURE"W145.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W145.TIF"
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MERGEFORMAT
(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围.
(1)解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合.
答案 [－2，4]∪[5，8] [－4，3]
(2)解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图所示，
f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1INCLUDEPICTURE"W146.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W146.TIF"
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题型三 由函数图象求值域
【例3】 作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2].
解 (1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5].
(2)列表：
X
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知，其值域为(0，1].
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分.由图可得函数的值域是[－1，8].
规律方法 数形结合法求函数值域要注意找函数的最高点与最低点，并注意定义域的影响.
【训练3】 已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解 (1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].
INCLUDEPICTURE"S43.TIF"
INCLUDEPICTURE
"S43.TIF"
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一、素养落地
1.利用函数图象直观分析数学问题，提升直观想象素养和逻辑推理素养.
2.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，然后列表描点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点.
3.在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确.
二、素养训练
1.下列四个图形中是函数图象的是( )
A.①
B.①③④
C.①②③
D.③④
解析 由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图象，①③④是函数图象.
答案 B
2.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B.
答案 B
3.函数y＝2x＋1，x∈[1，5]的值域为________.
解析 当x∈[1，5]时，3≤2x＋1≤11，∴值域为[3，11].
答案 [3，11]
4.函数f(x)的定义域为[－1，3]，则y＝f(x)的图象与x＝1的交点个数为________个，与x＝－2的交点个数为________个.
解析 ∵定义域为[－1，3]，∴1∈[－1，3]，即y＝f(x)的图象与x＝1有一个交点而－2?[－1，3]，即x＝－2与图象无交点.
答案 1 0
5.2019年是中国高铁发展迅速的一年，山东某一高铁站1～12月份的客流量走势如图所示.
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2)根据图象，求9月份所对应的客流量.
解 (1)由走势图可知，函数的定义域为{x|1≤x≤12且x∈N
}，值域为{y|100≤y≤160}.
(2)由图形知，9月份所对应的客流量约为100万人次.
基础达标
一、选择题
1.(多选题)下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是( )
解析 A，D都满足函数的定义；在B中，当x＝0时，有两个函数值与之对应，不满足函数对应的唯一性；在C中，存在一个x有两个y与x对应，不满足函数对应的唯一性，故选AD.
答案 AD
2.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 A中的定义域不是[－2，2]，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是[0，2]，故选B.
答案 B
3.函数y＝的大致图象是( )
解析 y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，当x＝0时，y＝0，排除B.
答案 A
4.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f[g(2)]＝( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
eq
\a\vs4\al()
A.3
B.2
C.1
D.0
解析 由题图知g(2)＝1，∴f[g(2)]＝f(1)＝2.故选B.
答案 B
5.函数f(x)＝x2＋x－2(－1≤x≤2)的值域为( )
A.[－2，4]
B.
C.
D.
解析 作出函数y＝x2＋x－2，x∈[－1，2]的图象，观察图象可知值域为
.
INCLUDEPICTURE"W151.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W151.TIF"
\
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答案 B
二、填空题
6.已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为________.
解析 ∵f(5)＝5－＝4，∴m＝5.
答案 5
7.函数y＝(x≥0)的值域是________.
解析 由＝＝1＋，∵x≥0，∴x＋1≥1，∴0<≤1，∴－2≤<0，∴－1≤1＋<1.
答案 [－1，1)
8.设[x]表示不超过x的最大整数，已知函数f(x)＝x－[x]，则f(－0.5)＝________；其值域为________.
解析 ∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[x]≤x，
∴0≤f(x)＝x－[x]<1，∴f(－0.5)＝－0.5－(－1)＝0.5.
答案 0.5 [0，1)
三、解答题
9.画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1).
解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)所示.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2)所示.
10.已知函数p＝f(m)的图象如图所示，求
INCLUDEPICTURE"W153.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W153.TIF"
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(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p为何值时，只有唯一的m值与之对应.
解 (1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，所以定义域为[－3，0]∪[1，4].
(2)由图知值域为[－2，2].
(3)由图知，p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应.
能力提升
11.函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
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A.f(－2)，0
B.0，2
C.f(－2)，2
D.f(2)，2
解析 由图象可知，此函数的最小值是f(－2),
最大值是2.
答案 C
12.画出函数f(x)＝x2＋2x＋3的图象，根据图象回答下列问题.
(1)比较f(－2)，f(1)，f(2)的大小.
(2)若函数定义域为[－2，2]，求函数的值域.
(3)若x1解 如图函数f(x)＝x2＋2x＋3的图象.
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(1)由图象知f(－2)(2)当x∈[－2，2]时，f(x)的最小值为f(－1)＝2，
f(x)的最大值为f(2)＝11.
∴f(x)的值域为[2，11].
(3)当x1f(x2).
创新猜想
13.(多空题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的定义域为________，值域为________.
解析 由图象可以看出，函数y＝f(x)的自变量x的取值范围是－5≤x≤5，y的取值范围是－2≤y≤3，故y＝f(x)的定义域为[－5，5]，值域为[－2，3].
答案 [－5，5] [－2，3]
14.(多空题)如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(3)＝________，f(f(4))＝________(用数字作答).
解析 由题意可知f(3)＝1，f(4)＝2，则f(f(4))＝f(2)＝0.
答案 1 0第5章
函数概念与性质
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
1.早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽利略(G.Galileo，意，1564～1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系.
1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示“幂”.
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2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(Bernoulli
Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”
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3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”
1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元.
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19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念——函数.
[读图探新]——发现现象背后的知识
函数的概念(图一)
例:新中国成立后共进行了六次人口普查,各次普查得到的人口数据如下表：
年份
1953
1964
1982
1990
2000
2010
总人口数（亿）
5.9
6.9
10.1
11.3
12.7
13.4
函数的表示(图二)
函数的最值(图三) 函数的奇偶性(图四)
问题1：图一中青少年的好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？
问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？
问题3：天安门是轴对称图形，联想一下：如何用自然语言描述函数的图象特征呢？
链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图象法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.
5.1 函数的概念与图象
第一课时 函数的概念
课标要求
素养要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养.2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.
新知探究
某物体从高度为44.1
m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt2，其中g取9.8
m/s2.
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问题 (1)时间t和物体下落的距离s有何限制？
(2)时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
(3)下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？
提示 (1)0≤t≤3，0≤s≤44.1.(2)确定.
(3)不能.
1.函数的概念
给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应.
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自变量，集合A叫做函数的定义域.
2.值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对A中的每一个x(输入值)都有一个y(输出值)与之对应，我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域.
拓展深化
[微判断]
1.函数的定义域和值域一定是无限集合.(×)
提示 函数的定义域和值域也可能是有限集，如y＝x2，x∈{1，2}，显然y∈{1，4}.
2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(×)
提示 根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应.
3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.(×)
提示 在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.
[微训练]
1.函数y＝的定义域为________.
解析 由x－1>0，得x>1.
答案 (1，＋∞)
2.若f(x)＝x2－，则f(3)＝________.
解析 f(3)＝9－＝9－2＝7.
答案 7
[微思考]
1.在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
提示 确定，一一对应.
2.如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？
提示 不确定，例如函数的定义域为A＝{－1，0，1}，值域为B＝{0，1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.
题型一 函数关系的判断
角度1 由定义判断是否为函数
【例1－1】 判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
解 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数.
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数.
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.
角度2 从图象判断是否为函数关系
【例1－2】 下列图形中不是函数图象的是( )
解析 A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B、C、D均符合函数定义.
答案 A
角度3 同一个函数的判定
【例1－3】 (1)下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝，g(x)＝x＋3；
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示同一函数的是________(填序号).
(2)试判断函数y＝·与函数y＝是否为同一函数，并说明理由.
(1)解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系分别对应相同，故是同一函数.
答案 ⑤
(2)解 不是同一函数.对于函数y＝·，由解得x≥1，故定义域为{x|x≥1}，对于函数y＝，由(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故定义域为{x|x≥1或x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数.
规律方法 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法
①判断集合A，B是否为非空数集.
②判断集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素与之对应.
满足上述两条，则该对应关系是函数，要注意“任意性”“存在性”“唯一性”，只要一个不满足便不能构成函数.
(2)判断两个函数是否为同一个函数的方法
①一般先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，可再化简函数的解析式，看对应关系是否相同，若对应关系也相同，则是同一个函数.
②因为函数的值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系都分别相同，值域就一定相同.
【训练1】 (1)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数的是( )
A.f：x→y＝x
B.f：x→y＝x
C.f：x→y＝x
D.f：x→y＝x
(2)下列各项中两个函数表示同一个函数的是( )
A.f(x)＝x与g(x)＝()2
B.f(x)＝x与g(x)＝
C.f(x)＝x＋2与g(x)＝
D.f(x)＝x与g(x)＝
解析 (1)根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素在集合B中没有元素与它对应，故不正确.
(2)对于A，函数f(x)＝x的定义域为R，函数g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不同，∴A不正确；
对于B，函数g(x)＝＝|x|，与函数f(x)＝x，对应关系不同，
∴B不正确；
对于C，函数f(x)＝x＋2的定义域为R，函数g(x)＝的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，定义域不同，∴C不正确；
对于D，两函数的定义域
、值域都为R，且g(x)＝＝x，对应关系也相同，∴D正确.
答案 (1)D (2)D
题型二 函数的定义域
角度1 求具体函数的定义域
【例2－1】 求下列函数的定义域：
(1)y＝(x－1)0＋；
(2)y＝＋.
解 (1)要使函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}.
角度2 抽象函数的定义域
【例2－2】 已知函数f(x－1)的定义域为[－2，3]，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A.[－1，9]
B.[－3，7]
C.[－2，1]
D.
解析 ∵函数y＝f(x－1)的定义域为[－2，3]，
∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为[－3，2].
∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤.
即函数f(2x＋1)的定义域为.
答案 D
规律方法 求函数定义域时，要注意应用下列原则：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.
(5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
(6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的.
注意 定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接.
【训练2】 (1)函数f(x)＝的定义域为( )
A.
B.{x|x>1}
C.
D.
(2)已知函数f(x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数f(2x－2)的定义域为( )
A.(0，2)
B.
C.(1，2)
D.
解析 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得即x≥且x≠1，故选C.
(2)由题意知－2答案 (1)C (2)C
题型三 函数的值域与函数值
【例3】 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值；
(3)求函数g(x)的值域.
解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
(3)g(x)＝x2＋2，x∈R，
由于x2＋2≥2，∴函数g(x)的值域为[2，＋∞).
规律方法 求函数值的方法
(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.函数的值域即为函数定义域中的每一个x对应的函数值的集合.
【训练3】 求下列函数的值域：
(1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1，0，1，2}；
(2)f(x)＝x2＋2x＋3.
解 (1)∵函数定义域为{－1，0，1，2}，
f(x)＝(x＋1)2＋2.
∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11，
∴函数f(x)的值域为{2，3，6，11}.
(2)f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，
∴f(x)的值域为[2，＋∞).
一、素养落地
1.理解函数概念，提升数学抽象素养，会求函数的定义域、值域，提升数学运算素养.
2.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应.这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数.
3.函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象.
二、素养训练
1.下表表示函数y＝f(x)的x与y的所有对应值，则此函数的定义域为( )
X
－1
0
1
f(x)
2
3
5
A.{－1，0，1}
B.{2，3，5}
C.{x|－1≤x≤1}
D.{x|2≤x≤5}
解析 定义域为x的所有取值构成的集合，故选A.
答案 A
2.下列从集合M到集合N的对应关系中，y是x的函数的是( )
A.M＝{x|x∈Z}，N＝{y|y∈Z}，对于关系f：x→y，其中y＝
B.M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝±2x
C.M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝x2
D.M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝
解析 对于A，M中的奇数在N中无元素与之对应，y不是x的函数；
对于B，M中的每个元素在N中都有两个元素与之对应，y不是x的函数；
对于C，M中的每个元素在N中都有唯一元素与之对应，y是x的函数；
对于D，M中x＝0在N中没有元素对应，y不是x的函数.
答案 C
3.已知函数f(x)＝，则f＝________.
解析 f＝＝3a.
答案 3a
4.下列各对函数中是同一个函数的是________(填序号).
①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0；
②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)；
④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
解析 ①函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系分别对应相同，是同一个函数；③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一个函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系分别对应相同，是同一个函数.
答案 ②④
5.求出函数g(x)＝x2－2的值域A，判断－5和7是否是A中的元素.
解 g(x)的定义域为R，∵x2≥0，∴x2－2≥－2，
∴A＝[－2，＋∞).故－5?A，7∈A.
基础达标
一、选择题
1.下列函数中定义域为R的是( )
A.y＝
B.y＝(x－1)0
C.y＝x2＋3
D.y＝
解析 A中x≥0，B中x≠1，D中x≠0.故选C.
答案 C
2.设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A.{1}
B.{－1}
C.{－1，1}
D.{－1，0}
解析 若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02?B，故选D.
答案 D
3.图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是( )
A.①②
B.①④
C.①②④
D.③④
解析 根据函数的定义，可以多对一，或一对一，故选B.
答案 B
4.下列选项中能表示同一个函数的是( )
A.y＝x＋1与y＝
B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x(x≥0)
D.y＝(x＋1)2与y＝x2
解析 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；
对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系分别对应相同，是同一个函数；
对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数.
答案 B
5.函数f(x)＝的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析 要使f(x)有意义，只需满足即x≤且x≠0，故选D.
答案 D
二、填空题
6.若f(x)＝，则f(1)＝________.
解析 f(1)＝＝.
答案
7.已知函数f(x)＝，f(a)＝3，则实数a＝________.
解析 f(a)＝＝3，∴a＝12.
答案 12
8.已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是________.
解析 y＝x2时，M中的4在N中无元素与它对应，y＝x＋1时，M中的－1，2，4在N中也无元素对应，y＝x－1时，M中的－1，1，4在N中也无元素对应，只有y＝|x|是符合题意的对应关系.
答案 ④
三、解答题
9.求下列函数的定义域：
(1)y＝2－；
(2)y＝；(3)y＝＋.
解 (1)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为.
(2)由于0的零次幂无意义，
故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝的定义域为
(－2，－1)∪(－1，＋∞).
(3)由解得－2≤x<0或0所以函数y＝＋的定义域为[－2，0)∪(0，2].
10.已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值.
解 (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，所以这个函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞).
(2)f(－3)＝＋＝－1；
f＝＋＝＋＝＋.
(3)因为a>0，故f(a)，f(a－1)有意义.
f(a)＝＋；
f(a－1)＝＋＝＋.
能力提升
11.已知函数f(x2－2)的定义域为[－1，3]，则函数f(x)的定义域为( )
A.[0，1]
B.
C.[－2，7]
D.(－∞，3)
解析 由函数f(x2－2)的定义域为[－1，3]，得x∈[－1，3]，
∴x2∈[0，9]，∴x2－2∈[－2，7].
即f(x)的定义域为[－2，7].
答案 C
12.求下列函数的值域：
①y＝＋1；②y＝.
解 ①因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞).
②因为y＝＝－1＋，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，所以0<≤2，则y∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].
创新猜想
13.(多选题)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有( )
A.A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方
B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D.A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍
解析 A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系.
答案 AD
14.(多空题)已知f(x)＝(x∈R且x≠2)，g(x)＝x2－2，则f(3)＝________，f(g(3))＝________.
解析 f(3)＝＝－2；
又因为g(3)＝32－2＝7，
∴f(g(3))＝f(7)＝＝－.
答案 －2 －(共31张PPT)
第二课时 函数的图象
课标要求
素养要求
1.理解用函数图象表示函数.
2.会画函数图象，并结合图象求函数值域.
通过函数图象的画法及图象的应用提升数学直观想象素养与逻辑推理素养.
新知探究
如图，艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐慢了，这条曲线表明了遗忘的发展规律是“先快后慢”.
问题 根据初中学习的知识，你能说出以上问题是用什么方法表示函数的吗？
提示 图象法.
函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为________，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即_______________________，所有这些点组成的______就是函数y＝f(x)的图象.
纵坐标
{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}
图形
拓展深化
[微判断]
1.任何一个函数都可以画出图象.(
)
3.函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图象相同.(
)
×
2.函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.(
)
×
×
提示 两函数的定义域不同，则图象不同.
4.函数y＝f(x)图象上所有的点组成的集合是{y|y＝f(x)，x∈A}.(
)
提示 集合应为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}.
×
[微训练]
1.函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图象是( )
A.直线
B.射线
C.线段
D.离散的点
解析 ∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1，5]，则此时图象为线段.故选C.
答案 C
2.下列可以作为函数y＝f(x)的图象的是( )
解析 看图象中x轴上任意一个x是否有唯一的y与之对应.
答案 B
[微思考]
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
提示 要检验一个图形是否为函数的图象，其法则为：在定义域内任取一个x对应的点作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象.
题型一 画函数图象
【例1】 画出下列函数的图象：
(1)y＝x2＋x，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)y＝x2＋x，x∈R；
(3)y＝x2＋x，x∈[－1，1).
解 (1)列表：
x
－1
0
1
2
3
y
0
0
2
6
12
描点得该函数的图象如图：
又y＝x2＋x开口向上，且与x轴，y轴分别交于点(－1，0)，(0，0).故图象如图.
(3)y＝x2＋x，x∈[－1，1)的图象是y＝x2＋x，x∈R的图象上x∈[－1，1)的一段，其中点(－1，0)在图象上，用实心点表示；点(1，2)不在图象上，用空心点表示.
规律方法 (1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.
(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点.
【训练1】 作出下列函数图象：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3).
解 (1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}.
所以图象为一直线上的孤立点(如图①).
(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.所画函数图象如图②.
题型二 函数图象的应用
【例2】 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域.
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
－1
0
1
3
y
0
3
4
0
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，
容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1，4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4].
【迁移1】 (变换条件)如果将x1x2>1,
试比较f(x1)与f(x2)的大小.
解 当x1>x2>1时，结合图象知f(x1)【迁移2】 (变换条件)如果函数的定义域为[－1，4]，求函数的值域.
解 当定义域为[－1，4]时，结合图象知值域为[－5，4].
规律方法 函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点.
【训练2】 (1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________.
(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围.
(1)解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合.
答案 [－2，4]∪[5，8] [－4，3]
(2)解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图所示，
f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，
由图易知－1题型三 由函数图象求值域
【例3】 作出下列函数的图象并求出其值域.
解 (1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5].
(2)列表：
X
2
3
4
5
…
y
1
…
(3)列表：
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分.由图可得函数的值域是[－1，8].
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
规律方法 数形结合法求函数值域要注意找函数的最高点与最低点，并注意定义域的影响.
【训练3】 已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解 (1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].
一、素养落地
1.利用函数图象直观分析数学问题，提升直观想象素养和逻辑推理素养.
2.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，然后列表描点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点.
3.在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确.
二、素养训练
1.下列四个图形中是函数图象的是( )
A.①
B.①③④
C.①②③
D.③④
解析 由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图象，①③④是函数图象.
答案 B
2.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B.
答案 B
3.函数y＝2x＋1，x∈[1，5]的值域为________.
解析 当x∈[1，5]时，3≤2x＋1≤11，∴值域为[3，11].
答案 [3，11]
4.函数f(x)的定义域为[－1，3]，则y＝f(x)的图象与x＝1的交点个数为________个，与x＝－2的交点个数为________个.
解析 ∵定义域为[－1，3]，∴1∈[－1，3]，即y＝f(x)的图象与x＝1有一个交点而－2?[－1，3]，即x＝－2与图象无交点.
答案 1 0
5.2019年是中国高铁发展迅速的一年，山东某一高铁站1～12月份的客流量走势如图所示.
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
(2)根据图象，求9月份所对应的客流量.
解 (1)由走势图可知，函数的定义域为{x|1≤x≤12且x∈N
}，值域为{y|100≤y≤160}.
(2)由图形知，9月份所对应的客流量约为100万人次.
