章末检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2
019的否定是( )
A.?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2
019
B.?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2
019
C.?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2
019
D.以上都不对
答案 C
2.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵a≤b≤c，∴a2＋b2＝c2?△ABC为直角三角形，故选C.
答案 C
3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵a＝3?A?B，而A?Ba＝3，∴“a＝3”是“A?B的充分不必要条件”.
答案 B
4.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 令x＝1，y＝－2，满足x>y，但不满足x>|y|；由x>|y|得－x
y成立，故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
答案 C
5.下列命题中的假命题是( )
A.?x∈R，|x|＋1>0
B.?x∈N＋，(x－1)2>0
C.?x∈R，|x|<1
D.?x∈R，＋1＝2
解析 A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题.
答案 B
6.“命题?x∈R，使x2＋ax－4a<0为假命题”是“－16≤a≤0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 依题意得“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”是真命题，故Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选C.
答案 C
7.命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.{a|a<1}
B.{a|a≤1}
C.{a|a>1}
D.{a|a≥1}
解析 因为綈p是假命题，所以p为真命题，即方程ax2＋2x＋1＝0有实数根.
当a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－，满足条件.当a≠0时，若使方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a≥0，即a≤1且a≠0.综上知a≤1.
答案 B
8.在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙
B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲
D.甲、丙、乙
解析 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：
(1)若乙预测正确，则丙预测也正确，不合题意；
(2)若丙预测正确，甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测又正确，与假设矛盾；
(3)若甲预测正确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意，故选A.
答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.对任意实数a，b，c，下列命题中的假命题是( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析 a＝b?a－b＝0?(a－b)c＝0?ac＝bc，∴ac＝bc是a＝b的必要条件.
答案 ACD
10.下列命题的否定中是全称量词命题且为真命题的有( )
A.?x∈R，x2－x＋<0
B.所有的正方形都是矩形
C.?x∈R，x2＋2x＋2≤0
D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0
解析 命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题.又D为真命题，故选AC.
答案 AC
11.设全集为U，在下列选项中是B?A的充要条件的有( )
A.A∪B＝A
B.(
?UA)∩B＝?
C.(
?UA)?(
?UB)
D.A∪(?UB)＝U
解析 由Venn图可知，A，B，C，D都是充要条件，故选ABCD.
答案 ABCD
12.不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为( )
A.[－4，－1]
B.[1，4]
C.[－4，－1]∪[1，4]
D.[－4，4]
解析 由不等式1≤|x|≤4，解得－4≤x≤－1，或1≤x≤4.∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B.故选AB.
答案 AB
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________(本题第一空2分，第二空3分).
(1)每一个矩形的对角线都互相平分；(2)有些集合无真子集；(3)能被8整除的数也能被2整除.
解析 (1)中含有全称量词“每一个”，(3)中陈述的是所有满足条件的数，所以(1)(3)是全称量词命题；(2)中含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题.
答案 (1)(3) (2)
14.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_____________________.
解析 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.
答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
15.已知命题p：?x∈R，x2－2x＋m＝0，若綈p为假命题，则实数m的取值范围为________.
解析 因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，x2－2x＋m＝0为真命题，则方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＝4－4m≥0，即m≤1.故实数m的取值范围为{m|m≤1}.
答案 {m|m≤1}
16.线段y＝－3x＋m，x∈[－1，1]在x轴下方的一个充分不必要条件是________.
解析 结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，
需
∴∴m<－3.
∴m<－4就是一个使命题成立的充分不必要条件.
答案 m∈(－∞，－4)(答案不唯一)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin
∠A＝cos
∠B.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
18.(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性.
(1)?x∈Z，|x|∈N；
(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；
(3)?x∈R，x＋1≤0；
(4)?x∈R，x2＋2x＋3＝0.
解 (1)?x∈Z，|x|?N，假命题.
(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题.
(3)?x∈R，x＋1>0，假命题.
(4)?x∈R，x2＋2x＋3≠0，真命题.
19.(本小题满分12分)已知命题p：?1≤x≤3，都有m≥x，命题q：?1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围.
解 由题意知命题p，q都是真命题.
由?1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由?1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.
20.(本小题满分12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－证明 (1)充分性：∵－∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，
且－3m>0，
∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根.
(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，
则有解得－综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－21.(本小题满分12分)若p：－2解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.
若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，
且0于是0<－a<2，0即－2所以p是q的必要不充分条件.
22.(本小题满分12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}.
(1)若a＝3，求(?RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，
?RP＝{x|x<4或x>7}，
Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以(?RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}.
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即P?Q，
即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}.章末检测卷(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.等于( )
A.3
B.－3
C.±3
D.－27
解析 ＝＝－3.
答案 B
2.若＋有意义，则a的取值范围是( )
A.a≥0
B.a≥1
C.a≥2
D.a∈R
解析 ∵∴a≥1.
答案 B
3.方程2log3x＝的解是( )
A.x＝
B.x＝
C.x＝
D.x＝9
解析 ∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
答案 A
4.化简(x<0，y<0)为( )
A.2x2y
B.2xy
C.4x2y
D.－2x2y
解析 ＝|2x2y|＝－2x2y.
答案 D
5.lg－2lg＋lg＝( )
A.lg
2
B.lg
3
C.lg
4
D.lg
5
解析 原式＝lg－lg＝lg＝lg
2.
答案 A
6.若a>0，a＝，则loga＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为a＝，a>0，所以a＝＝，设loga＝x，所以＝a.所以x＝3.
答案 B
7.计算：＋3log3－lg
5＋，其结果是( )
A.－1
B.1
C.－3
D.3
解析 原式＝＋－lg
5＋＝＋－lg
5＋1－lg
2＝1.
答案 B
8.设a＝log36，b＝log520，则log215＝( )
A.
B.
C.
D.
解析 a＝log36＝1＋log32，b＝log520＝1＋log54＝1＋2log52，
∴log23＝，log25＝，
∴log215＝log23＋log25＝＋＝.
答案 D
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.下列说法不正确的为( )
A.＝a
B.若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
C.＝x＋y
D.＝
解析 A中，n为偶数时，不一定成立，故错误.B中，a2－a＋1＝＋>0，
∴(a2－a＋1)0＝1，正确.C错误.D中，左侧为负，右侧为正，不相等.
答案 ACD
10.下列运算错误的是( )
A.2log10＋log0.25＝2
B.log427·log258·log95＝
C.lg
2＋lg
50＝10
D.log(2＋)(2－)－(log2)2＝－
解析 A中，原式＝log102＋log0.25＝log25＝－2，故A错误.
B中，原式＝··＝××＝，故B错误.
C中，lg
2＋lg
50＝lg
100＝2.故C错误.
D中，原式＝log(2＋)－
＝－1－＝－.
答案 ABC
11.若ab>0，则下列等式中不正确的是( )
A.lg(ab)＝lg
a＋lg
b
B.lg＝lg
a－lg
b
C.lg＝lg
D.lg(ab)＝
解析 A，B成立的条件是a>0，b>0.D成立的前提是ab≠1.C成立.
答案 ABD
12.已知a>0，且a≠1，下列说法不正确的是( )
A.若M＝N，则logaM＝logaN
B.若logaM＝logaN，则M＝N
C.若logaM2＝logaN2，则M＝N
D.若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析 A中，当M＝N<0时无意义；B正确；C中可得M2＝N2，可能M＝－N；D中，当M＝N＝0时，不成立.
答案 ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
解析 原式＝
＝＝.
答案
14.已知2x＝10，则x－log25＝________.
解析 x＝log210，∴x－log25＝log2＝1.
答案 1
15.[(－5)4]＝________，log43·log＝________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 [(－5)4]＝5，log43·log＝·＝·＝.
答案 5
16.＝________(a>0，b>0).
解析 原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1＝.
答案
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)()－(b>0).
解 (1)原式＝＝＝＝a.
(2)原式＝＝＝＝＝＝x－.
(3)原式＝[(b－)]－＝b－××(－)＝b.
18.(本小题满分12分)(1)求值：－(－9.6)0－＋(1.5)－2＋[(－5)4]；
(2)已知a＋a－＝3，求a＋a－的值.
解 (1)原式＝－1－＋＋5
＝－1－＋＋5＝.
(2)由a＋a－＝3，得a＋a－1＝－2＝7，故a＋a－＝＋(a－)3＝(a＋a－)(a－1＋a－1)＝3×(7－1)＝18.
19.(本小题满分12分)计算下列各式的值：
(1)；
(2)log3
·log5[4log210－(3)－7log72].
解 (1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72]
＝·log5(10－3－2)
＝·log55＝－.
20.(本小题满分12分)计算：
(1)÷100；
(2)(log43)×；
(3)log2.56.25＋lg
0.01＋ln－21＋log23.
解 (1)原式＝＝＝＝.
(2)原式＝×＝×＝×＝.
(3)原式＝log2.52.52＋lg
10－2＋ln
e－2×2log23＝2＋(－2)＋－6＝－.
21.(本小题满分12分)计算：
(1)－＋＋；
(2)lg
500＋lg－lg
64＋50×(lg
2＋lg
5)2.
解 (1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
(2)原式＝lg
5＋lg
102＋lg
23－lg
5－lg
26＋50×(lg
10)2＝lg
5＋2＋3lg
2－lg
5－3lg
2＋50＝52.
22.(本小题满分12分)若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值.
解 原方程可变形为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0，设t＝lg
x，则方程变形为2t2－4t＋1＝0，设t1，t2是方程2t2－4t＋1＝0的两个实根，
则t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，
不妨令t1＝lg
a，t2＝lg
b，则lg
a＋lg
b＝2，
lg
a·lg
b＝，
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12.章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.幂函数的图象与性质
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝
y＝x－2
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
{y|y>0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
偶函数
单调性
在R上单增
在(－∞，0)上单减，在(0，＋∞)上单增
在R上单增
在[0，＋∞)上单增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单减
在(－∞，0)上单增，在(0，＋∞)上单减
图象
INCLUDEPICTURE"W204.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W204.TIF"
\
MERGEFORMAT
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"W205.TIF"
\
MERGEFORMAT
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"W206.TIF"
\
MERGEFORMAT
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"W207.TIF"
\
MERGEFORMAT
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"W208.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"W209.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W209.TIF"
\
MERGEFORMAT
公共点
(0，0)(1，1)
(1，1)
2.指数函数的图象与性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
在(－∞，＋∞)
上是增函数
在(－∞，＋∞)
上是减函数
注意 (1)对于a>1与0(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.
INCLUDEPICTURE"++S204.TIF"
INCLUDEPICTURE
"++S204.TIF"
\
MERGEFORMAT
3.对数函数的图象和性质
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
当x＝1时，y＝0，即图象过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)
上是增函数
在(0，＋∞)
上是减函数
4.指数函数与对数函数的关系
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称(如图).
要点一 函数的图象
函数图象的画法
画法
应用范围
画法技巧
基本函数法
基本初等函数
利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的有关知识，画出特殊点(线)，直接根据函数的图象特征作出图象
变换法
与基本初等函数有关联的函数
弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象
描点法
未知函数或较复杂的函数
列表、描点、连线
【例1】 (1)已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )
(2)函数f(x)＝的图象大致为( )
解析 (1)函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝，此函数在R上为减函数，其图象过点(0，2)，所以C中的图象符合要求.
(2)法一 函数f(x)的定义域是(－∞，2)∪(2，＋∞)，排除C.因为f(0)＝－<0，所以排除B.又当x<0时，ln(x2－4x＋4)＝ln(x－2)2>0，(x－2)5<0，所以f(x)<0，排除D，故选A.
法二 f(x)＝的图象是由函数y＝的图象向右平移两个单位长度得到的，而函数y＝是奇函数，所以函数f(x)＝的图象关于点(2，0)对称，排除B和C.又当x→＋∞时，f(x)→0，所以排除D，故选A.
答案 (1)C (2)A
【训练1】 (1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
(2)函数f(x)＝的大致图象为( )
解析 (1)幂函数f(x)＝xa的图象不过(0，1)点，故A错误；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错误.
(2)由f(1)＝>0可排除D，由f(－1)＝－<0可排除A，又f(9)＝＝3－>f(1)，所以排除C，故选B.
答案 (1)D (2)B
要点二 比较大小
数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.
【例2】 (多选题)若a>b>1，0A.ac>bc
B.abc>bac
C.logac>logbc
D.alogbc>blogac
解析 ∵0∵a>b>1，∴ac>bc，故A正确；
∵0∵a>b>1，∴bc－1>ac－1，又ab>0，∴abc>bac，故B正确；
∵0∵a>b>1，∴logcalogac>logbc，
故C正确；
由C知，0>logac>logbc，
∵a>b>1，∴alogbc答案 ABC
【训练2】 设a＝log3，b＝，c＝2，则( )
A.aB.cC.cD.b解析 a＝log3<0，01，
故有a答案 A
要点三 指数型函数性质的综合问题
对于形如y＝af(x)或y＝f(ax)的复合函数，要注意转化思想的应用，将问题转化为我们熟悉的指数函数，一次函数、二次函数等问题去求解.通常研究函数的单调性、奇偶性、定义域、值域等性质.
【例3】 若函数f(x)＝为奇函数.
(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的定义域；(3)求函数f(x)的值域；(4)讨论函数f(x)的单调性.
解 先将函数f(x)＝化简为
f(x)＝a－.
(1)由奇函数的定义，得f(－x)＋f(x)＝0，
即a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0，
∴a＝－.
(2)∵f(x)＝－－，∴2x－1≠0，即x≠0，
∴函数f(x)＝－－的定义域为{x|x≠0}.
(3)∵x≠0，∴2x－1>－1.
又∵2x－1≠0，∴－1<2x－1<0或2x－1>0，
∴<－－或－－<－，
即函数f(x)的值域为∪.
(4)当x>0时，设0则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵02x1－1>0，2x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)因此f(x)＝－－在(0，＋∞)上单调递增.
由于f(x)是奇函数，从而f(x)＝－－在(－∞，0)上单调递增.
【训练3】 设函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1).
(1)若f(1)>0，求不等式f(－x2＋7)＋f(x－5)<0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)－m≥0在[1，＋∞)上恒成立，求m的最大值.
解 (1)∵f(1)＝a－＝>0，又a>0且a≠1，
∴a>1，∴y＝ax在R上单调递增，y＝a－x在R上单调递减，
故f(x)在R上单调递增.
又∵f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)且x∈R.
∴f(x)是R上的奇函数.
由f(－x2＋7)＋f(x－5)<0，
得f(－x2＋7)∴－x2＋7<5－x，解得x<－1或x>2，
∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
(2)由f(1)＝a－＝，解得a＝－(舍去)或a＝2，则f(x)＝2x－2－x，
∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)－m＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)－m＋2.
令t＝2x－2－x.∵x∈[1，＋∞).∴t≥.g(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即t2－4t－m＋2≥0在t∈上恒成立，亦即m≤t2－4t＋2在t∈上恒成立.
而t2－4t＋2＝(t－2)2－2≥－2，
∴m≤－2，∴m的最大值为－2.
要点四 对数型函数的性质
以对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质为依托，以及利用对数函数的性质进行定义域、值域、单调性、奇偶性等问题的研究时，不要忘记对数中真数应大于0，以免扩大范围.
【例4】 已知函数f(x－1)＝lg.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1).
解 (1)令t＝x－1，则x＝t＋1，
由题意知>0，即0所以f(t)＝lg＝lg，
故f(x)＝lg(－1(2)由(1)知，f(x)＝lg(－1所以f(－x)＝lg＝lg＝lg
＝－lg＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
(3)原不等式可化为lg≥lg(3x＋1)，－1即≥3x＋1>0，－1解得－故原不等式的解集为∪.
【训练4】 已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1).
(1)若f(x)<2，求实数x的取值范围；
(2)若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)当a>1时，由f(x)<2，得0<8－ax所以－a当0a2，所以x<－a.
因为当a>1时，x的取值范围是；
当0(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解得1当0由f(x)>1恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)>1，
且8－2a>0，
所以a>4，且a<4，故a不存在.
综上可知，实数a的取值范围是.章末检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.>
B.>1
C.a2D.ab解析 利用特值法，令a＝－2，b＝2.
则<，A错误；<0，B错误；
a2＝b2，C错误；ab答案 D
2.不等式<的解集是( )
A.{x|x<2}
B.{x|x>2}
C.{x|0D.{x|x<0或x>2}
解析 由<，得－＝<0，
即x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D.
答案 D
3.如果二次函数y＝x2－(k＋1)x＋k＋4有两个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A.(－∞，－3)∪(5，＋∞)
B.(－∞，－5)∪(3，＋∞)
C.(－3，5)
D.(－5，3)
解析 由Δ＝(k＋1)2－4(k＋4)>0得k2－2k－15>0，
∴k>5或k<－3.
答案 A
4.已知a>0，b>0，且满足＋＝1，则ab的最大值是( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析 因为a>0，b>0，且满足＋＝1，
所以1≥2，化为ab≤3，当且仅当a＝，b＝2时取等号，则ab的最大值是3.
答案 B
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.aB.v＝
C.D.v＝
解析 设甲、乙两地的距离为s，
则v＝＝.
由于aa，
又＋>2，∴v<.
故a答案 A
6.已知a>0，b>0，＋＝1，若不等式2a＋b≥3m恒成立，则m的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.7
解析 ∵2a＋b＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9(当且仅当a＝b时，取等号).∴3m≤9，即m≤3.
答案 C
7.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A.m>
B.m<
C.m<1
D.m>1
解析 ∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，
又∵m>?Δ＝1－4m<0，
所以“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件，故选A.
答案 A
8.设实数1A.{x|3aB.{x|a2＋2C.{x|3D.{x|3解析 由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)·(x－a2－2)<0，∵1a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为{x|a2＋2答案 B
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.若<<0，则下列不等式中，正确的不等式有( )
A.a＋bB.|a|>|b|
C.aD.＋>2
解析 ∵<<0，∴b－a>0，则|b|>|a|，故B错误；C显然错误；由于>0，>0，∴＋>2＝2，故D正确.故选AD.
答案 AD
10.已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则( )
A.a＝2
B.a＝1
C.b＝5
D.b＝1
解析 y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y≥2－5＝2×3－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
此时a＝2，b＝1.
答案 AD
11.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是( )
A.ab≤1
B.＋≤
C.a2＋b2≥2
D.＋≥2
解析 因为ab≤＝1，所以A正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故B不正确；a2＋b2≥＝2，所以C正确；＋＝＝≥2，所以D正确.
答案 ACD
12.下列命题是假命题的是( )
A.不等式>1的解集为{x|x<1}
B.函数y＝x2－2x－8的零点是(－2，0)和(4，0)
C.若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2
D.x2－3x＋2<0是x<2成立的充分不必要条件
解析 由>1得<0，∴解集为(0，1)，故A错误；二次函数的零点是指其图象与x轴交点的横坐标，应为－2和4，故B错误；C
中，≥2，故y＝＋≥2.等号成立的条件为x2＋4＝1，无解，故C错误；D中，由x2－3x＋2<0得1答案 ABC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________.
解析 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.
答案 (－∞，1]∪[9，＋∞)
14.已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，则实数m的取值范围是________.
解析 要满足y＝x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，
只需即
解得－答案
15.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨，和最小值为________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则y＝·4＋4x＝＋4x≥2＝160(万元)，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.
答案 20 160
16.若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是________.
解析 依题意有
解得m>4.
答案 (4，＋∞)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)当x>3时，求的最小值.
解 ∵x>3，∴x－3>0.
∴＝
＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝，
即x＝6时，等号成立，
∴的最小值为24.
18.(本小题满分12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解 (1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴
解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，
即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式的解集为R，
则b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
19.(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解 (1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，
则解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，原不等式的解集为{x|2②当c<2时，原不等式的解集为{x|c③当c＝2时，原不等式无解.
综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2当c<2时，原不等式的解集为{x|c当c＝2时，原不等式的解集为?.
20.(本小题满分12分)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2
000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
解 (1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1
000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
(2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x>25时，a≥＋＋有解.
由于＋≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立.
所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
21.(本小题满分12分)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立.
证明 因为a，b，c均为正数，
所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋
≥ab＋bc＋ac＋＋＋＝＋＋≥6.③
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，
当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立.故当且仅当a＝b＝c＝时，原不等式等号成立.
所以原不等式成立.
22.(本小题满分12分)已知不等式>0(a∈R).
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若当x＝－a时不等式成立，求a的取值范围.
解 (1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1.
②当a>0时，不等式可化为
(x＋1)>0，
解得x<－1或x>.
③当a<0时，不等式可化为(x＋1)<0.
若<－1，即－1则若＝－1，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若>－1，即a<－1，则－1综上所述，当a<－1时，
不等式的解集为；
当a＝－1时，不等式解集为?；
当－1当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；
当a>0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪.
(2)∵当x＝－a时不等式成立，
∴>0，
即－a＋1<0，
∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).章末检测卷(六)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.下列函数中，在区间(0，1)上为增函数的是( )
A.y＝2x2－x＋3
B.y＝
C.y＝x
D.y＝logx
解析 对于y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数.
答案 C
2.函数y＝的定义域为( )
A.[1，＋∞)
B.(1，＋∞)
C.
D.
解析 要使函数有意义，需满足
∴∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞).
答案 A
3.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
解析 ∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.
答案 A
4.函数f(x)＝lg(－1A.(－1，1)
B.(0，0)
C.(1，－1)
D.(1，1)
解析 ∵f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
又－1∴f(x)＝lg的图象关于(0，0)对称.
答案 B
5.已知函数f(x)＝log2|ax－2|(a≠0)的图象关于直线x＝2对称，则函数f(x)图象的大致形状为( )
解析 因为函数f(x)＝log2|ax－2|(a≠0)的图象关于直线x＝2对称，所以f(0)＝f(4)，即log2|0－2|＝log2|4a－2|，得a＝1，所以f(x)＝log2|x－2|，易知f(x)＝log2|x－2|在(2，＋∞)上单调递增，从而排除B，D.又当x＝2时，函数f(x)无意义，所以排除C，故选A.
答案 A
6.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
A.f>f(2－)>f(2－)
B.f>f(2－)>f(2－)
C.f(2－)>f(2－)>f
D.f(2－)>f(2－)>f
解析 因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34).
又因为log34>1>2－>2－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，
所以f(log34)答案 C
7.已知指数函数y＝，当x∈(0，＋∞)时，有y>1，则关于x的不等式loga(x－1)≤loga(6－x)的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵y＝在x∈(0，＋∞)时，有y>1，
∴>1，∴0于是由loga(x－1)≤loga(6－x)，
得解得≤x<6，
∴原不等式的解集为.故选D.
答案 D
8.设a>1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.(2，＋∞)
B.[2，＋∞)
C.(4，＋∞)
D.[4，＋∞)
解析 设u＝ax2－x，由题意知u＝ax2－x在上是增函数，则有≤，即a≥1，于是a>1.
又y＝logau是对数函数，故u＝ax2－x在上恒大于零，即ax2－x>0，∴a>在上恒成立，则a>2.综上知a>2.
答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.若loga2A.0B.0C.a>b>1
D.0解析 若loga2与logb2同号，则由loga2则01，∴D正确.
答案 BCD
10.设函数y＝ln(x2－x＋1)，则下列命题中正确的是( )
A.函数的定义域为R
B.函数是增函数
C.函数的图象关于直线x＝对称
D.函数的值域是
解析 由x2－x＋1＝＋>0恒成立，故A正确，函数在上是减函数，在上是增函数，故B错误.
由x2－x＋1＝＋≥，可知函数的值域为，且函数关于x＝对称.
答案 ACD
11.已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足( )
A.f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)
B.f(－2)C.f(2x)＝2f(x)g(x)
D.[f(x)]2－[g(x)]2＝1
解析 f(－x)＝＝－＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，故A正确；
f(x)为增函数，则f(－2)g(－2)，故B正确；
2f(x)·g(x)＝2×·＝2×＝f(2x)，故C正确；
[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]＝ex·(－e－x)＝－1，故D错误.
答案 ABC
12.给出下列结论，其中正确的是( )
A.函数y＝的最大值为
B.已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在(0，1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1，2)
C.在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称
D.函数y＝x－在(－∞，0)上是增函数
解析 A中，－x2＋1≤1，∴y＝的最小值为.故A错误；
由y＝loga(2－ax)在(0，1)上是减函数，则∴1C中，y＝2x与y＝log2x互为反函数，图象关于y＝x对称.D中，函数y＝x－是偶函数，且在(0，＋∞)上递减，所以在(－∞，0)上是增函数.C、D正确.
答案 CD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)偶函数；
(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；
(3)在(－∞，0)上是增函数.
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号).
解析 对于函数①f(x)＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上是减函数，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是增函数，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件.
答案 ②
14.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.
解析 当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.
答案 [0，＋∞)
15.已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________.
解析 因为要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)时，恒有f(x)≥0，所以有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)时恒成立，即2x≥b＋1在x∈[1，＋∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b＋1成立即可，解得b≤1.
答案 (－∞，1]
16.已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________；若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 f(f(3))＝f(log3)＝f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，
即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝
的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
答案 －2 ∪
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝＋的定义域为A.
(1)求集合A；
(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.
解 (1)要使f(x)有意义，需满足所以
所以≤x≤4，所以集合A＝.
(2)设t＝log2x，因为x∈，所以t∈[－1，2]，
所以y＝t2－2t－1，t∈[－1，2].
因为y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2的对称轴为t＝1∈[－1，2]，
所以当t＝1时，y有最小值－2.
所以当t＝－1时，y有最大值2.
所以当x＝2时，g(x)的最小值为－2.
当x＝时，g(x)的最大值为2.
18.(本小题满分12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点.
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小.
解 (1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，∴g(x)＝logax，由g(x)过点，
所以loga2＝，所以a＝2，解得a＝2.
所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x.
(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，g(0.2)＝log20.2<0，
又g(1.5)＝log21.5且g(1.5)＝1og21.5>log21＝0，
所以0所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2).
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)试确定函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的不等式＋－m≥0在区间(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)把(1，6)，(3，24)代入f(x)＝b·ax，得结合a>0，且a≠1，解得∴f(x)＝3×2x.
(2)要使＋≥m在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝＋在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.
∵函数y＝＋在区间(－∞，1]上单调递减，
∴当x＝1时，y＝＋取得最小值，
∴只需m≤即可.
即实数m的取值范围为.
20.(本小题满分12分)函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)若函数y＝f(x)的最小值为－2，求a的值.
解 要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]
＝log(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4].
∵－3∵0由loga4＝－2，得a－2＝4，∴a＝4－＝.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)当x∈(0，1]时，t·f(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围.
解 (1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝＝0，解得a＝2.
∴f(x)＝，经检验，f(x)为奇函数.
(2)由(1)得f(x)＝＝＝1－.
又∵2x>0，∴2x＋1>1，∴0<<2，
∴－1<1－<1，∴函数f(x)的值域为(－1，1).
(3)由(1)可得f(x)＝，当00，
∴当0令m＝2x－1，0易知y＝m－＋1在m∈(0，1]上单调递增，
∴当m＝1时y有最大值0，∴t≥0，
故t的取值范围是[0，＋∞).
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x).
(1)求函数f(x)的定义域，并证明f(x)是定义域上的奇函数；
(2)用定义证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)求不等式f(2x－5)＋f(2－x)<0的解集.
(1)解 由对数函数的定义得得
即－1∴函数f(x)的定义域为(－1，1).
∵f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)＝－f(x)，
∴f(x)是定义域上的奇函数.
(2)证明 设－1则f(x1)－f(x2)＝lg(1＋x1)－lg(1－x1)－lg(1＋x2)＋lg(1－x2)＝lg.
∵－10<1－x2<1－x1，
于是0<<1，0<<1，
则0<<1，∴lg<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)是(－1，1)上的增函数.
(3)解 ∵f(x)在(－1，1)上是增函数且为奇函数，
∴不等式f(2x－5)＋f(2－x)<0可转化为f(2x－5)<－f(2－x)＝f(x－2)，∴
解得2(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)＝＋的定义域是( )
A.[－1，＋∞)
B.(－∞，0)∪(0，＋∞)
C.[－1，0)∪(0，＋∞)
D.R
解析 解得－1≤x<0或x>0，区间表示为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选C.
答案 C
2.下列函数中与函数y＝x(x≥0)有相同图象的一个是( )
A.y＝
B.y＝()2
C.y＝
D.y＝
解析 y＝＝|x|，x∈R；y＝()2＝x，x≥0；y＝＝x，x∈R；y＝＝，x>0，所以选B.
答案 B
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
A.(－3，－1)∪(1，4)
B.(－5，－3)∪(－1，1)
C.(－3，－1)，(1，4)
D.(－5，－3)，(－1，1)
解析 在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4).
答案 C
4.已知函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，则y＝f(x)的单调增区间是( )
A.(－1，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.(2，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以对称轴为直线x＝＝0，解得m＝0.所以f(x)＝x2＋1，所以y＝f(x)的单调增区间是(0，＋∞).
答案 B
5.已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A.x＋1
B.2x－1
C.－x＋1
D.x＋1或－x－1
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝x＋2，
∴∴故选A.
答案 A
6.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A.[－4，0)
B.(－∞，－2]
C.[－4，－2]
D.(－∞，0)
解析 ∵f(x)在R上为增函数，
∴需满足
即－4≤a≤－2，故选C.
答案 C
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝x2＋2x，若f(3－2a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－∞，1)
C.(－1，＋∞)
D.(1，＋∞)
解析 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x是增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以由f(3－2a)>f(a)得3－2a>a，解得a<1.
答案 B
8.二次函数f(x)＝ax2＋2a(a≠0)是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为( )
A.gB.g(0)C.gD.g(3)解析 由题意得解得a＝1，
所以f(x)＝x2＋2，
所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以g(0)＝g(2).
又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以g所以g答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9.下列说法中正确的有( )
A.若x1，x2∈I，对任意的x1B.函数y＝x2在R上是减函数
C.函数y＝－在定义域上是增函数
D.y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
解析 对于B，在(－∞，0]上是减函数；对于C，在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f(－3)>f(5)，故不正确.
答案 AD
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最大值为
B.f(x)在(－1，0)上是增函数
C.f(x)>0的解集为(－1，1)
D.f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]
解析 x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋，
∴f(x)的最大值为，A正确；f(x)在上是减函数，B错误；f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，x<0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确.故选AD.
答案 AD
11.已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](aA.有最大值4
B.有最小值－4
C.有最大值3
D.有最小值－3
解析 法一 根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，故选BC.
法二 当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，∴－4≤f(x)≤3，
即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，
故选BC.
答案 BC
12.已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A.(－∞，－1)
B.(－3，－1)
C.(0，1)
D.(1，3)
解析 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，
所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1
＝
且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，
所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1).故选BC.
答案 BC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.
解析 设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，
则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，
于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，
所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
答案 －10
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2，则函数f(x)＝________，f(－4)＝________(本题第一空3分，第二空2分).
解析 令x<0，则－x>0，∵x>0时，f(x)＝x2＋2，
∴f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2，
又f(x)为定义在R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2.
当x＝0时，f(x)＝0.
∴f(x)＝
∴f(－4)＝－(－4)2－2＝－18.
答案 －18
15.函数y＝f(x)在(－2，2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________.
解析 由题意知解得答案
16.已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________.
解析 当x>1时，f(x)＝x2是增函数，若f(x)是R上的增函数，则f(x)＝x－1在(－∞，1]上是增函数，且满足×1－1≤12，因此解得4≤a<8.
答案 [4，8)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)求f(－1)，f，f(4)的值；
(2)求函数的定义域、值域.
解 (1)易知f(－1)＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3.
(2)作出图象如图所示.利用数形结合易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}.
18.(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值.
解 (1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，
由于f(f(x))＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，
故解得故f(x)＝－3x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，
故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，
当－1当a>5时，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1，
综上，ymax＝
19.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝
(1)若F(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.
解 (1)由已知可知：
解得
则F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，则g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
则g(x)的对称轴为x＝.
由于g(x)在[－2，2]上是单调函数，
故≤－2或≥2，即k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
设任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1，x2∈[1，＋∞)，x11，2x1x2－1>0，x1－x2<0，
所以<0，即f(x1)即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为
f(1)＝1＋＋2＝.
(2)因为f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).
21.(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)如图已画出函数y＝f(x)在y轴左侧的图象，请补充完整函数y＝f(x)的图象，并根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；
(2)写出函数y＝f(x)的解析式和值域；
(3)若函数y＝f(x)在[a，b](a解 (1)根据偶函数图象关于y轴对称的特点，可知函数y＝f(x)的图象如图所示.
由图象可知函数的单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞).
(2)设x>0，则－x<0，f(－x)＝x2－2x.
∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)＝x2－2x，
∴f(x)＝值域为{y|y≥－1}.
(3)若f(x)＝3，则x＝－3或x＝3.
又f(－1)＝f(1)＝－1，
结合图象可知，当a＝－3，－1≤b≤3时，
函数值域为[－1，3].此时2≤b－a≤6.
当b＝3，－3≤a≤1时，函数值域为[－1，3].
此时，2≤b－a≤6，综上2≤b－a≤6.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解 (1)由题意，得
∴(经检验符合题意)，故f(x)＝.
(2)任取x1，x2∈(－1，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq
\f(x1,1＋x)－eq
\f(x2,1＋x)
＝eq
\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（1＋x）（1＋x）).∵－1∴x1－x2<0，1＋x>0，1＋x>0.
又－10.
∴eq
\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（1＋x）（1＋x）)<0，即f(x1)∴f(x)在(－1，1)上是增函数.
(3)由(2)知f(x)在(－1，1)上是增函数，又f(x)在(－1，1)上为奇函数，∴f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，
∴解得0∴不等式的解集为{t|0章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.幂函数的图象与性质
单调性
在R上单增
在(－∞，0)上单减，在(0，+∞)上单增
在R上单增
在[0，＋∞)上单增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单减
在(－∞，0)上单增，在(0，+∞)上单减
图象
公共点
(0，0)(1，1)
(1，1)
2.指数函数的图象与性质
?
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性
质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
在(－∞，＋∞)
上是增函数
在(－∞，＋∞)
上是减函数
注意 (1)对于a>1与0(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.
3.对数函数的图象和性质
?
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性
质
当x＝1时，y＝0，即图象过定点(1，0)
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
在(0，＋∞)
上是增函数
在(0，＋∞)
上是减函数
4.指数函数与对数函数的关系
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称(如图).
要点一 函数的图象
函数图象的画法
画法
应用范围
画法技巧
基本函数法
基本初等函数
利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的有关知识，画出特殊点(线)，直接根据函数的图象特征作出图象
变换法
与基本初等函数有关联的函数
弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象
描点法
未知函数或较复杂的函数
列表、描点、连线
【例1】 (1)已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是( )
答案 (1)C (2)A
【训练1】 (1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是
( )
解析 (1)幂函数f(x)＝xa的图象不过(0，1)点，故A错误；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错误.
答案 (1)D (2)B
要点二 比较大小
数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.
【例2】 (多选题)若a>b>1，0A.ac>bc
B.abc>bac
C.logac>logbc
D.alogbc>blogac
解析 ∵0∵a>b>1，∴ac>bc，故A正确；
∵0∵a>b>1，∴bc－1>ac－1，又ab>0，∴abc>bac，故B正确；
∵0∵a>b>1，∴logcalogac>logbc，
故C正确；
由C知，0>logac>logbc，
∵a>b>1，∴alogbc答案 ABC
A.aB.cC.cD.b答案 A
要点三 指数型函数性质的综合问题
对于形如y＝af(x)或y＝f(ax)的复合函数，要注意转化思想的应用，将问题转化为我们熟悉的指数函数，一次函数、二次函数等问题去求解.通常研究函数的单调性、奇偶性、定义域、值域等性质.
(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的定义域；(3)求函数f(x)的值域；(4)讨论函数f(x)的单调性.
(3)∵x≠0，∴2x－1>－1.
又∵2x－1≠0，∴－1<2x－1<0或2x－1>0，
(4)当x>0时，设0∵02x1－1>0，2x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)【训练3】 设函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1).
∴a>1，∴y＝ax在R上单调递增，y＝a－x在R上单调递减，
故f(x)在R上单调递增.
又∵f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)且x∈R.
∴f(x)是R上的奇函数.
由f(－x2＋7)＋f(x－5)<0，
得f(－x2＋7)∴－x2＋7<5－x，解得x<－1或x>2，
∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)－m＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)－m＋2.
而t2－4t＋2＝(t－2)2－2≥－2，
∴m≤－2，∴m的最大值为－2.
要点四 对数型函数的性质
以对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质为依托，以及利用对数函数的性质进行定义域、值域、单调性、奇偶性等问题的研究时，不要忘记对数中真数应大于0，以免扩大范围.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1).
解 (1)令t＝x－1，则x＝t＋1，
所以f(x)为奇函数.
【训练4】 已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1).
(1)若f(x)<2，求实数x的取值范围；
(2)若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)当a>1时，由f(x)<2，得0<8－ax(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，
当0由f(x)>1恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)>1，
且8－2a>0，
所以a>4，且a<4，故a不存在.