6.3 对数函数
第一课时 对数函数(一)
课标要求
素养要求
1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象和性质.
理解对数函数的概念及图象、性质，发展学生的数学抽象素养，直观想象素养及数学运算素养.
新知探究
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8
000万年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.
INCLUDEPICTURE"J47.TIF"
INCLUDEPICTURE
"J47.TIF"
\
MERGEFORMAT
同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！
问题 (1)考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝logP(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？
(2)函数t＝logP的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？
提示 (1)t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝logP，都有唯一的值与之相对应，故t是P的函数.
(2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量.
1.对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数、定义域是(0，＋∞).
2.对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0
图象
定义域
(0，＋∞)
性
值域
R
质
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当01时，y>0
当00，当x>1时，y<0
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
拓展深化
[微判断]
1.函数y＝logx是对数函数.(×)
提示 对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以错误.
2.y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称.(√)
3.对数函数的图象一定在y轴右侧.(√)
[微训练]
1.若对数函数的图象过点P(9，2)，则此对数函数的解析式为________.
解析 设对数函数为y＝logax(a>0且a≠1)，∴2＝loga9，∴a＝3，
∴解析式为y＝log3x.
答案 y＝log3x
2.函数f(x)＝loga(2x－1)＋2的图象恒过定点________.
解析 令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图象恒过定点(1，2).
答案 (1，2)
3.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域为________.
解析 由x－1>0，得x>1.
答案 (1，＋∞)
[微思考]
1.对数函数的解析式中的底数能否等于0或小于0?
提示 因为y＝logax?x＝ay，而在指数函数中底数a需要满足a>0且a≠1，故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0或小于0，且不为1.
2.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与y＝logx(a>0且a≠1)有什么关系？
提示 在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图象与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称.
题型一 对数函数的概念
【例1】 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln
x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
解析 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，∴⑥也不是对数函数.只有③④符合对数函数的定义.
(2)由题意设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，则f(4)＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝，f(x)＝logx，所以f(8)＝log8＝－3.
答案 (1)B (2)－3
规律方法 判断一个函数是对数函数的方法
【训练1】 若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
解析 由题意可知
解得a＝4.
答案 4
题型二 对数型函数的定义域
【例2】 (1)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为________.
(2)函数f(x)＝的定义域为________.
解析 (1)若使函数式有意义需满足条件：?解得－1(2)由题意有解得x>－且x≠0，则函数的定义域为∪(0，＋∞).
答案 (1)(－1，2) (2)∪(0，＋∞)
规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【训练2】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x).
解 (1)要使函数有意义，需满足
解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).
题型三 比较对数值大小
【例3】 比较下列各组数值的大小：
(1)log与log；(2)log3与log3；(3)log0.3与log3；(4)loga5.1与loga5.9(a>0且a≠1).
解 (1)∵y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，且<，
∴log>log.
(2)∵当x∈(1，＋∞)时，y＝logx的图象在y＝logx图象的上方，
∴log3(3)由对数的性质知log0.3>0>log3，∴log0.3>log3.
(4)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1loga5.9.
规律方法 比较对数值大小的常用方法
(1)底数相同、真数不同时，用对数函数的单调性来比较.
(2)底数不同、真数相同时，用对数函数的图象与底数的关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的对数来比较.
(3)当底数和真数都不同时，则寻求中间值作为媒介进行比较.
(4)对于多个对数的大小比较，应先根据每个对数的结构特征以及它们与“0”和“±1”的大小情况进行分组，再比较各组对数值的大小.
(5)当底数与1的大小关系不明确时，要对底数分情况讨论.
【训练3】 (1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是( )
A.bB.aC.cD.b(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )
A.loga5.1B.log2.1>log2.2
C.log1.1(a＋1)D.log32.9解析 (1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，故a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b(2)对于A，因为a和1的大小关系不确定，无法确定loga5.1与loga5.9的大小，故A不成立；对于B，因为y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，所以成立；对于C，因为y＝log1.1x在(0，＋∞)上是增函数，所以不成立；对于D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.
答案 (1)D (2)B
一、素养落地
1.通过学习对数函数的概念，培养数学抽象素养，通过运用函数的图象与简单的性质解决问题，提升直观想象素养及数学运算素养.
2.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0，且a≠1)这种形式.
3.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
4.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
二、素养训练
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝loga(2x)
B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1
D.y＝lg
x
解析 选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
答案 D
2.函数y＝的定义域为( )
A.(－∞，2)
B.(2，＋∞)
C.(2，3)∪(3，＋∞)
D.(2，4)∪(4，＋∞)
解析 要使原函数有意义，则解得23，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C.
答案 C
3.若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标是________.
解析 令2－x＝1，即x＝1，得y＝2loga1＋3＝3，故点P的坐标为(1，3).
答案 (1，3)
4.已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f＝________.
解析 设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
则loga＝－2，∴＝，即a＝，∴f(x)＝logx，
∴f()＝log＝log2()2＝log22＝.
答案
5.求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x).
解 (1)由得－3∴函数的定义域是(－3，3).
(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2).
基础达标
一、选择题
1.给出下列函数：
①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中是对数函数的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.
答案 A
2.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A.
B.(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞)
D.∪(1，＋∞)
解析 由可得－答案 A
3.函数y＝1＋log(x－1)的图象恒过定点( )
A.(1，1)
B.(1，0)
C.(2，1)
D.(2，0)
解析 令x－1＝1，得x＝2，此时y＝1，故函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点(2，1).
答案 C
4.设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>b>a
解析 a＝log2π>1，b＝logπ<0，c＝π－2∈(0，1)，所以a>c>b.
答案 C
5.已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若f(x)的图象过点(6，3)，则f(2)的值为( )
A.－2
B.2
C.
D.－
解析 将(6，3)代入f(x)＝loga(x＋2)，得3＝loga(6＋2)＝loga8，即a3＝8.∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
答案 B
二、填空题
6.函数y＝log(3x－a)的定义域是，则a＝________.
解析 由y＝log(3x－a)知3x－a>0，即x>.
∴＝，即a＝2.
答案 2
7.函数f(x)＝的定义域是________.
解析 由题意知即
∴x≥4，∴函数f(x)的定义域为[4，＋∞).
答案 [4，＋∞)
8.函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点的坐标为________.
解析 令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，
故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1，1).
答案 (－1，1)
三、解答题
9.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(x－1)(3－x)；
(2)f(x)＝＋log2(3x－1).
解 (1)由题意知解得1(2)由题意知解得x>且x≠1，故f(x)的定义域为∪(1，＋∞).
10.比较下列各组数的大小：
(1)log5与log5；(2)log2与log2；(3)log23与log54.
解 (1)法一 对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5法二 因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)由于log2＝，log2＝.
又对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且0<<<1，
所以0>log2>log2，所以<，
所以log2(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.
能力提升
11.已知loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围是________.
解析 由题意知loga(3a－1)>0＝loga1.
当a>1时，y＝logax是增函数，
∴3a－1>1，解得a>，∴a>1；
当0∴解得综上所述，a的取值范围是.
答案
12.已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x.
(1)当x∈(－∞，0)时，求函数f(x)的解析式；
(2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间，并指出单调性.
解 (1)设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝log2(－x)，
又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，得f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0)).
(2)函数图象如图.
f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0).
创新猜想
13.(多选题)下列各式正确的是( )
A.log>log
B.log3π>logπ3
C.log0.32>log0.33
D.log3.21.7>log3.20.7
解析 y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，而>，故loglog33＝1＝logππ>logπ3.C、D正确.
答案 BCD
14.(多空题)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝________；若f(f(x))＝x，则x的取值范围是________.
解析 f(－1)＝3－1>0，故f(f(－1))＝f(3－1)＝log33－1＝－1.
当x≤0时，f(x)＝3x>0，f(f(x))＝f(3x)＝log33x＝x；
当0x<0，f(f(x))＝f(log3x)＝3log3x＝x；
当x＝1时，f(x)＝log31＝0，f(f(x))＝f(0)＝30＝1；
当x>1时，f(x)＝log3x>0，f(f(x))＝log3(log3x)≠x，故使f(f(x))＝x的x的取值范围是(－∞，1].
答案 －1 (－∞，1](共49张PPT)
第二课时 对数函数(二)
课标要求
素养要求
1.进一步理解对数函数的图象和性质.
2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题.
结合对数函数的图象理解反函数的概念，掌握对数型函数的有关性质，发展直观想象素养、数学抽象素养及数学运算素养.
新知探究
观察图形，回答下列问题：
图(1) 图(2)
问题 (1)观察图(1)所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x图象，你能得出什么结论？
(2)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图(2)所示，那么a，b，c的大小关系如何？
提示 (1)对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0(2)由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logbx的图象在(1，＋∞)上比y＝logcx的图象靠近x轴，所以b反函数
(1)当a>0，a≠1时，y＝logax称为______的反函数，反之，y＝ax也称为________的反函数.一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么反函数记作____________.
(2)互为反函数的两个函数，图象关于y＝x对称.
y＝ax
y＝logax
y＝f－1(x)
拓展深化
[微判断]
2.ln
x<1的解集为(－∞，e).(
)
提示 由ln
x<1，解得03.y＝ax与x＝logay的图象相同(a>0且a≠1).(
)
4.由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位可得y＝log2x＋1的图象.(
)
提示 向左平移1个单位可得y＝log2(x＋1)的图象.
×
×
√
×
[微训练]
2.已知log7(2x)解析 由0<2x答案 (0，2)
答案 (－∞，0)
[微思考]
1.不同底的对数函数y＝logax与y＝logbx，a≠b的图象之间有何相对位置关系？
提示 作直线y＝1，与各图象会有交点，底数越大，交点越靠右，简称“底大图右”.
2.y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，它们的性质有何关系？
提示 ①y＝ax的定义域为y＝logax的值域，y＝ax的值域为y＝logax的定义域.
②y＝ax上任一点为(m，n)，则点(n，m)必在其反函数y＝logax的图象上，即互为反函数的两个函数的图象关于y＝x对称.
③互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.
题型一 对数函数的图象及应用
【例1】 (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
答案 C
对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.
(2)解 ∵f(x)＝loga|x|，
∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，
∴f(x)＝log5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示.
【迁移1】 (变换条件)将本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析 ∵在y＝loga(－x)中，－x>0，∴x<0，
∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；
当a>1时，y＝loga(－x)是减函数，
答案 C
【迁移2】 (变换条件)将本例(2)中的函数改为f(x)＝loga|x＋1|，且满足f(－5)＝1，求解析式并画其图象.
解 由f(－5)＝loga|－5＋1|＝1得a＝4，
即f(x)＝log4|x＋1|.
其图象画法：①先作y＝log4x的图象，②将y＝log4x的图象向左平移1个单位得y＝log4(x＋1)的图象，③再将y＝log4(x＋1)的图象关于x＝－1对称，如图所示.
规律方法 有关对数函数图象间的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.
【训练1】 作出下列函数的大致图象：
(1)y＝|log2x|；(2)y＝|log2(x－1)|；
(3)y＝|log2(1－x)|.
解 (1)第一步：作函数y＝log2x的图象；
第二步：把函数y＝log2x的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(位于x轴和x轴上方的不变)，即得y＝|log2x|的图象(如图①).
(2)第一步和第二步同(1)；
第三步：把y＝|log2x|的图象向右平移1个单位长度即得y＝|log2(x－1)|的图象(如图②).
(3)第一步：作函数y＝log2x的图象；
第二步：把函数y＝log2x的图象沿y轴翻折，
得y＝log2(－x)的图象；
第三步：把y＝log2(－x)的图象向右平移1个单位长度，得函数y＝log2(1－x)的图象；
第四步：把y＝log2(1－x)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(x轴上及x轴上方的不变)，即得y＝|log2(1－x)|的图象(如图③).
题型二 对数型函数的单调性
角度1 解对数不等式
【例2－1】 解下列不等式.
(2)因为log3x<1＝log33，
所以原不等式的解集为{x|0所以原不等式的解集为{x|0当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，
当0所以x2<1，所以－1因此函数的定义域为(－1，1).
令t＝1－x2，x∈(－1，1).
单调递增区间为[0，1).
角度3 由单调性求参数
【例2－3】 (1)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，3)
C.(1，3]
D.[3，＋∞)
解析 (1)函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0，2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1答案 (1)B (2)(－8，－6]
规律方法 1.对数不等式的三种类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解.
(3)形如logax>logbx的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
2.若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0【训练2】 (1)已知log0.3(3x)答案 A
题型三 对数型函数性质的综合问题
角度1 值域问题
【例3－1】 求下列函数的值域.
(1)y＝log2(x2－4x＋6)；
(2)y＝log2(x2－4x－5).
解 (1)令u＝x2－4x＋6.∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1，
∴函数的值域是[1，＋∞).
(2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，∴x2－4x－5能取到所有正实数，
∴函数y＝log2(x2－4x－5)的值域是R.
角度2 奇偶性判断
所以f(－x)＝－f(x)，
角度3 综合应用
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
规律方法 (1)对于y＝logaf(x)型函数，在函数定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单.
【训练3】 已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
解 (1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设0因此log4(4x1－1)即f(x1)一、素养落地
1.由对数函数的图象，反函数概念，研究对数型函数的性质，发展直观想象素养，数学抽象素养及数学运算素养.
2.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和03.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
4.y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定).
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.
二、素养训练
1.函数y＝ax与y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )
解析 函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B；当a>1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，当0答案 A
答案 D
3.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________.
解 设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.(共34张PPT)
6.3 对数函数
第一课时 对数函数(一)
课标要求
素养要求
1.理解对数函数的概念.
2.初步掌握对数函数的图象和性质.
理解对数函数的概念及图象、性质，发展学生的数学抽象素养，直观想象素养及数学运算素养.
新知探究
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8
000万年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.
(2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量.
1.对数函数的概念
函数_________
(a>0，且a≠1)叫做对数函数、定义域是______________.
y＝logax
(0，＋∞)
2.对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质
?
a>1
0图象
?
性
质
?
?
定义域
______________
值域
____
过定点
过定点____________，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0当x>1时，________
当0当x>1时，________
单调性
在(0，＋∞)上是________
在(0，＋∞)上是________
(0，＋∞)
R
(1，0)
y<0
y>0
y>0
y<0
增函数
减函数
拓展深化
[微判断]
提示 对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以错误.
2.y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称.(
)
3.对数函数的图象一定在y轴右侧.(
)
×
√
√
[微训练]
1.若对数函数的图象过点P(9，2)，则此对数函数的解析式为________.
解析 设对数函数为y＝logax(a>0且a≠1)，∴2＝loga9，∴a＝3，
∴解析式为y＝log3x.
答案 y＝log3x
2.函数f(x)＝loga(2x－1)＋2的图象恒过定点________.
解析 令2x－1＝1，得x＝1，又f(1)＝2，故f(x)的图象恒过定点(1，2).
答案 (1，2)
3.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域为________.
解析 由x－1>0，得x>1.
答案 (1，＋∞)
[微思考]
1.对数函数的解析式中的底数能否等于0或小于0?
提示 因为y＝logax?x＝ay，而在指数函数中底数a需要满足a>0且a≠1，故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0或小于0，且不为1.
题型一 对数函数的概念
【例1】 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln
x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
解析 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，∴⑥也不是对数函数.只有③④符合对数函数的定义.
答案 (1)B (2)－3
规律方法 判断一个函数是对数函数的方法
【训练1】 若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
答案 4
规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【训练2】 求下列函数的定义域：
解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4).
题型三 比较对数值大小
【例3】 比较下列各组数值的大小：
(4)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1loga5.9.
规律方法 比较对数值大小的常用方法
(1)底数相同、真数不同时，用对数函数的单调性来比较.
(2)底数不同、真数相同时，用对数函数的图象与底数的关系来比较，也可用换底公式转化为底数相同的对数来比较.
(3)当底数和真数都不同时，则寻求中间值作为媒介进行比较.
(4)对于多个对数的大小比较，应先根据每个对数的结构特征以及它们与“0”和“±1”的大小情况进行分组，再比较各组对数值的大小.
(5)当底数与1的大小关系不明确时，要对底数分情况讨论.
【训练3】 (1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是( )
A.bB.aC.cD.b(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )
解析 (1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，故a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b答案 (1)D (2)B
一、素养落地
1.通过学习对数函数的概念，培养数学抽象素养，通过运用函数的图象与简单的性质解决问题，提升直观想象素养及数学运算素养.
2.判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0，且a≠1)这种形式.
3.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
4.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
二、素养训练
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y＝loga(2x)
B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1
D.y＝lg
x
解析 选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合.
答案 D
A.(－∞，2)
B.(2，＋∞)
C.(2，3)∪(3，＋∞)
D.(2，4)∪(4，＋∞)
答案 C
3.若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标是________.
解析 令2－x＝1，即x＝1，得y＝2loga1＋3＝3，故点P的坐标为(1，3).
答案 (1，3)
解析 设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
5.求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x).
(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2).第二课时 对数函数(二)
课标要求
素养要求
1.进一步理解对数函数的图象和性质.2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题.
结合对数函数的图象理解反函数的概念，掌握对数型函数的有关性质，发展直观想象素养、数学抽象素养及数学运算素养.
新知探究
观察图形，回答下列问题：
图(1) 图(2)
问题 (1)观察图(1)所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x图象，你能得出什么结论？
(2)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图(2)所示，那么a，b，c的大小关系如何？
提示 (1)对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0(2)由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logbx的图象在(1，＋∞)上比y＝logcx的图象靠近x轴，所以b反函数
(1)当a>0，a≠1时，y＝logax称为y＝ax的反函数，反之，y＝ax也称为y＝logax的反函数.一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么反函数记作y＝f－1(x).
(2)互为反函数的两个函数，图象关于y＝x对称.
拓展深化
[微判断]
1.y＝logx2在(0，＋∞)上为增函数.(×)
提示 函数y＝logx2在(0，＋∞)为减函数.
2.ln
x<1的解集为(－∞，e).(×)
提示 由ln
x<1，解得03.y＝ax与x＝logay的图象相同(a>0且a≠1).(√)
4.由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位可得y＝log2x＋1的图象.(×)
提示 向左平移1个单位可得y＝log2(x＋1)的图象.
[微训练]
1.若函数y＝与y＝logax互为反函数，则a＝________.
解析 由题意知a＝.
答案
2.已知log7(2x)解析 由0<2x答案 (0，2)
3.函数y＝log|x|的单调递增区间是________.
解析 函数y＝log|x|是偶函数，在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上单调递增.
答案 (－∞，0)
[微思考]
1.不同底的对数函数y＝logax与y＝logbx，a≠b的图象之间有何相对位置关系？
提示 作直线y＝1，与各图象会有交点，底数越大，交点越靠右，简称“底大图右”.
2.y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，它们的性质有何关系？
提示 ①y＝ax的定义域为y＝logax的值域，y＝ax的值域为y＝logax的定义域.
②y＝ax上任一点为(m，n)，则点(n，m)必在其反函数y＝logax的图象上，即互为反函数的两个函数的图象关于y＝x对称.
③互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.
题型一 对数函数的图象及应用
【例1】 (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
(1)解析 y＝a－x＝，∵a>1，∴0<<1，
则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；
对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.
答案 C
(2)解 ∵f(x)＝loga|x|，
∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，
∴f(x)＝log5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示.
INCLUDEPICTURE"W196.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W196.TIF"
\
MERGEFORMAT
【迁移1】 (变换条件)将本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析 ∵在y＝loga(－x)中，－x>0，∴x<0，
∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；
当a>1时，y＝loga(－x)是减函数，
y＝a－x＝是减函数，故排除B；
当0y＝a－x＝是增函数，∴C满足条件，故选C.
答案 C
【迁移2】 (变换条件)将本例(2)中的函数改为f(x)＝loga|x＋1|，且满足f(－5)＝1，求解析式并画其图象.
解 由f(－5)＝loga|－5＋1|＝1得a＝4，
即f(x)＝log4|x＋1|.
其图象画法：①先作y＝log4x的图象，②将y＝log4x的图象向左平移1个单位得y＝log4(x＋1)的图象，③再将y＝log4(x＋1)的图象关于x＝－1对称，如图所示.
规律方法 有关对数函数图象间的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.
【训练1】 作出下列函数的大致图象：
(1)y＝|log2x|；(2)y＝|log2(x－1)|；
(3)y＝|log2(1－x)|.
解 (1)第一步：作函数y＝log2x的图象；
第二步：把函数y＝log2x的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(位于x轴和x轴上方的不变)，即得y＝|log2x|的图象(如图①).
(2)第一步和第二步同(1)；
第三步：把y＝|log2x|的图象向右平移1个单位长度即得y＝|log2(x－1)|的图象(如图②).
(3)第一步：作函数y＝log2x的图象；
第二步：把函数y＝log2x的图象沿y轴翻折，
得y＝log2(－x)的图象；
第三步：把y＝log2(－x)的图象向右平移1个单位长度，得函数y＝log2(1－x)的图象；
第四步：把y＝log2(1－x)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(x轴上及x轴上方的不变)，即得y＝|log2(1－x)|的图象(如图③).
题型二 对数型函数的单调性
角度1 解对数不等式
【例2－1】 解下列不等式.
(1)logx>log
(4－x)；
(2)log3x<1；
(3)loga<1(a>0且a≠1).
解 (1)由题意可得解得0所以原不等式的解集为{x|0(2)因为log3x<1＝log33，
所以x满足的条件为即0所以原不等式的解集为{x|0(3)loga<1，即loga当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，
所以loga当0由loga所以实数a的取值范围为∪(1，＋∞).
角度2 求单调区间
【例2－2】 求函数y＝log(1－x2)的单调区间.
解 要使y＝log
(1－x2)有意义，则1－x2>0，
所以x2<1，所以－1因此函数的定义域为(－1，1).
令t＝1－x2，x∈(－1，1).
当x∈(－1，0]时，当x递增时，t递增，y＝logt递减.
所以当x∈(－1，0]时，y＝log
(1－x2)是减函数；
同理可知，当x∈[0，1)时，y＝log
(1－x2)是增函数.
即函数y＝log
(1－x2)的单调递减区间是(－1，0]，
单调递增区间为[0，1).
角度3 由单调性求参数
【例2－3】 (1)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，3)
C.(1，3]
D.[3，＋∞)
(2)若函数y＝log
(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0，2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1(2)令g(x)＝3x2－ax＋5，其对称轴为直线x＝.
依题意，有即所以－8答案 (1)B (2)(－8，－6]
规律方法 1.对数不等式的三种类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解.
(3)形如logax>logbx的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
2.若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0【训练2】 (1)已知log0.3(3x)A.
B.
C.
D.
(2)求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间；
(3)函数f(x)＝log(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.
(1)解析 因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.
答案 A
(2)解 由3－2x>0，解得x<，设t＝3－2x，x∈，∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数，即函数y＝log0.3(3－2x)的单调增区间是，没有单调减区间.
(3)令t＝3x2－ax＋7，则y＝logt为减函数，故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上为增函数且t>0.因为t＝3x2－ax＋7的对称轴为x＝，所以解得－10题型三 对数型函数性质的综合问题
角度1 值域问题
【例3－1】 求下列函数的值域.
(1)y＝log2(x2－4x＋6)；
(2)y＝log2(x2－4x－5).
解 (1)令u＝x2－4x＋6.
∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，
∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1，
∴函数的值域是[1，＋∞).
(2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，
∴x2－4x－5能取到所有正实数，
∴函数y＝log2(x2－4x－5)的值域是R.
角度2 奇偶性判断
【例3－2】 判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性.
解 法一 由－x>0可得x∈R，
所以函数的定义域为R且关于原点对称，
又f(－x)＝lg(＋x)
＝＝lg
＝－lg(－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x).
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数.
法二 由－x>0可得x∈R，
f(x)＋f(－x)＝lg(－x)＋lg(＋x)
＝lg(－x)(＋x)
＝lg(1＋x2－x2)＝0.
所以f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数.
角度3 综合应用
【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.
解 (1)要使此函数有意义，则有或
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0规律方法 (1)对于y＝logaf(x)型函数，在函数定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单.
【训练3】 已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域.
解 (1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设0因此log4(4x1－1)即f(x1)(3)因为f(x)在区间上递增，
又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415].
一、素养落地
1.由对数函数的图象，反函数概念，研究对数型函数的性质，发展直观想象素养，数学抽象素养及数学运算素养.
2.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和03.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
4.y＝logaf(x)型函数性质的研究
(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.
(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定).
(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.
(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.
二、素养训练
1.函数y＝ax与y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )
解析 函数y＝－logax恒过定点(1，0)，排除B；当a>1时，y＝ax是增函数，y＝－logax是减函数，当0答案 A
2.不等式log(2x＋3)A.(－∞，3)
B.
C.
D.
解析 由题意可得解得答案 D
3.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________.
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)＝f，故结合图象可知02.
答案 ∪(2，＋∞)
4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________.
解析 因为点在y＝f(x)的图象上，
所以点在y＝ax的图象上，则有＝a，
即a2＝2，又因为a>0，所以a＝.
答案
5.求函数y＝log(－x2＋2x＋1)的值域和单调区间.
解 设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵y＝logt为减函数，且0y＝log2＝－1,
即函数的值域为[－1，＋∞).
又函数log(－x2＋2x＋1)有意义，须－x2＋2x＋1>0，
由二次函数的图象知1－∴t＝－x2＋2x＋1在(1－，1)上是增加的，而在(1，1＋)上是减少的，而y＝logt为减函数.
∴函数y＝log(－x2＋2x＋1)的增区间为(1，1＋)，减区间为
(1－，1).
基础达标
一、选择题
1.函数y＝log(1－3x)的值域为( )
A.R
B.(－∞，0)
C.(0，＋∞)
D.(1＋∞)
解析 因为3x>0，所以－3x<0，
所以1－3x<1.
又y＝logt(t＝1－3x)是关于t的减函数，
所以y＝logt>log1＝0.
答案 C
2.已知loga<2，那么a的取值范围是( )
A.0B.a>
C.D.01
解析 当a>1时，由loga，故a>1；
当0故0综上可知，a的取值范围是01.
答案 D
3.函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上( )
A.是增函数
B.是减函数
C.先增后减
D.先减后增
解析 当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当0答案 A
4.已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )
解析 由f(3)·g(3)＝a3·loga3<0，∴loga3<0，即0又g(x)＝logax，当0答案 C
5.函数y＝log(－3＋4x－x2)的单调递增区间是( )
A.(－∞，2)
B.(2，＋∞)
C.(1，2)
D.(2，3)
解析 由－3＋4x－x2>0，得x2－4x＋3<0，得1设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2.
∵函数y＝logt为减函数，
∴要求函数y＝log(－3＋4x－x2)的单调递增区间，
即求函数t＝－3＋4x－x2，1∵函数t＝－3＋4x－x2，1∴函数y＝log(－3＋4x－x2)的单调递增区间为(2，3)，故选D.
答案 D
二、填空题
6.已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为________.
解析 作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知，f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知1≤m≤2.
INCLUDEPICTURE"W201.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W201.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 [1，2]
7.函数f(x)＝log(3＋2x－x2)的值域为________.
解析 设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4，因为u>0，所以0答案 [－2，＋∞)
8.若函数y＝lg是奇函数，则实数a＝________.
解析 由函数为奇函数.
故lg＋lg＝0.
即lg＝0，∴＝1，
∴∴a＝1.
答案 1
三、解答题
9.已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围.
解 (1)∵g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(9，2)，
∴loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.
又∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，∴f(x)＝logx.
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，即log(3x－1)>
log(－x＋5)，则解得∴x的取值范围为.
10.求函数f(x)＝log2(x2＋2x＋2)＋2的定义域、值域与单调区间.
解 因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的定义域为R.
令t＝x2＋2x＋2，所以函数t＝x2＋2x＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1).
故函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1).
由以上的单调性可知，当x＝－1时，ymin＝2.
所以函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的值域为[2，＋∞).
能力提升
11.已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________.
解析 函数f(x)的图象如图所示，
要使y＝a与f(x)的图象有两个不同交点，则0INCLUDEPICTURE"W202.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W202.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 (0，1]
12.已知f(x)＝log(x2－ax－a).
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域；
(2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝－1时，
f(x)＝log(x2＋x＋1)，
∵x2＋x＋1＝＋≥，
∴log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，
∴f(x)的值域为(－∞，2－log23].
∵y＝x2＋x＋1在上单调递减，
在上单调递增，
y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
(2)令u(x)＝x2－ax－a＝－－a，
∵f(x)在上为单调增函数，
又∵y＝logu为单调减函数，
∴u(x)在上为单调减函数，
且u(x)>0在上恒成立.
因此
即
解得－1≤a≤.
故实数a的取值范围是.
创新猜想
13.(多选题)设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则下列说法正确的是( )
A.f(a＋1)>f(b＋2)
B.f(a＋1)C.f(1)＝0
D.f(1)>0
解析 由于函数f(x)＝loga|x－b|是偶函数，
∴b＝0，又函数在(－∞，0)上单调递增，
所以在(0，＋∞)上单调递减，则0f(b＋2).又f(x)＝loga|x|，∴f(1)＝0.
答案 AC
14.(多空题)已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是________，若定义域为R，则k的取值范围是________.
解析 令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
由定义域为R，
则x2－2kx＋k>0恒成立，
∴Δ＝4k2－4k<0，即0答案 (－∞，0]∪[1，＋∞) (0，1)