第6章
幂函数、指数函数和对数函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
对数螺线，也称等角螺线，是由笛卡尔在1638年发现的，这个曲线可以写成θ＝ln，对数螺线是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……描述的都是对数螺线.
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.细胞分裂的个数可以用指数函数模型来研究.
2.宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代.这就是考古学家常用的碳14测年法.
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3.溶液pH值的变化规律可以用对数函数模型来表示.
问题1：你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律的吗？
问题2：人们经常用光年来表示距离的遥远，用天文数字来表示数字的庞大.古时候，人们是如何来计算这些“天文数字”的呢？
问题3：你知道同底的指数函数与对数函数有什么关系吗？
链接：对数的发明让天文学家欣喜若狂，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数字，简化了数的运算.
在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长，放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律，在本章我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化进行比较，并学着选择合适的函数关系构造函数模型解决上面提出的问题.
6.1 幂函数
课标要求
素养要求
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.
以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
给出下列五个问题：①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数.
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②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数.
③如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数.
④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝S，这里a是S的函数.
⑤如果某人t
s内骑车行进了1
m，那么他骑车的平均速度v＝t－1
m/s，这里v是t的函数.
问题 (1)上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？
(2)判断一个函数是幂函数的依据是什么？
(3)幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上为增函数时，α满足的条件是什么？在区间(0，＋∞)上为减函数时，α满足的条件是什么？
提示 (1)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝x，⑤y＝x－1.
(2)依据是幂函数的定义，即解析式符合幂函数解析式的形式.
(3)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数；
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
1.幂函数的概念
我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.幂函数y＝xα的性质
(1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质：
①函数的图象过点(0，0)，(1，1).
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间[0，＋∞)上是增函数.
(2)当α<0时，具有的性质为：
①函数的图象都过点(1，1).
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，即函数在区间(0，＋∞)上是减函数.
拓展深化
[微判断]
1.函数y＝－x2是幂函数.(×)
提示 根据幂函数的定义.
2.幂函数y＝x2是偶函数.(√)
3.幂函数y＝x－1是增函数.(×)
提示 y＝x－1在(0，＋∞)和(－∞，0)上为减函数.
4.幂函数的图象不过第四象限.(√)
5.当0
提示 0[微训练]
1.下列所给的函数中是幂函数的为( )
A.y＝2x5
B.y＝x3＋1
C.y＝x－3
D.y＝3x
解析 选项C符合y＝xα的形式，对于A系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式.
答案 C
2.已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________.
解析 由于幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝(－3)2＝9.
答案 9
3.3.17－1与3.71－1的大小关系为_________________________________________.
答案 3.17－1>3.71－1
[微思考]
幂函数y＝xα的定义域，值域等性质在α取不同的数值时都一样吗？
提示 对α取不同的实数时，幂函数的定义域也不同，如y＝x2与y＝x的定义域分别为R和[0，＋∞)，即不同的幂函数，其定义域、值域等性质也不同.
题型一 幂函数的概念
【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，
所以m2－4m－4＝1，
即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案 (1)B (2)5或－1
规律方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
【训练1】 (1)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝( )
A.2
B.1
C.
D.0
解析 (1)设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，
∴4α＝16，
解得α＝2，
∴f(－4)＝(－4)2＝16.
(2)因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，
即a＝1，b＝1，
则a＋b＝2.
答案 (1)16 (2)A
题型二 幂函数的图象及应用
【例2】 (1)函数y＝x的图象是( )
(2)如图所示，
图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A.－2，－，，2
B.2，，－，－2
C.－，－2，2，
D.2，，－2，－
解析 (1)∵当x>1时，x>x；当x＝1时，x＝x，所以A、C、D均不对，选B.
(2)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
答案 (1)B (2)B
规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：
①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断.
【训练2】 (1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
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A.－1B.n<－1，0C.－11
D.n<－1，m>1
(2)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
解析 (1)在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0INCLUDEPICTURE"A55a.TIF"
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(2)当a<0时，函数y＝ax－是减函数，且在y轴上的截距－>0，
y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以A，D项均不正确；对于B，C项，若a>0，则y＝ax－是增函数，B项不正确，C项正确，故选C.
答案 (1)B (2)C
题型三 由幂函数单调性比较大小
【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；
(2)与.
解 (1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，
又>，所以>.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－，所以>.
规律方法 比较幂值大小的两种基本方法
【训练3】 比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)－3.143与－π3.
解 (1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且>，
∴>.
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
题型四 幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N
)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围.
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，
所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N
，所以m＝1，2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为(a＋1)－<(3－2a)－.
因为y＝x－在(－∞，0)，
(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得故a的取值范围是.
规律方法 幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.
【训练4】 已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域.
解 因为m∈{x|－2所以m＝－1，0，1.因为对任意x∈R，
都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
当m＝－1时，
f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足.
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，
且在区间[0，3]上是增函数，
f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]时，
函数f(x)的值域为[0，27].
一、素养落地
1.结合常见幂函数的图象，归纳幂函数的图象与性质，提升学生的数学抽象素养，逻辑推理素养.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小.
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.恒过点(1，1).
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
4.(1)五个幂函数的图象：
(2)五个幂函数的性质：
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1，1)
二、素养训练
1.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A.1，3
B.－1，1
C.－1，3
D.－1，1，3
解析 可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1，3.
答案 A
2.下列不等式成立的是( )
A.>
B.<
C.>
D.8－<
答案 A
3.幂函数y＝f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m的值为________.
解析 设幂函数f(x)＝xα，由图象过点(2，m)，得f(2)＝2α＝m，所以f(m)＝mα＝2α2＝16，解得a＝－2或2，所以m＝22＝4或m＝2－2＝.
答案 4或
4.函数y＝x与函数y＝x－1的图象交点坐标为________.
解析 由得
答案 (1，1)
5.若(2a－1)－>(3－a)－，求实数a的取值范围.
解 ∵(2a－1)－>(3－a)－，∴或或解得3.
故实数a的取值范围是.
基础达标
一、选择题
1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A.y＝x
B.y＝x－1
C.y＝x2
D.y＝x
解析 由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B，D不合题意.y＝x2为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，故选C.y＝x在(0，＋∞)上为增函数，但不是偶函数，故A不满足题意.
答案 C
2.若a<0，则0.5a，5a，5－a的大小关系是( )
A.5－a<5a<0.5a
B.5a<0.5a<5－a
C.0.5a<5－a<5a
D.5a<5－a<0.5a
解析 5－a＝，因为a<0时，函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递减，且<0.5<5，所以5a<0.5a<5－a.
答案 B
3.给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )
A.①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B.①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C.①y＝x2，②y＝x3，③y＝x－1，④y＝x
D.①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
解析 ①是奇函数y＝x3；②是偶函数y＝x2，③是非奇非偶函数y＝x，④是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，是y＝x－1.
答案 B
4.函数f(x)＝(a－b)x＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是( )
A.f(a)>f(b)
B.f(a)C.f(a)＝f(b)
D.以上都不对
解析 ∵f(x)为幂函数，∴∴∴f(x)＝x，∴f(x)在(0，＋∞)上递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b).故选A.
答案 A
5.幂函数f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能为( )
A.0
B.1
C.2
D.0或1
解析 因为f(x)＝xm－2(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以m－2<0，故m<2.
又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，
当m＝0时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－1，f(－x)≠f(x)，不符合题意.
综上知，m＝0.
答案 A
二、填空题
6.若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________.
解析 因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以
即解得m＝3.
答案 3
7.已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)解析 因为f(x)＝x(x≥0)，易知f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(10－2a)所以解得所以3答案 (3，5]
8.已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________.
解析 ∵函数的图象与x轴、y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案 f(x)＝x－1
三、解答题
9.讨论函数f(x)＝x－的定义域、值域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象求出函数的单调区间.
解 ∵y＝x－＝，
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∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞).∵f(x)＝，
∴f(－x)＝＝＝f(x).
∴y＝x－是偶函数.其图象如图所示.
由图可知，函数增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞).
10.已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，求m的值.
解 ∵幂函数y＝x
m2－2m－3
(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，
∴m＝－1，0，1，2，3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意.
综上所述，m＝－1，1，3.
能力提升
11.已知f(x)＝x，若0A.f(a)B.fC.f(a)D.f解析 因为函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，
又0答案 C
12.已知函数f(x)＝x(m∈N
).
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.
解 (1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N
，∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴该函数的定义域为[0，＋∞)，
由幂函数的性质，知该函数在定义域上单调递增.
(2)∵该函数图象过点(2，)，
∴2＝，
∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N
).此时f(x)＝x.
由f(2－a)>f(a－1)，得
解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
创新猜想
13.(多选题)下列命题不正确的是( )
A.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点
B.当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线
C.如果两个幂函数的图象有三个交点，那么这两个函数一定相同
D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点(－1，1)
解析 对于A，幂函数的图象都经过点(1，1)，当y＝xn中n≤0时，不过(0，0)点，故A不正确；对于B，当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线y＝1，除去(0，1)点，故B不正确；对于C，当两个幂函数的图象有三个交点时，两函数不一定相同，如y＝x与y＝x3的图象有三个交点，但这两个函数不相同，故C不正确；对于D，因为幂函数的图象都经过点(1，1)，所以幂函数若为偶函数，其图象一定经过点(－1，1)，故D正确.
答案 ABC
14.(多选题)下列不等式在aA.a－1>b－1
B.aC.b2D.a－>b－
解析 分别构造函数y＝x－1，y＝x，y＝x2，y＝x－，其中函数y＝x－1，y＝x2在(－∞，0)上为减函数，而y＝x，y＝x－为(－∞，0)上的增函数，故D不成立，其余都成立.
答案 ABC(共42张PPT)
第6章
幂函数、指数函数和对数函数
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.细胞分裂的个数可以用指数函数模型来研究.
2.宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代.这就是考古学家常用的碳14测年法.
3.溶液pH值的变化规律可以用对数函数模型来表示.
问题1：你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律的吗？
问题2：人们经常用光年来表示距离的遥远，用天文数字来表示数字的庞大.古时候，人们是如何来计算这些“天文数字”的呢？
问题3：你知道同底的指数函数与对数函数有什么关系吗？
链接：对数的发明让天文学家欣喜若狂，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数字，简化了数的运算.
在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长，放射性物质的衰减等问题，都可以用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律，在本章我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化进行比较，并学着选择合适的函数关系构造函数模型解决上面提出的问题.
6.1 幂函数
新知探究
给出下列五个问题：①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数.
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数.
③如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数.
(3)幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上为增函数时，α满足的条件是什么？在区间(0，＋∞)上为减函数时，α满足的条件是什么？
(2)依据是幂函数的定义，即解析式符合幂函数解析式的形式.
(3)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数；
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
1.幂函数的概念
我们把形如__________的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.幂函数y＝xα的性质
(1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质：
①函数的图象过点________________________.
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而______，即函数在区间______________上是增函数.
y＝xα
(0，0)，(1，1)
上升
[0，＋∞)
(2)当α<0时，具有的性质为：
①函数的图象都过点____________.
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而______，即函数在区间______________上是减函数.
(1，1)
下降
(0，＋∞)
拓展深化
[微判断]
1.函数y＝－x2是幂函数.(
)
提示 根据幂函数的定义.
2.幂函数y＝x2是偶函数.(
)
3.幂函数y＝x－1是增函数.(
)
提示 y＝x－1在(0，＋∞)和(－∞，0)上为减函数.
4.幂函数的图象不过第四象限.(
)
×
√
×
√
×
[微训练]
1.下列所给的函数中是幂函数的为( )
A.y＝2x5
B.y＝x3＋1
C.y＝x－3
D.y＝3x
解析 选项C符合y＝xα的形式，对于A系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式.
答案 C
2.已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________.
解析 由于幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝
(－3)2＝9.
答案 9
3.3.17－1与3.71－1的大小关系为_____________.
答案 3.17－1>3.71－1
[微思考]
幂函数y＝xα的定义域，值域等性质在α取不同的数值时都一样吗？
题型一 幂函数的概念
【例1】 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，
即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案 (1)B (2)5或－1
规律方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
【训练1】 (1)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝( )
解析 (1)设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，
∴4α＝16，解得α＝2，
∴f(－4)＝(－4)2＝16.
(2)因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
答案 (1)16 (2)A
题型二 幂函数的图象及应用
答案 (1)B (2)B
【训练2】 (1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A.－1B.n<－1，0C.－11
D.n<－1，m>1
解析 (1)在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0答案 (1)B (2)C
题型三 由幂函数单调性比较大小
【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：
解 (1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，
规律方法 比较幂值大小的两种基本方法
【训练3】 比较下列各组数的大小：
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，
所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N
，所以m＝1，2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a规律方法 幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.
【训练4】 已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域.
解 因为m∈{x|－2所以m＝－1，0，1.因为对任意x∈R，
都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.
当m＝－1时，
f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)，(2)都不满足.
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)，(2)都满足，
且在区间[0，3]上是增函数，
f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]时，
函数f(x)的值域为[0，27].
一、素养落地
1.结合常见幂函数的图象，归纳幂函数的图象与性质，提升学生的数学抽象素养，逻辑推理素养.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小.
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.恒过点(1，1).
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
4.(1)五个幂函数的图象：
(2)五个幂函数的性质：
二、素养训练
A.1，3
B.－1，1
C.－1，3
D.－1，1，3
解析 可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1，3.
答案 A
2.下列不等式成立的是( )
答案 A
3.幂函数y＝f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m的值为________.
答案 (1，1)