第二课时 指数函数图象与性质的综合应用
课标要求
素养要求
1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性.3能用指数函数解决实际问题.
借助指数函数的性质，研究指数型函数的有关问题，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养；通过指数函数解决实际问题，发展数学建模素养.
新知探究
电视剧《西游记》中的孙悟空，是我们老幼观众都喜爱的除妖英雄，他的如意金箍棒更是神奇无比，说大就大，说小就小.假设他手中的金箍棒长1.8米，他喊一声变，就将金箍棒变为原来的2倍，那么孙悟空喊多少声“变”能将金箍棒变得比珠穆朗玛峰还高？
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问题 (1)你能写出金箍棒长度y与孙悟空喊的次数x之间的函数关系吗？
(2)若喊一声“变”，就将金箍棒变为原来的3倍呢？与第一种情况相比，哪种情况金箍棒增长的更快？
提示 (1)y＝1.8×2x(x∈N
).
(2)y＝1.8×3x(x∈N
).
通过画出y＝1.8×2x与y＝1.8×3x的图象可观察得出y＝1.8×3x增长的更快.
1.在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
2.指数函数y＝ax的图象与性质
a>1
0
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过定点(0，1)，即a0＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
对称性
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
拓展深化
[微判断]
1.y＝21－x是R上的增函数.(×)
提示 y＝21－x＝是R上的减函数.
2.某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为(1＋p)12－1.(√)
3.当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反.(×)
提示 由复合函数单调性“同增异减”知y＝af(x)与y＝f(x)在a>1时具有相同的单调性.
[微训练]
1.函数y＝2的定义域为________，值域为________.
解析 由x－1≥0得x≥1，因为≥0，所以y≥1.
答案 [1，＋∞) [1，＋∞)
2.若2x＋1<1，则x的取值范围是________.
解析 ∵2x＋1<1＝20，
且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
答案 (－∞，－1)
3.函数f(x)＝31－x2的单调递增区间是________.
解析 u＝1－x2在(－∞，0]上是增函数，
在[0，＋∞)上是减函数，
又y＝3u在R上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上是单调递增.
答案 (－∞，0]
[微思考]
如何判断形如y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性？
提示 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.
题型一 指数型函数的定义域、值域
【例1】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝4x＋2x＋1＋1.
解 (1)由x－4≠0，得x≠4，
故y＝2的定义域为{x|x∈R，且x≠4}.
又≠0，即2≠1.
故y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}.
(2)由1－2x≥0，
得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0].
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，
∴y＝的值域为[0，1).
(3)y＝的定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴≤＝16.
又∵>0，
故函数y＝的值域为(0，16].
(4)定义域为R.∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，
又2x>0，∴y>1，
故函数的值域为{y|y>1}.
规律方法 对于y＝af(x)(a>0，且a≠1)这类函数，
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)求值域问题，有以下三种方法：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.
③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)再转化为二次函数求值域.
【训练1】 (1)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A.(－3，0]
B.(－3，1]
C.(－∞，－3)∪(－3，0]
D.(－∞，－3)∪(－3，1]
(2)函数f(x)＝－1，x∈[－1，2]的值域为________.
解析 (1)由题意得自变量x应满足解得－3(2)∵－1≤x≤2，∴≤≤3，∴－≤－1≤2，∴值域为.
答案 (1)A (2)
题型二 指数函数单调性应用
角度1 解指数不等式
【例2－1】 (1)不等式≤2的解集为________.
(2)已知a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围.
(1)解析 ∵2＝，∴原不等式可化为≤，∵函数y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}.
答案 {x|x≥0}
(2)解 当a>1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－；
当0ax＋7，∴－5x－.
综上所述，当a>1时，x<－；当0－.
角度2 指数型函数的单调性
【例2－2】 求f(x)＝的单调区间，并求其值域.
解 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0<≤＝3，
∴原函数的值域为(0，3].
规律方法 1.解指数不等式的类型及应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解.
2.函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0【训练2】 (1)不等式3x2－2x－1≤的解集为________.
(2)函数y＝2－x2＋2x的单调减区间为________.
解析 (1)不等式3x2－2x－1≤可化为3x2－2x－1≤3－1.
∵函数y＝3x在R上为增函数，
∴x2－2x－1≤－1，∴0≤x≤2.
故原不等式的解集为[0，2].
(2)令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
∵u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减，
又∵y＝2u在R上递增，∴y＝2－x2＋2x的单调减区间为[1，＋∞).
答案 (1)[0，2] (2)[1，＋∞)
题型三 指数函数的实际应用
【例3】 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少.
(1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；
(2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
解 (1)过滤1次后的杂质含量为×＝×；
过滤2次后的杂质含量为×＝×；
过滤3次后的杂质含量为×＝×；
…
过滤n次后的杂质含量为×(n∈N
).
故y与n的函数关系式为y＝×(n∈N
).
(2)由(1)知当n＝7时，y＝×＝>，
当n＝8时，y＝×＝<，
所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
规律方法 指数函数在实际问题中的应用
(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.
(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.
【训练3】 有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(1.25≈2.49，1.15≈1.6，1.325≈4)
解 设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为：
y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25≈4.98a.
y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算).
题型四 指数型函数性质的综合应用
【例4】 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
解 (1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
经检验，a＝－时，f(x)＝－＋为奇函数.
(2)由(1)知f(x)＝－＋，
故f(x)在R上为减函数.
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k<0，得k<－
，
∴k的取值范围是.
规律方法 解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
【训练4】 已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)>0.
(1)解 由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)解 由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.
令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x).
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
∴f(x)＝·x3为偶函数.
(3)证明 当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴＋>0.
∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，
知当x<0时，f(x)>0也成立.
故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
一、素养落地
1.研究指数型函数的有关性质，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.通过指数函数解决实际问题，发展数学建模素养.
2.指数型函数的单调性与底数有关，因此讨论指数型函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系.对于形如f(x)＝ag(x)(a>0且a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性(同增异减)，由指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性确定f(x)的单调性.
3.在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示.
二、素养训练
1.函数f(x)＝3的定义域为( )
A.(－∞，1)
B.(－∞，1]
C.[1，＋∞)
D.(1，＋∞)
解析 由x－1≥0可得x≥1，所以函数f(x)＝3的定义域为[1，＋∞).
答案 C
2.已知某种细菌在培养过程中，每20
min繁殖一次，经过一次繁殖1个细菌变成2个，经过3
h，这种细菌由1个可繁殖成( )
A.511个
B.512个
C.1
023个
D.1
024个
解析 因为3
h＝(9×20)min，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个).
答案 B
3.不等式≤2的解集为________.
解析 ∵＝22－x2，
∴原不等式等价于22－x2≤21，
∵y＝2x是R上的增函数，
∴2－x2≤1，即x2≥1，
解得x≥1或x≤－1，
其解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞).
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
4.已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为________.
解析 由f(0)＝＝0，解得n＝2，当n＝2时，f(x)＝，易证其是奇函数.
答案 2
5.设0≤x≤2，y＝4x－－3·2x＋5，试求该函数的最值.
解 令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.
配方得y＝(t－3)2＋，t∈[1，4]，
∴y＝(t－3)2＋，t∈[1，3]上是减函数；t∈[3，4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.
三、审题答题
示范(二) 指数函数的综合应用
【典型示例】
(12分)已知函数f(x)＝是奇函数①.
(1)求实数a的值；
(2)用定义证明函数f(x)在R上的单调性②；
(3)若对任意的x∈R，不等式f(x2－x)＋f(2x2－k)>0恒成立③，求实数k的取值范围.
联想解题
看到①想到函数奇偶性的定义，可根据定义域关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝0解出a.
看到②想到函数单调性的定义，利用定义通过作差判断符号，得到函数的单调性.
看到③想到恒成立问题转化为求解最值问题，可利用二次不等式恒成立求参数范围.
满分示范
(1)解 ∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，
∴f(0)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝2x－2－x，满足f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数.∴a＝1.3分
(2)证明 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则2x1<2x2，>，4分
于是f(x1)－f(x2)＝2x1－－2x2＋＝＋<0，
即f(x1)(3)解 ∵f(x2－x)＋f(2x2－k)>0，
∴f(x2－x)>－f(2x2－k).
∵f(x)是奇函数，∴f(x2－x)>f(k－2x2).9分
又由f(x)在R上是增函数，
得x2－x>k－2x2，
即k<3x2－x对任意的x∈R恒成立.10分
∵当x＝时，3x2－x取得最小值－，∴k<－
立，.12分
满分心得
(1)解决本题的关键是求出a的值.
(2)解决恒成立问题往往是转化为求解最值问题，通常采用分离参数法求解.
基础达标
一、选择题
1.已知函数f(x)＝3x－，则y＝f(x)( )
A.是奇函数，且在R上是增函数
B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数
D.是偶函数，且在R上是减函数
解析 y＝f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数.y＝3x为增函数，y＝为减函数，则f(x)＝3x－为增函数，故选A.
答案 A
2.不等式>3－2x的解集是( )
A.{x|－2B.{x|2C.{x|x<4}
D.{x|x>－2}
解析 由>3－2x，得38－x2>3－2x，∴8－x2>－2x，即x2－2x－8<0，解得－23－2x的解集是{x|－2答案 A
3.已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
解析 a＝30.2∈(1，3)，b＝0.2－3＝＝53＝125，c＝(－3)0.2＝<0，所以b>a>c.
答案 B
4.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的递减区间是( )
A.(－∞，2]
B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞)
D.(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，
所以a＝(a＝－舍去)，
即f(x)＝.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的，所以f(x)在(－∞，2]上是递增的，在[2，＋∞)上是递减的.故选B.
答案 B
5.已知函数f(x)＝－，其中e＝2.718
28…，则f(x)是( )
A.奇函数，且在R上是增函数
B.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C.奇函数，且在R上是减函数
D.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析 定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－＝－，
有f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数，函数f(x)＝－显然是减函数.故选C.
答案 C
二、填空题
6.不等式2x>的解集是________.
解析 由2x>，得2x>2x2－x，
∵x>x2－x，即x2－2x<0，解得0∴不等式2x>的解集为(0，2).
答案 (0，2)
7.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.
解析 由复合函数的单调性知，y＝－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2.
答案 [2，＋∞)
8.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足解析式f(x)＝规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02
mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过________h后才能开车(精确到1
h).
解析 当0≤x≤1时，≤5x－2≤，此时不宜开车；由·x≤0.02，当x＝3时，不等式不成立，当x＝4时，不等式成立.故至少要过4
h后才能开车.
答案 4
三、解答题
9.已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝.
(1)求a，b的值.
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围.
解 (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，
因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故解得
(2)由(1)可得f(x)＝x＋－2，
所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，
化为1＋－2·≥k.令t＝，则k≤t2－2t＋1.
因x∈[－1，1]，故t∈.
记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈，
故h(t)max＝1，所以实数k的取值范围是(－∞，1].
10.已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝在R上是减函数，∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.
能力提升
11.设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________.
解析 设t＝2x，∵x∈(－∞，1]，∴0则原函数在(－∞，1]上有意义等价于1＋t＋at2≥0在t∈(0，2]上恒成立，∴a≥.设f(t)＝－，0∵0∴f(t)≤f＝－，∴a≥－.
答案
12.一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解 (1)由题意得a(1－p%)10＝，
即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年.
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年.
创新猜想
13.(多选题)已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x.若存在x∈[－1，1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的值可以
( )
A.－1
B.
C.1
D.2
解析 因为g(x)－h(x)＝2x ①，
所以g(－x)－h(－x)＝2－x，
又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)＋h(x)＝2－x ②，
联立①②，得g(x)＝，h(x)＝.
由m·g(x)＋h(x)≤0得
m≤＝＝1－，
因为y＝1－为增函数，所以当x∈[－1，1]时，＝1－＝，所以m≤，结合选项知m的值可以为－1，，选AB.
答案 AB
14.(多空题)已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________.
解析 令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，
令t＝－1，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增，
又y＝为减函数，故f(x)的增区间为(－∞，0].
∵t＝－1，∴t≥－1，
∴∈(0，2].
故f(x)的值域为(0，2].
答案 (－∞，0] (0，2](共47张PPT)
第二课时 指数函数图象与性质的综合应用
课标要求
素养要求
1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.
2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性.
3能用指数函数解决实际问题.
借助指数函数的性质，研究指数型函数的有关问题，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养；通过指数函数解决实际问题，发展数学建模素养.
新知探究
电视剧《西游记》中的孙悟空，是我们老幼观众都喜爱的除妖英雄，他的如意金箍棒更是神奇无比，说大就大，说小就小.假设他手中的金箍棒长1.8米，他喊一声变，就将金箍棒变为原来的2倍，那么孙悟空喊多少声“变”能将金箍棒变得比珠穆朗玛峰还高？
问题 (1)你能写出金箍棒长度y与孙悟空喊的次数x之间的函数关系吗？
(2)若喊一声“变”，就将金箍棒变为原来的3倍呢？与第一种情况相比，哪种情况金箍棒增长的更快？
提示 (1)y＝1.8×2x(x∈N
).
(2)y＝1.8×3x(x∈N
).
通过画出y＝1.8×2x与y＝1.8×3x的图象可观察得出y＝1.8×3x增长的更快.
1.在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
2.指数函数y＝ax的图象与性质
?
a>1
0图象
性
质
定义域
____
值域
______________
过定点
过定点____________，即a0＝1
函数值的变化
当x>0时，________；
当x<0时，____________
当x>0时，____________；
当x<0时，________
单调性
在R上是________
在R上是________
对称性
y＝ax与y＝
的图象关于y轴对称
R
(0，＋∞)
(0，1)
y>1
00y>1
增函数
减函数
拓展深化
[微判断]
1.y＝21－x是R上的增函数.(
)
2.某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为(1＋p)12－1.(
)
3.当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反.(
)
提示 由复合函数单调性“同增异减”知y＝af(x)与y＝f(x)在a>1时具有相同的单调性.
×
√
×
[微训练]
答案 [1，＋∞) [1，＋∞)
2.若2x＋1<1，则x的取值范围是________.
解析 ∵2x＋1<1＝20，
且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
答案 (－∞，－1)
3.函数f(x)＝31－x2的单调递增区间是________.
解析 u＝1－x2在(－∞，0]上是增函数，
在[0，＋∞)上是减函数，
又y＝3u在R上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上是单调递增.
答案 (－∞，0]
[微思考]
如何判断形如y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性？
提示 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.
题型一 指数型函数的定义域、值域
【例1】 求下列函数的定义域和值域：
解 (1)由x－4≠0，得x≠4，
(2)由1－2x≥0，
得2x≤1，∴x≤0，
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
(4)定义域为R.∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，
又2x>0，∴y>1，
故函数的值域为{y|y>1}.
规律方法 对于y＝af(x)(a>0，且a≠1)这类函数，
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；
(2)求值域问题，有以下三种方法：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.
③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)再转化为二次函数求值域.
题型二 指数函数单调性应用
角度1 解指数不等式
∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}.
答案 {x|x≥0}
角度2 指数型函数的单调性
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴原函数的值域为(0，3].
规律方法 1.解指数不等式的类型及应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解.
2.函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0∵函数y＝3x在R上为增函数，
∴x2－2x－1≤－1，∴0≤x≤2.
故原不等式的解集为[0，2].
(2)令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
∵u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减，
又∵y＝2u在R上递增，∴y＝2－x2＋2x的单调减区间为[1，＋∞).
答案 (1)[0，2] (2)[1，＋∞)
…
所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
规律方法 指数函数在实际问题中的应用
(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.
(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.
【训练3】 有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(1.25≈2.49，1.15≈1.6，1.325≈4)
解 设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为：
y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25≈4.98a.
y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算).
解 (1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
故f(x)在R上为减函数.
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
规律方法 解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
(1)解 由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)解 由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
(3)证明 当x>0时，2x>1，
∵x3>0，∴f(x)>0.由偶函数的图象关于y轴对称，
知当x<0时，f(x)>0也成立.
故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
一、素养落地
1.研究指数型函数的有关性质，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.通过指数函数解决实际问题，发展数学建模素养.
2.指数型函数的单调性与底数有关，因此讨论指数型函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系.对于形如f(x)＝ag(x)(a>0且a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性(同增异减)，由指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性确定f(x)的单调性.
3.在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示.
二、素养训练
A.(－∞，1)
B.(－∞，1]
C.[1，＋∞)
D.(1，＋∞)
答案 C
2.已知某种细菌在培养过程中，每20
min繁殖一次，经过一次繁殖1个细菌变成2个，经过3
h，这种细菌由1个可繁殖成( )
A.511个
B.512个
C.1
023个
D.1
024个
解析 因为3
h＝(9×20)min，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个).
答案 B
∴原不等式等价于22－x2≤21，
∵y＝2x是R上的增函数，
∴2－x2≤1，即x2≥1，
解得x≥1或x≤－1，
其解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞).
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
答案 2
解 令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4.
三、审题答题
示范(二) 指数函数的综合应用
联想解题
看到①想到函数奇偶性的定义，可根据定义域关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝0解出a.
看到②想到函数单调性的定义，利用定义通过作差判断符号，得到函数的单调性.
看到③想到恒成立问题转化为求解最值问题，可利用二次不等式恒成立求参数范围.
满分示范
(1)解 ∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，
∴f(0)＝0，解得a＝1，此时f(x)＝2x－2－x，满足f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数.∴a＝1.3分
(2)证明 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1满分心得
(1)解决本题的关键是求出a的值.
(2)解决恒成立问题往往是转化为求解最值问题，通常采用分离参数法求解.6.2 指数函数
第一课时 指数函数的图象与性质
课标要求
素养要求
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.2.掌握指数函数的图象及简单性质.3.会用指数函数的图象与性质解决问题.
通过指数函数的图象及性质的理解与应用，提升直观想象素养、逻辑推理素养和数学抽象素养.
新知探究
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
INCLUDEPICTURE"补14.TIF"
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"补14.TIF"
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MERGEFORMAT
折叠次数
对应层数
对折后的面积S
x＝1
y＝2＝21
S＝
x＝2
y＝4＝22
S＝＝
x＝3
y＝8＝23
S＝＝
……
……
……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N
)，对折后的面积S＝(x∈N
).
问题 实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
提示 (1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量.
1.指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，它的定义域为R.
2.指数函数的图象和性质
结合函数的图象熟记指数函数的性质
a>1
0图象
性质
定义域
定义域为R
值域
值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0
过定点
过定点(0，1)，图象在x轴上方
函数值的变化
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
对称性
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
拓展深化
[微判断]
1.函数y＝2x＋1是指数函数.(×)
提示 因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数.
2.函数y＝(－5)x是指数函数.(×)
提示 因为底数小于0，所以函数y＝(－5)x不是指数函数.
3.y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(×)
提示 因为指数函数的图象都在x轴上方，值域为(0，＋∞)，没有最小值.
[微训练]
1.下列函数中一定是指数函数的是( )
A.y＝(－4)x
B.y＝
C.y＝2×3x
D.y＝x3
解析 y＝(－4)x的底数－4<0，不是指数函数；y＝2×3x中3x的系数等于2，不是指数函数；y＝x3中自变量x在底数的位置上，不是指数函数；由指数函数的定义知，只有y＝是指数函数.
答案 B
2.函数y＝2－x的图象是( )
解析 y＝2－x＝，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B.
答案 B
3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
解析 由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.
答案 ()x
[微思考]
1.为什么规定指数函数的底数a>0且a≠1?
提示 规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
2.若x10且a≠1)大小关系如何？
提示 当a>1时，y＝ax在R上为单调增函数.
所以ax1ax2.
题型一 指数函数的概念
【例1】 (1)给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.4
(2)已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________.
解析 (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝a－＝5－，故a＝5，故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.
答案 (1)B (2)125
规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
【训练1】 (1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )
A.a＝1或－1
B.a＝1
C.a＝－1
D.a>0且a≠1
(2)已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________.
解析 (1)由条件知解得a＝－1.
(2)设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝()x.
答案 (1)C (2)f(x)＝()x
题型二 指数函数的性质
角度1 函数过定点
【例2－1】 函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
解析 因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1).
答案 (－1，－1)
角度2 函数的定义域、值域
【例2－2】 (1)若函数f(x)＝2x＋3，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________.
(2)函数f(x)＝2－x－1的值域是________.
解析 (1)由题意知函数f(x)＝2x＋3在R上是增函数，且x∈[2，3]，所以2x∈[4，8]，故f(x)的值域为[7，11].
(2)f(x)＝2－x－1＝－1，由于∈(0，＋∞)，
∴值域为(－1，＋∞).
答案 (1)[7，11] (2)(－1，＋∞)
角度3 由单调性比较大小
【例2－3】 比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)与1；
(3)(0.8)－2与.
解 (1)考查函数y＝.
∵0<<1，∴函数y＝在(－∞，＋∞)上是减函数.
又－0.24>－，∴<.
(2)考查函数y＝.
∵0<<1，
∴函数y＝在(－∞，＋∞)上是减函数，
又－π<0，∴>＝1.
(3)(0.8)－2＝＝.
∵函数y＝在(－∞，＋∞)
上是增函数，
∴<，即<(0.8)－2.
规律方法 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.
(2)合理利用指数型函数的单调性、图象的变化规律及中间值进行幂的大小判断.
(3)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0，1进行分组，再比较各组数的大小.
【训练2】 (1)函数y＝a2x＋1－4(a>0，且a≠1)的图象恒过点________，值域为________.
(2)已知a＝0.3－2，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.b>a>c
解析 (1)当2x＋1＝0，即x＝－时，a2x＋1＝a0＝1为常数，此时y＝1－4＝－3，即函数y＝a2x＋1－4的图象恒过点.又a2x＋1>0，∴a2x＋1－4>－4.
(2)∵b＝1，∴a>c>b.故选B.
答案 (1) (－4，＋∞) (2)B
题型三 指数函数的图象变换
【例3】 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的.
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；
(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.
解 如图所示.
(1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
(2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的.
(3)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右侧的图象和其关于y轴对称的图象组成的，包括y轴上的(0，1)点.
(4)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的.
(5)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称.
(6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称.
又2－x＝，所以也可用y＝图象沿x轴对称而得.
规律方法 函数图象的变换规律
(1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度).
(2)对称变换：
①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称；
②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象；
③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变.
【训练3】 (1)如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
INCLUDEPICTURE"W189.TIF"
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A.aB.bC.1D.a(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
INCLUDEPICTURE"S98.TIF"
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A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0解析 (1)可先分两类，③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由图象③④比较c，d的大小，由图象①②比较a，b的大小.在y轴右侧，当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象越靠近y轴，当指数函数的底数大于0且小于1时，图象下降，且底数越小，图象越靠近x轴(即用x＝1截图，底大图高)，故选B.
(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0(或令x＝0得a－b<1即a－b0，即b<0).
答案 (1)B (2)D
一、素养落地
1.通过指数函数的图象与性质的学习，提升数学直观想象素养、逻辑推理素养与数学抽象素养.
2.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
3.指数函数的图象与性质，要注意分a>1与0二、素养训练
1.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
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A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0解析 结合指数函数图象的特点可知01.
答案 C
2.当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是( )
A.
B.
C.
D.
解析 y＝3－x－1＝－1，x∈[－2，2)是减函数，
∴3－2－1答案 A
3.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________.
解析 令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).
答案 (1，3)
4.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.
解析 原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.
答案 {x|x<1}
5.比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1，1.8－0.2；
(2)1.90.3，0.73.1；
(3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1).
解 (1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2.
(2)因为1.90.3>1.90＝1，
0.73.1<0.70＝1，
所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，
又1.3<2.5，故a1.3当0a2.5.
基础达标
一、选择题
1.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )
A.4
B.1或3
C.3
D.1
解析 由题意得得a＝3，故选C.
答案 C
2.若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.
B.(－∞，0)
C.
D.
解析 ∵y＝(1－2a)x是R上的增函数，则1－2a>1，∴a<0.
答案 B
3.若f(x)＝，x∈R，那么f(x)是( )
A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析 由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)＝是减函数.
答案 D
4.若a＝()，b＝9，c＝8，则有( )
A.a>b>c
B.c>a>b
C.c>b>a
D.a>c>b
解析 因为a＝()＝3，b＝9＝3，且1>>，所以3>3>3，即3>a>b.又c＝8＝2>4，所以c>a>b.
答案 B
5.函数y＝ax－a(a>0且a≠1)的大致图象可能是( )
解析 如果函数的图象是A，那么由1－a＝1，得a＝0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么由a1－a<0，得0<0，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图象是C，那么由0<1－a<1，得0答案 C
二、填空题
6.若函数y＝在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝________.
解析 由指数函数y＝的图象可知在x＝－1处取最小值为2，在x＝－2处取最大值为4.∴m＝4，n＝2，从而m＋n＝6.
答案 6
7.若函数f(x)＝ax－2＋1(其中a>0，且a≠1)的图象经过定点P(m，n)，则＝________.
解析 令x－2＝0，得x＝2，此时f(2)＝a0＋1＝2，所以f(x)恒过定点(2，2)，所以m＝2，n＝2，＝1.
答案 1
8.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是________.
解析 ∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.
答案 b三、解答题
9.比较下列各组中两个值的大小：
(1)1.72.5，1.73；(2)0.6－1.2，0.6－1.5；
(3)2.3－0.28，0.67－3.1.
解 (1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，故构造函数y＝1.7x，则y＝1.7x在R上是增函数.
又2.5<3，所以1.72.5<1.73.
(2)(单调性法)由于0.6－1.2与0.6－1.5的底数是0.6，故构造函数y＝0.6x，则y＝0.6x在R上是减函数.
因为－1.2>－1.5，
所以0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)(中间量法)由指数型函数的性质，知
2.3－0.28<2.30＝1，
0.67－3.1>0.670＝1，
所以2.3－0.28<0.67－3.1.
10.设f(x)＝3x，g(x)＝.
(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
解 (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
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INCLUDEPICTURE
"SX101.TIF"
\
MERGEFORMAT
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当两个指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.
能力提升
11.若函数y＝＋m与x轴有公共点，则m的取值范围是________.
解析 y＝的图象如图，
INCLUDEPICTURE"W191.TIF"
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\
MERGEFORMAT
若y＝＋m的图象与x轴有公共点，
则y＝的图象必须下移|m|个单位长度且0<|m|≤1，且m<0，所以－1≤m<0.
答案 [－1，0)
12.已知函数y＝.
(1)画出函数的图象(简图)；
(2)由图象指出函数的单调区间；
(3)由图象指出当x取何值时函数有最值，并求出最值.
解 (1)法一
y＝＝
其图象由两部分组成：
一部分：y＝(x≥0)的图象y＝x＋1(x≥－1)的图象；
另一部分：y＝3x(x<0)的图象y＝3x＋1(x<－1)的图象.
得到的函数图象如实线部分所示.
法二 ①可知函数y＝是偶函数，
其图象关于y轴对称，
故先作出y＝(x≥0)的图象，
当x<0时，其图象与y＝(x≥0)的图象关于y轴对称，从而得出y＝的图象.
②将y＝的图象向左平移1个单位长度，即可得y＝的图象，如图所示
.
(2)由图象知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，
单调递减区间是(－1，＋∞).
(3)由图象知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值.
创新猜想
13.(多选题)若函数f(x)＝·ax(a>0,
且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是( )
A.a＝8
B.f(0)＝－3
C.f＝2
D.a＝4
解析 由a－3＝1，
∴a＝8，即f(x)＝8x，
∴f(0)＝1.f＝8＝2.
答案 AC
14.(多选题)已知实数a，b满足等式2
018a
＝2
019b，则下列关系式可能成立的是( )
A.0B.aC.0D.b解析 画出y＝2
018x与y＝2
019x两个函数图象，
则当2
018a＝2
019b时，可能aINCLUDEPICTURE"W194.TIF"
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答案 AB(共39张PPT)
6.2 指数函数
第一课时 指数函数的图象与性质
课标要求
素养要求
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.
2.掌握指数函数的图象及简单性质.
3.会用指数函数的图象与性质解决问题.
通过指数函数的图象及性质的理解与应用，提升直观想象素养、逻辑推理素养和数学抽象素养.
新知探究
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
提示 (1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量.
1.指数函数的概念
2.指数函数的图象和性质
结合函数的图象熟记指数函数的性质
?
a>1
0图象
(0，＋∞)
(0，1)
00y>1
减函数
R
拓展深化
[微判断]
1.函数y＝2x＋1是指数函数.(
)
提示 因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数.
2.函数y＝(－5)x是指数函数.(
)
提示 因为底数小于0，所以函数y＝(－5)x不是指数函数.
3.y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(
)
提示 因为指数函数的图象都在x轴上方，值域为(0，＋∞)，没有最小值.
×
×
×
[微训练]
1.下列函数中一定是指数函数的是( )
答案 B
2.函数y＝2－x的图象是( )
答案 B
3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
[微思考]
1.为什么规定指数函数的底数a>0且a≠1?
提示 规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
2.若x10且a≠1)大小关系如何？
提示 当a>1时，y＝ax在R上为单调增函数.
所以ax1ax2.
题型一 指数函数的概念
【例1】 (1)给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.4
解析 (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
答案 (1)B (2)125
规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
【训练1】 (1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )
A.a＝1或－1
B.a＝1
C.a＝－1
D.a>0且a≠1
(2)已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________.
题型二 指数函数的性质
角度1 函数过定点
【例2－1】 函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.
解析 因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1).
答案 (－1，－1)
角度2 函数的定义域、值域
【例2－2】 (1)若函数f(x)＝2x＋3，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________.
(2)函数f(x)＝2－x－1的值域是________.
解析 (1)由题意知函数f(x)＝2x＋3在R上是增函数，且x∈[2，3]，所以2x∈[4，8]，故f(x)的值域为[7，11].
∴值域为(－1，＋∞).
答案 (1)[7，11] (2)(－1，＋∞)
角度3 由单调性比较大小
【例2－3】 比较下列各组数的大小：
规律方法 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.
(2)合理利用指数型函数的单调性、图象的变化规律及中间值进行幂的大小判断.
(3)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0，1进行分组，再比较各组数的大小.
【训练2】 (1)函数y＝a2x＋1－4(a>0，且a≠1)的图象恒过点________，值域为________.
题型三 指数函数的图象变换
【例3】 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的.
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；
(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.
解 如图所示.
(1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
(2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的.
(3)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右侧的图象和其关于y轴对称的图象组成的，包括y轴上的(0，1)点.
(4)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的.
(5)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称.
(6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称.
规律方法 函数图象的变换规律
(1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度).
(2)对称变换：
①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称；
②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象；
③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变.
【训练3】 (1)如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A.aB.bC.1D.a(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0解析 (1)可先分两类，③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由图象③④比较c，d的大小，由图象①②比较a，b的大小.在y轴右侧，当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象越靠近y轴，当指数函数的底数大于0且小于1时，图象下降，且底数越小，图象越靠近x轴(即用x＝1截图，底大图高)，故选B.
(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0(或令x＝0得a－b<1即a－b0，即b<0).
答案 (1)B (2)D
一、素养落地
1.通过指数函数的图象与性质的学习，提升数学直观想象素养、逻辑推理素养与数学抽象素养.
2.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
3.指数函数的图象与性质，要注意分a>1与0二、素养训练
1.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0解析 结合指数函数图象的特点可知01.
答案 C
2.当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是( )
答案 A
3.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________.
解析 令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).
答案 (1，3)
4.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.
解析 原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.
答案 {x|x<1}
5.比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1，1.8－0.2；
(2)1.90.3，0.73.1；
(3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1).
解 (1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2.
(2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，
所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3当0a2.5.