章末检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2
019的否定是( )
A.?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2
019
B.?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2
019
C.?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2
019
D.以上都不对
答案 C
2.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵a≤b≤c，∴a2＋b2＝c2?△ABC为直角三角形，故选C.
答案 C
3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 ∵a＝3?A?B，而A?Ba＝3，∴“a＝3”是“A?B的充分不必要条件”.
答案 B
4.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 令x＝1，y＝－2，满足x>y，但不满足x>|y|；由x>|y|得－x
y成立，故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
答案 C
5.下列命题中的假命题是( )
A.?x∈R，|x|＋1>0
B.?x∈N＋，(x－1)2>0
C.?x∈R，|x|<1
D.?x∈R，＋1＝2
解析 A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题.
答案 B
6.“命题?x∈R，使x2＋ax－4a<0为假命题”是“－16≤a≤0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 依题意得“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”是真命题，故Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选C.
答案 C
7.命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若綈p是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.{a|a<1}
B.{a|a≤1}
C.{a|a>1}
D.{a|a≥1}
解析 因为綈p是假命题，所以p为真命题，即方程ax2＋2x＋1＝0有实数根.
当a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－，满足条件.当a≠0时，若使方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a≥0，即a≤1且a≠0.综上知a≤1.
答案 B
8.在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙
B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲
D.甲、丙、乙
解析 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：
(1)若乙预测正确，则丙预测也正确，不合题意；
(2)若丙预测正确，甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测又正确，与假设矛盾；
(3)若甲预测正确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意，故选A.
答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.对任意实数a，b，c，下列命题中的假命题是( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析 a＝b?a－b＝0?(a－b)c＝0?ac＝bc，∴ac＝bc是a＝b的必要条件.
答案 ACD
10.下列命题的否定中是全称量词命题且为真命题的有( )
A.?x∈R，x2－x＋<0
B.所有的正方形都是矩形
C.?x∈R，x2＋2x＋2≤0
D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0
解析 命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题.又D为真命题，故选AC.
答案 AC
11.设全集为U，在下列选项中是B?A的充要条件的有( )
A.A∪B＝A
B.(
?UA)∩B＝?
C.(
?UA)?(
?UB)
D.A∪(?UB)＝U
解析 由Venn图可知，A，B，C，D都是充要条件，故选ABCD.
答案 ABCD
12.不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为( )
A.[－4，－1]
B.[1，4]
C.[－4，－1]∪[1，4]
D.[－4，4]
解析 由不等式1≤|x|≤4，解得－4≤x≤－1，或1≤x≤4.∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B.故选AB.
答案 AB
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________(本题第一空2分，第二空3分).
(1)每一个矩形的对角线都互相平分；(2)有些集合无真子集；(3)能被8整除的数也能被2整除.
解析 (1)中含有全称量词“每一个”，(3)中陈述的是所有满足条件的数，所以(1)(3)是全称量词命题；(2)中含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题.
答案 (1)(3) (2)
14.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_____________________.
解析 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.
答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
15.已知命题p：?x∈R，x2－2x＋m＝0，若綈p为假命题，则实数m的取值范围为________.
解析 因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，x2－2x＋m＝0为真命题，则方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＝4－4m≥0，即m≤1.故实数m的取值范围为{m|m≤1}.
答案 {m|m≤1}
16.线段y＝－3x＋m，x∈[－1，1]在x轴下方的一个充分不必要条件是________.
解析 结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，
需
∴∴m<－3.
∴m<－4就是一个使命题成立的充分不必要条件.
答案 m∈(－∞，－4)(答案不唯一)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin
∠A＝cos
∠B.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
18.(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性.
(1)?x∈Z，|x|∈N；
(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；
(3)?x∈R，x＋1≤0；
(4)?x∈R，x2＋2x＋3＝0.
解 (1)?x∈Z，|x|?N，假命题.
(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题.
(3)?x∈R，x＋1>0，假命题.
(4)?x∈R，x2＋2x＋3≠0，真命题.
19.(本小题满分12分)已知命题p：?1≤x≤3，都有m≥x，命题q：?1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围.
解 由题意知命题p，q都是真命题.
由?1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由?1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.
20.(本小题满分12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－证明 (1)充分性：∵－∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，
且－3m>0，
∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根.
(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，
则有解得－综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－21.(本小题满分12分)若p：－2解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.
若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，
且0于是0<－a<2，0即－2所以p是q的必要不充分条件.
22.(本小题满分12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}.
(1)若a＝3，求(?RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，
?RP＝{x|x<4或x>7}，
Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以(?RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}.
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即P?Q，
即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}.章末检测卷（七）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1.已知α为第二象限角，且cos
α＝－，则tan
α的值为（ ）
A.－
B.
C.－
D.
解析 ∵α是第二象限角，∴sin
α＝＝，tan
α＝＝－.故选A.
答案 A
2.英国浪漫主义诗人Shelley（雪莱）在《西风颂》结尾写道“If
Winter
comes，can
Spring
be
far
behind？”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气.它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气.2019年12月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（ ）
A.
B.
C.－
D.－
解析 由题意可得每一等份为＝，从冬至到次年立春经历了3等份，即·3＝.
答案 A
3.设cos（α＋π）＝，那么sin（2π－α）的值为（ ）
A.－
B.－
C.
D.
解析 cos（α＋π）＝－cos
α＝，故cos
α＝－，π<α<，故sin
α＝－.sin（2π－α）＝－sin
α＝.故选C.
答案 C
4.函数y＝tan的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 函数的解析式为y＝－tan，函数有意义，则x－≠kπ＋（k∈Z），
解得x≠kπ＋（k∈Z），据此可得函数y＝tan的定义域是.故选D.
答案 D
5.下列函数中最小正周期为π的是（ ）
A.y＝tan
B.y＝sin
C.y＝|cos（－x）|
D.y＝|sin
2x|
解析 A中，函数y＝tan的最小正周期为；B中，函数y＝sin的最小正周期为2π；C中，函数y＝|cos
x|的最小正周期为π；D中，函数y＝|sin
2x|的最小正周期为.故选C.
答案 C
6.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢2），弧田是由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于2米的弧田，按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积（单位：平方米）为（ ）
A.
B.－
C.－
D.－3
解析 在圆心角为，弦长等于2米的弧田中，半径为2，圆心到弦的距离为，矢＝2－，所以弧田面积＝（弦×矢＋矢2）＝[2×（2－）＋（2－）2]＝－3，故选D.
答案 D
7.已知a＝tan，b＝tan，c＝sin，则有（ ）
A.a>b>c
B.c>b>a
C.c>a>b
D.b>c>a
解析 a＝tan＝－tan<0，b＝tan＝tan＝tanπ>0，c＝sin＝－sin<0，而＝＝>1，c＝sin＝－sin<0?a答案 D
8.为了得到y＝cos的图象，只需将函数y＝sin
2x的图象（ ）
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
解析 将函数y＝sin
2x＝cos的图象向左平移个单位，可得y＝cos＝cos的图象，故选D.
答案 D
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分）
9.下列命题中正确的是（ ）
A.若角α是第二象限角，则可能在第三象限
B.cos＋cos＝0
C.若tan
α<0且sin
α>0，则α为第二象限角
D.锐角α终边上一点坐标为P（－cos
2，sin
2），则α＝π－2
解析 对于A，角α是第二象限角，为第一象限角或第三象限角，故A正确.
对于B，cos＋cos＝－sin
α－sin
α＝－2sin
α，故B不正确.
对于C，同时满足tan
α<0且sin
α>0，则α为第二象限角，故C正确.
对于D，因为锐角α终边上一点坐标为P（－cos
2，sin
2），由三角函数定义可得tan
α＝＝－tan
2＝tan（π－2），又因为0<α<，所以α＝π－2，故D正确.
故选ACD.
答案 ACD
10.在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x正半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m<0），则下列各式的值恒大于0的是（ ）
A.
B.cos
α－sin
α
C.sin
αcos
α
D.sin
α＋cos
α
解析 由题意知sin
α<0，cos
α>0，tan
α<0.A中，>0；B中，cos
α－sin
α>0；C中，sin
αcos
α<0；D中，sin
α＋cos
α符号不确定.故选AB.
答案 AB
11.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920年左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：s＝，即等价于现在的s＝hcot
φ，我们称y＝cot
x为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（ ）
A.函数y＝cot
x的最小正周期为2π
B.函数y＝cot
x关于（π，0）对称
C.函数y＝cot
x在区间（0，π）上单调递减
D.函数y＝tan
x的图象与函数y＝cot
x的图象关于直线x＝对称
解析 y＝cot
x＝＝，画出函数图象，如图所示：
故函数的最小正周期为π，关于（π，0）对称，在区间（0，π）上单调递减.
且函数y＝tan
x的图象与函数y＝cot
x的图象不关于直线x＝对称.故选BC.
答案 BC
12.已知函数f（x）＝sin（3x＋φ）的图象关于直线x＝对称，则（ ）
A.函数f为奇函数
B.函数f（x）在上单调递增
C.若|f（x1）－f（x2）|＝2，则|x1－x2|的最小值为
D.函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝－cos
3x的图象
解析 因为直线x＝是f（x）＝sin（3x＋φ）的对称轴，
所以3·＋φ＝＋kπ（k∈Z），则φ＝－＋kπ（k∈Z），当k＝0时，φ＝－，则f（x）＝sin，对于A，f＝sin＝sin
3x，因为sin（－3x）＝－sin
3x，所以f为奇函数，故A正确；
对于B，－＋2kπ<3x－<＋2kπ（k∈Z），即－＋π3x，故D错误；故选AC.
答案 AC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13.设f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β为非零常数.若f（2
019）＝－1，则f（2
020）＝ Ｗ.
解析 因为f（2
019）＝asin（2
019π＋α）＋bcos（2
019π＋β）＝－asin
α－bcos
β＝－1，
即asin
α＋bcos
β＝1，所以f（2
020）＝asin（2
020π＋α）＋bcos（2
020π＋β）＝asin
α＋bcos
β＝1.
答案 1
14.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，0<φ<，则ω＝ ，sin
φ＝ （本题第一空2分，第二空3分）.
解析 由图知A＝2，T＝2＝π，所以ω＝＝2，f（x）＝2sin（2x＋φ），又f＝2sin（π＋φ）＝－，所以sin
φ＝.
答案 2
15.已知函数f（x）＝sin（0<ω<1）.若函数f（x）的周期是4π，则函数|f（x）|的单调递增区间为 Ｗ.
解析 函数f（x）的周期是4π，所以T＝＝4π，∴ω＝，f（x）＝sin，|f（x）|的周期为2π，由0答案
（k∈Z）
16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如图.假定在水流量稳定的情况下，半径为3
m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为
rad/min的匀速圆周运动，平面示意图如图，已知筒车中心O到水面BC的距离为2
m，初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处，且∠P0OA＝（OA∥BC），则8
min后该盛水筒到水面的距离为 m.
解析 根据题意可得8分钟后盛水桶所转过的角为·8＝，除去一圈，－2π＝，所以转8分钟之后P0所转到的位置P满足
∠POA＝＋＝，所以点P到水面的距离d＝2＋3sin＝m.
答案
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知函数f（x）＝＋.
（1）化简f（x）；
（2）若f（α）＝，求sin
αcos
α的值.
解 （1）f（x）＝＋
＝＋
＝－sin
x·＋sin
x＝sin
x－cos
x.
（2）因为f（α）＝，即sin
α－cos
α＝，所以2＝2，
整理得sin2α－2sinαcos
α＋cos2α＝，即2sin
αcos
α＝，∴sin
αcos
α＝.
18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（yP>0），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q，过Q作x轴的垂线交x轴于M.
（1）
求sin
α，tan
α；
（2）求△MOQ的面积S.
解 （1）由已知可得＋y＝1，
∵yP>0，∴yP＝，sin
α＝
，cos
α＝，
tan
α＝＝＝.
（2）因为sin
α＝
，cos
α＝；所以xQ＝cos＝－sin
α＝－.
yQ＝sin＝cos
α＝
，
所以△MOQ的面积S＝|xQ|·|yQ|＝×＝.
19.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2sin＋1.
（1）画出函数在一个周期上的图象；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x），求y＝g在上的值域.
解 （1）（五点法作图）
2x＋
0
π
2π
x
－
f
1
3
1
－1
1
（2）g（x）＝f－1＝2sin＋1－1＝2sin
2x，
则y＝g＝2sin，x∈，所以2x－∈，从而g在上的值域为[－，2].
20.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝sin
x，x∈R.现有如下两种图象变换方案：
方案1：将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度；
方案2：将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.
请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数g（x）的解析式，并解决如下问题：
（1）画出函数g（x）在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（2）请你研究函数g（x）的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.
解 方案1：将函数f（x）＝sin
x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到y＝sin
2x，再将y＝sin
2x图象向左平移个单位长度得到
y＝sin
2＝sin，
即g（x）＝sin.
方案2：将函数f（x）＝sin
x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin，再将y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到
y＝sin，即g（x）＝sin，
所以无论在何种方案下所得的函数都是
g（x）＝sin，
（1）如图是函数g（x）＝sin在[0，π]这一周期上的图象：
（2）函数g（x）＝sin定义域：R；值域：[－1，1]；周期：T＝＝π；
奇偶性：因为g（0）＝sin＝≠0，±1，所以g（x）不具有奇偶性.
单调性：令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），
解得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），
即函数在（k∈Z）上单调递增；
同理可得函数的单调递减区间为（k∈Z）.
21.（本小题满分12分）弹簧振子的振动是简谐振动.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表：
t
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
y
－20.0
－17.8
－10.1
0
10.0
17.7
20.0
17.7
10.0
0
－10.1
－17.8
－20.0
（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；
（2）画出该函数在t∈[0，0.6]的函数图象；
（3）在整个振动过程中，求位移为10
mm时t的取值集合.
解 （1）设函数解析式为y＝Asin（ωt＋φ），t≥0，
由表格可知A＝20，T＝0.6，则ω＝＝＝，
即y＝20sin，
由函数图象过点（0，－20），则－20＝20sin
φ，即sin
φ＝－1，可取φ＝－，
则这个振子的位移关于时间的函数解析式为
y＝20sin，t≥0.
（2）列表：
t
0
0.15
0.3
0.45
0.6
t－
－
0
π
y
－20
0
20
0
－20
由表格数据知y＝20sin，t∈[0，0.6]的图象所下图所示.
（3）由题意得20sin＝10，
即sin＝，
则t－＝＋2k1π，k1∈Z或t－＝＋2k2π，k2∈Z，
化简得t＝＋k1，k1∈Z或t＝＋k2，k2∈Z，
又t∈[0，0.6]，则t为0.2，0.4，
所以在整个振动过程中，位移为10
mm时t的取值集合为{0.2，0.4}.
22.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的某一周期内的对应值如下表：
X
－
f（x）
－1
1
3
1
－1
（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）的结果，若函数y＝f（nx）（n>0）的最小正周期为，当x∈时，方程f（nx）＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.
解 （1）设f（x）的最小正周期为T，则T＝－＝2π，由T＝得ω＝1.
又由解得
令ω·＋φ＝＋2kπ（k∈Z），
即＋φ＝＋2kπ（k∈Z），解得φ＝－＋2kπ（k∈Z）.
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴f（x）＝2sin＋1.
（2）∵函数y＝f（nx）＝2sin＋1的最小正周期为，且n>0，∴n＝3.
令t＝3x－，∵x∈，
∴t∈，
由2sin
t＋1＝m，得sin
t＝，y＝sin
t的图象如图.
若＝sin
t在上有两个不同的解，则∈，
即≤<1，解得＋1≤m<3，∴方程f（nx）＝m在x∈恰有两个不同的解时，m∈，故实数m的取值范围是.章末检测卷(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.等于( )
A.3
B.－3
C.±3
D.－27
解析 ＝＝－3.
答案 B
2.若＋有意义，则a的取值范围是( )
A.a≥0
B.a≥1
C.a≥2
D.a∈R
解析 ∵∴a≥1.
答案 B
3.方程2log3x＝的解是( )
A.x＝
B.x＝
C.x＝
D.x＝9
解析 ∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
答案 A
4.化简(x<0，y<0)为( )
A.2x2y
B.2xy
C.4x2y
D.－2x2y
解析 ＝|2x2y|＝－2x2y.
答案 D
5.lg－2lg＋lg＝( )
A.lg
2
B.lg
3
C.lg
4
D.lg
5
解析 原式＝lg－lg＝lg＝lg
2.
答案 A
6.若a>0，a＝，则loga＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为a＝，a>0，所以a＝＝，设loga＝x，所以＝a.所以x＝3.
答案 B
7.计算：＋3log3－lg
5＋，其结果是( )
A.－1
B.1
C.－3
D.3
解析 原式＝＋－lg
5＋＝＋－lg
5＋1－lg
2＝1.
答案 B
8.设a＝log36，b＝log520，则log215＝( )
A.
B.
C.
D.
解析 a＝log36＝1＋log32，b＝log520＝1＋log54＝1＋2log52，
∴log23＝，log25＝，
∴log215＝log23＋log25＝＋＝.
答案 D
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.下列说法不正确的为( )
A.＝a
B.若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
C.＝x＋y
D.＝
解析 A中，n为偶数时，不一定成立，故错误.B中，a2－a＋1＝＋>0，
∴(a2－a＋1)0＝1，正确.C错误.D中，左侧为负，右侧为正，不相等.
答案 ACD
10.下列运算错误的是( )
A.2log10＋log0.25＝2
B.log427·log258·log95＝
C.lg
2＋lg
50＝10
D.log(2＋)(2－)－(log2)2＝－
解析 A中，原式＝log102＋log0.25＝log25＝－2，故A错误.
B中，原式＝··＝××＝，故B错误.
C中，lg
2＋lg
50＝lg
100＝2.故C错误.
D中，原式＝log(2＋)－
＝－1－＝－.
答案 ABC
11.若ab>0，则下列等式中不正确的是( )
A.lg(ab)＝lg
a＋lg
b
B.lg＝lg
a－lg
b
C.lg＝lg
D.lg(ab)＝
解析 A，B成立的条件是a>0，b>0.D成立的前提是ab≠1.C成立.
答案 ABD
12.已知a>0，且a≠1，下列说法不正确的是( )
A.若M＝N，则logaM＝logaN
B.若logaM＝logaN，则M＝N
C.若logaM2＝logaN2，则M＝N
D.若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析 A中，当M＝N<0时无意义；B正确；C中可得M2＝N2，可能M＝－N；D中，当M＝N＝0时，不成立.
答案 ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
解析 原式＝
＝＝.
答案
14.已知2x＝10，则x－log25＝________.
解析 x＝log210，∴x－log25＝log2＝1.
答案 1
15.[(－5)4]＝________，log43·log＝________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 [(－5)4]＝5，log43·log＝·＝·＝.
答案 5
16.＝________(a>0，b>0).
解析 原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1＝.
答案
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)()－(b>0).
解 (1)原式＝＝＝＝a.
(2)原式＝＝＝＝＝＝x－.
(3)原式＝[(b－)]－＝b－××(－)＝b.
18.(本小题满分12分)(1)求值：－(－9.6)0－＋(1.5)－2＋[(－5)4]；
(2)已知a＋a－＝3，求a＋a－的值.
解 (1)原式＝－1－＋＋5
＝－1－＋＋5＝.
(2)由a＋a－＝3，得a＋a－1＝－2＝7，故a＋a－＝＋(a－)3＝(a＋a－)(a－1＋a－1)＝3×(7－1)＝18.
19.(本小题满分12分)计算下列各式的值：
(1)；
(2)log3
·log5[4log210－(3)－7log72].
解 (1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72]
＝·log5(10－3－2)
＝·log55＝－.
20.(本小题满分12分)计算：
(1)÷100；
(2)(log43)×；
(3)log2.56.25＋lg
0.01＋ln－21＋log23.
解 (1)原式＝＝＝＝.
(2)原式＝×＝×＝×＝.
(3)原式＝log2.52.52＋lg
10－2＋ln
e－2×2log23＝2＋(－2)＋－6＝－.
21.(本小题满分12分)计算：
(1)－＋＋；
(2)lg
500＋lg－lg
64＋50×(lg
2＋lg
5)2.
解 (1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
(2)原式＝lg
5＋lg
102＋lg
23－lg
5－lg
26＋50×(lg
10)2＝lg
5＋2＋3lg
2－lg
5－3lg
2＋50＝52.
22.(本小题满分12分)若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值.
解 原方程可变形为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0，设t＝lg
x，则方程变形为2t2－4t＋1＝0，设t1，t2是方程2t2－4t＋1＝0的两个实根，
则t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，
不妨令t1＝lg
a，t2＝lg
b，则lg
a＋lg
b＝2，
lg
a·lg
b＝，
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12.章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.任意角与弧度制
(1)与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.
(2)角度与弧度的互化：1°＝
rad，1
rad＝()°.
(3)弧长公式：l＝|α|r，
扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2.
2.任意角的三角函数
设任意角α的终边上任意一点P(x，y)，r＝，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(x≠0).
3.同角三角函数基本关系式
sin2α＋cos2α＝1；＝tan
α.
4.诱导公式
(1)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.
(2)功能：将k·±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用.
5.三角函数的图象
(1)正弦曲线：
(2)余弦曲线：
(3)正切曲线：
6.三角函数的性质(表中k∈Z)
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
定义域
R
R
{x|x∈R，且x≠＋kπ}
单调性
增区间：[－＋2kπ，＋2kπ]，减区间：[＋2kπ，＋2kπ]
增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，减区间：[2kπ，π＋2kπ]
增区间：(－＋kπ，＋kπ)
周期性
2π
2π
π
图象的对称轴
x＝＋kπ
x＝kπ
无
图象的对称中心
(kπ，0)
(＋kπ，0)
(kπ，0)
7.图象的变换
要点一 任意角三角函数的定义
利用定义求三角函数值的两种方法：
（1）先由射线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.
（2）取角α的终边上任意一点P（a，b）（原点除外），则对应的角α的正弦值sin
α＝，余弦值cos
α＝，正切值tan
α＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【例1】 已知角α的终边经过点P（3m－9，m＋2）.
（1）若m＝2，求5sin
α＋3tan
α的值；
（2）若cos
α≤0，且sin
α>0，求实数m的取值范围.
解 （1）若m＝2，则P（－3，4），
所以x＝－3，y＝4，r＝5，
所以sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－，
故5sin
α＋3tan
α＝5×＋3×＝4－4＝0.
（2）由题意知，cos
α＝≤0，sin
α＝>0，
即x≤0，y>0，
所以
所以－2【训练1】 已知角α的终边过点P（－8m，－6sin
30°），且cos
α＝－，则m的值为（ ）
A.－
B.
C.－
D.
解析 由题意知P（－8m，－3）且cos
α＝－，∴r＝，∴cos
α＝＝－，且m>0，∴m2＝，∴m＝.故选B.
答案 B
要点二 同角三角函数基本关系式的应用
同角三角函数基本关系式的应用方法
（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现α的正弦、余弦的转化，利用＝tan
α可以实现角α弦切互化.
（2）关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，（sin
α＋cos
α）2＝（sin
α－cos
α）2＋4sin
αcos
α.
（3）sin
α，cos
α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin
α，cos
α的齐次式或含有sin2α，cos2α及sin
αcos
α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.
【例2】 已知α是三角形的内角，且sin
α＋cos
α＝.
（1）求tan
α的值；
（2）把用tan
α表示出来，并求其值.
解 （1）由sin
α＋cos
α＝，
得1＋2sin
αcos
α＝，
所以sin
αcos
α＝－，
因为α是三角形的内角，所以sin
α>0，cos
α<0，
∴sin
α－cos
α＝
＝
＝＝，
故得sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－.
（2）＝＝，
又tan
α＝－，
所以＝＝－.
【训练2】 若tan
α＝－，求下列各式的值.
（1）；（2）sin2α＋2sin
αcos
α.
解 （1）原式＝＝＝.
（2）原式＝＝
＝＝－.
要点三 诱导公式的应用
用诱导公式化简求值的方法
（1）对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，±α，π±α（或k·±α，k∈Z）的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简.
（2）解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用.
【例3】 已知π<α<2π，cos（α－7π）＝－，求sin（3π＋α）·tan的值.
解 ∵cos（α－7π）＝cos（7π－α）
＝cos（π－α）＝－cos
α＝－，
∴cos
α＝.∴sin（3π＋α）·tan
＝sin（π＋α）·＝sin
α·tan
＝sin
α·＝sin
α·＝cos
α＝.
【训练3】 已知α是第三象限角，f（α）＝
.
（1）化简f（α）；
（2）已知f（α）＝－，求cos
α－sin
α的值.
解 （1）f（α）＝
＝＝－tan
α.
（2）由（1）f（α）＝－tan
α＝－，tan
α＝，
∵α是第三象限角，∴α＝（2k＋1）π＋，k∈Z，
则sin
α＝sin＝－sin＝－，
cos
α＝cos＝－cos＝－，∴cos
α－sin
α＝.
要点四 三角函数的图象与性质
1.三角函数的周期性：函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.
2.三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin
ωx或y＝Atan
ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos
ωx＋B的形式.
3.求三角函数值域（最值）的方法
（1）利用sin
x，cos
x的有界性.
（2）从y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域.
（3）换元法：把sin
x或cos
x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题.
特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误.
4.求三角函数的单调区间
求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin
x，余弦函数y＝cos
x的单调递增（减）区间对应解出x，即得所求的单调递增（减）区间.
【例4】 已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）图象的一个对称中心为，其图象上相邻两个最高点间的距离为π.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用“五点法”在给定的坐标系中作出函数f（x）在区间内的图象，并写出函数f（x）的单调递减区间.
解 （1）因为图象上相邻两个最高点间的距离为π，所以T＝π，所以ω＝2.
因为函数图象的一个对称中心为，
所以f＝2sin＝0，
所以＋φ＝kπ（k∈Z），
所以φ＝kπ－（k∈Z）.
又因为|φ|<，所以φ＝，所以f（x）＝2sin.
（2）列表，作图如下：
2x＋
0
π
2π
X
－
f（x）
0
2
0
－2
0
由图得递减区间为（k∈Z）.
【训练4】 已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点间的连线与x轴交于点（π，0），φ∈（－，）.
（1）求这条曲线的函数解析式；
（2）求函数的单调递增区间.
解 （1）依题意知，A＝，T＝π－＝π，T＝4π，
∴ω＝＝，
由·＋φ＝2kπ＋（k∈Z）得：
φ＝2kπ＋（k∈Z），又φ∈（－，），∴φ＝，
∴这条曲线的函数解析式为y＝sin（x＋）.
（2）由2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z）得：
4kπ－≤x≤4kπ＋（k∈Z），
∴函数的单调递增区间是[4kπ－，4kπ＋]（k∈Z）.
要点五 三角函数图象的变换
由函数y＝sin
x的图象通过变换得到函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的两种方法
【例5】 设f（x）＝4sin＋.
（1）求f（x）在上的最大值和最小值；
（2）把y＝f（x）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间.
解 （1）当x∈时，2x－∈.
当x＝0时，函数f（x）有最小值，
f（x）min＝f（0）＝4sin＋＝－，
当x＝时，函数f（x）有最大值，
f（x）min＝f＝4sin＋＝4＋.
（2）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝4sin＋的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，
得到y＝4sin＋的图象，
所以g（x）＝4sin＋.
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
所以函数g（x）的单调递减区间为，k∈Z.
【训练5】 如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，x∈R）在区间上的图象.为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin
x（x∈R）的图象上所有的点（ ）
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"S++133.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
解析 由图象知A＝1，T＝－＝π，所以ω＝＝2.所以f（x）＝sin（2x＋φ），又图象过点，由五点法知＋φ＝π，所以φ＝，所以y＝sin.
故将函数y＝sin
x的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得函数y＝sin的图象.故选A.
答案 A章末检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.>
B.>1
C.a2D.ab解析 利用特值法，令a＝－2，b＝2.
则<，A错误；<0，B错误；
a2＝b2，C错误；ab答案 D
2.不等式<的解集是( )
A.{x|x<2}
B.{x|x>2}
C.{x|0D.{x|x<0或x>2}
解析 由<，得－＝<0，
即x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D.
答案 D
3.如果二次函数y＝x2－(k＋1)x＋k＋4有两个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A.(－∞，－3)∪(5，＋∞)
B.(－∞，－5)∪(3，＋∞)
C.(－3，5)
D.(－5，3)
解析 由Δ＝(k＋1)2－4(k＋4)>0得k2－2k－15>0，
∴k>5或k<－3.
答案 A
4.已知a>0，b>0，且满足＋＝1，则ab的最大值是( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析 因为a>0，b>0，且满足＋＝1，
所以1≥2，化为ab≤3，当且仅当a＝，b＝2时取等号，则ab的最大值是3.
答案 B
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.aB.v＝
C.D.v＝
解析 设甲、乙两地的距离为s，
则v＝＝.
由于aa，
又＋>2，∴v<.
故a答案 A
6.已知a>0，b>0，＋＝1，若不等式2a＋b≥3m恒成立，则m的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.7
解析 ∵2a＋b＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋4＝9(当且仅当a＝b时，取等号).∴3m≤9，即m≤3.
答案 C
7.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A.m>
B.m<
C.m<1
D.m>1
解析 ∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，
又∵m>?Δ＝1－4m<0，
所以“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件，故选A.
答案 A
8.设实数1A.{x|3aB.{x|a2＋2C.{x|3D.{x|3解析 由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)·(x－a2－2)<0，∵1a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为{x|a2＋2答案 B
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.若<<0，则下列不等式中，正确的不等式有( )
A.a＋bB.|a|>|b|
C.aD.＋>2
解析 ∵<<0，∴b－a>0，则|b|>|a|，故B错误；C显然错误；由于>0，>0，∴＋>2＝2，故D正确.故选AD.
答案 AD
10.已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则( )
A.a＝2
B.a＝1
C.b＝5
D.b＝1
解析 y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y≥2－5＝2×3－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
此时a＝2，b＝1.
答案 AD
11.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是( )
A.ab≤1
B.＋≤
C.a2＋b2≥2
D.＋≥2
解析 因为ab≤＝1，所以A正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故B不正确；a2＋b2≥＝2，所以C正确；＋＝＝≥2，所以D正确.
答案 ACD
12.下列命题是假命题的是( )
A.不等式>1的解集为{x|x<1}
B.函数y＝x2－2x－8的零点是(－2，0)和(4，0)
C.若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2
D.x2－3x＋2<0是x<2成立的充分不必要条件
解析 由>1得<0，∴解集为(0，1)，故A错误；二次函数的零点是指其图象与x轴交点的横坐标，应为－2和4，故B错误；C
中，≥2，故y＝＋≥2.等号成立的条件为x2＋4＝1，无解，故C错误；D中，由x2－3x＋2<0得1答案 ABC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________.
解析 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.
答案 (－∞，1]∪[9，＋∞)
14.已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，则实数m的取值范围是________.
解析 要满足y＝x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，
只需即
解得－答案
15.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨，和最小值为________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则y＝·4＋4x＝＋4x≥2＝160(万元)，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.
答案 20 160
16.若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是________.
解析 依题意有
解得m>4.
答案 (4，＋∞)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)当x>3时，求的最小值.
解 ∵x>3，∴x－3>0.
∴＝
＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝，
即x＝6时，等号成立，
∴的最小值为24.
18.(本小题满分12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解 (1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴
解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，
即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式的解集为R，
则b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
19.(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解 (1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，
则解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，原不等式的解集为{x|2②当c<2时，原不等式的解集为{x|c③当c＝2时，原不等式无解.
综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2当c<2时，原不等式的解集为{x|c当c＝2时，原不等式的解集为?.
20.(本小题满分12分)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2
000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
解 (1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1
000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
(2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x>25时，a≥＋＋有解.
由于＋≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立.
所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
21.(本小题满分12分)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立.
证明 因为a，b，c均为正数，
所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋
≥ab＋bc＋ac＋＋＋＝＋＋≥6.③
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，
当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立.故当且仅当a＝b＝c＝时，原不等式等号成立.
所以原不等式成立.
22.(本小题满分12分)已知不等式>0(a∈R).
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若当x＝－a时不等式成立，求a的取值范围.
解 (1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1.
②当a>0时，不等式可化为
(x＋1)>0，
解得x<－1或x>.
③当a<0时，不等式可化为(x＋1)<0.
若<－1，即－1则若＝－1，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若>－1，即a<－1，则－1综上所述，当a<－1时，
不等式的解集为；
当a＝－1时，不等式解集为?；
当－1当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；
当a>0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪.
(2)∵当x＝－a时不等式成立，
∴>0，
即－a＋1<0，
∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).章末检测卷(六)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)
1.下列函数中，在区间(0，1)上为增函数的是( )
A.y＝2x2－x＋3
B.y＝
C.y＝x
D.y＝logx
解析 对于y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数.
答案 C
2.函数y＝的定义域为( )
A.[1，＋∞)
B.(1，＋∞)
C.
D.
解析 要使函数有意义，需满足
∴∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞).
答案 A
3.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.b>c>a
解析 ∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.
答案 A
4.函数f(x)＝lg(－1A.(－1，1)
B.(0，0)
C.(1，－1)
D.(1，1)
解析 ∵f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
又－1∴f(x)＝lg的图象关于(0，0)对称.
答案 B
5.已知函数f(x)＝log2|ax－2|(a≠0)的图象关于直线x＝2对称，则函数f(x)图象的大致形状为( )
解析 因为函数f(x)＝log2|ax－2|(a≠0)的图象关于直线x＝2对称，所以f(0)＝f(4)，即log2|0－2|＝log2|4a－2|，得a＝1，所以f(x)＝log2|x－2|，易知f(x)＝log2|x－2|在(2，＋∞)上单调递增，从而排除B，D.又当x＝2时，函数f(x)无意义，所以排除C，故选A.
答案 A
6.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
A.f>f(2－)>f(2－)
B.f>f(2－)>f(2－)
C.f(2－)>f(2－)>f
D.f(2－)>f(2－)>f
解析 因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34).
又因为log34>1>2－>2－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，
所以f(log34)答案 C
7.已知指数函数y＝，当x∈(0，＋∞)时，有y>1，则关于x的不等式loga(x－1)≤loga(6－x)的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵y＝在x∈(0，＋∞)时，有y>1，
∴>1，∴0于是由loga(x－1)≤loga(6－x)，
得解得≤x<6，
∴原不等式的解集为.故选D.
答案 D
8.设a>1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.(2，＋∞)
B.[2，＋∞)
C.(4，＋∞)
D.[4，＋∞)
解析 设u＝ax2－x，由题意知u＝ax2－x在上是增函数，则有≤，即a≥1，于是a>1.
又y＝logau是对数函数，故u＝ax2－x在上恒大于零，即ax2－x>0，∴a>在上恒成立，则a>2.综上知a>2.
答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)
9.若loga2A.0B.0C.a>b>1
D.0解析 若loga2与logb2同号，则由loga2则01，∴D正确.
答案 BCD
10.设函数y＝ln(x2－x＋1)，则下列命题中正确的是( )
A.函数的定义域为R
B.函数是增函数
C.函数的图象关于直线x＝对称
D.函数的值域是
解析 由x2－x＋1＝＋>0恒成立，故A正确，函数在上是减函数，在上是增函数，故B错误.
由x2－x＋1＝＋≥，可知函数的值域为，且函数关于x＝对称.
答案 ACD
11.已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足( )
A.f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)
B.f(－2)C.f(2x)＝2f(x)g(x)
D.[f(x)]2－[g(x)]2＝1
解析 f(－x)＝＝－＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，故A正确；
f(x)为增函数，则f(－2)g(－2)，故B正确；
2f(x)·g(x)＝2×·＝2×＝f(2x)，故C正确；
[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]＝ex·(－e－x)＝－1，故D错误.
答案 ABC
12.给出下列结论，其中正确的是( )
A.函数y＝的最大值为
B.已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在(0，1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1，2)
C.在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称
D.函数y＝x－在(－∞，0)上是增函数
解析 A中，－x2＋1≤1，∴y＝的最小值为.故A错误；
由y＝loga(2－ax)在(0，1)上是减函数，则∴1C中，y＝2x与y＝log2x互为反函数，图象关于y＝x对称.D中，函数y＝x－是偶函数，且在(0，＋∞)上递减，所以在(－∞，0)上是增函数.C、D正确.
答案 CD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)偶函数；
(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；
(3)在(－∞，0)上是增函数.
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号).
解析 对于函数①f(x)＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上是减函数，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上是增函数，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件.
答案 ②
14.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.
解析 当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.
答案 [0，＋∞)
15.已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________.
解析 因为要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)时，恒有f(x)≥0，所以有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)时恒成立，即2x≥b＋1在x∈[1，＋∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b＋1成立即可，解得b≤1.
答案 (－∞，1]
16.已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________；若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________(本题第一空2分，第二空3分).
解析 f(f(3))＝f(log3)＝f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，
即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝
的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
答案 －2 ∪
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝＋的定义域为A.
(1)求集合A；
(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.
解 (1)要使f(x)有意义，需满足所以
所以≤x≤4，所以集合A＝.
(2)设t＝log2x，因为x∈，所以t∈[－1，2]，
所以y＝t2－2t－1，t∈[－1，2].
因为y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2的对称轴为t＝1∈[－1，2]，
所以当t＝1时，y有最小值－2.
所以当t＝－1时，y有最大值2.
所以当x＝2时，g(x)的最小值为－2.
当x＝时，g(x)的最大值为2.
18.(本小题满分12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点.
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小.
解 (1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，∴g(x)＝logax，由g(x)过点，
所以loga2＝，所以a＝2，解得a＝2.
所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x.
(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，g(0.2)＝log20.2<0，
又g(1.5)＝log21.5且g(1.5)＝1og21.5>log21＝0，
所以0所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2).
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)试确定函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的不等式＋－m≥0在区间(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)把(1，6)，(3，24)代入f(x)＝b·ax，得结合a>0，且a≠1，解得∴f(x)＝3×2x.
(2)要使＋≥m在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝＋在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.
∵函数y＝＋在区间(－∞，1]上单调递减，
∴当x＝1时，y＝＋取得最小值，
∴只需m≤即可.
即实数m的取值范围为.
20.(本小题满分12分)函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)若函数y＝f(x)的最小值为－2，求a的值.
解 要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]
＝log(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4].
∵－3∵0由loga4＝－2，得a－2＝4，∴a＝4－＝.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)当x∈(0，1]时，t·f(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围.
解 (1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝＝0，解得a＝2.
∴f(x)＝，经检验，f(x)为奇函数.
(2)由(1)得f(x)＝＝＝1－.
又∵2x>0，∴2x＋1>1，∴0<<2，
∴－1<1－<1，∴函数f(x)的值域为(－1，1).
(3)由(1)可得f(x)＝，当00，
∴当0令m＝2x－1，0易知y＝m－＋1在m∈(0，1]上单调递增，
∴当m＝1时y有最大值0，∴t≥0，
故t的取值范围是[0，＋∞).
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x).
(1)求函数f(x)的定义域，并证明f(x)是定义域上的奇函数；
(2)用定义证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)求不等式f(2x－5)＋f(2－x)<0的解集.
(1)解 由对数函数的定义得得
即－1∴函数f(x)的定义域为(－1，1).
∵f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)＝－f(x)，
∴f(x)是定义域上的奇函数.
(2)证明 设－1则f(x1)－f(x2)＝lg(1＋x1)－lg(1－x1)－lg(1＋x2)＋lg(1－x2)＝lg.
∵－10<1－x2<1－x1，
于是0<<1，0<<1，
则0<<1，∴lg<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)是(－1，1)上的增函数.
(3)解 ∵f(x)在(－1，1)上是增函数且为奇函数，
∴不等式f(2x－5)＋f(2－x)<0可转化为f(2x－5)<－f(2－x)＝f(x－2)，∴
解得2(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)＝＋的定义域是( )
A.[－1，＋∞)
B.(－∞，0)∪(0，＋∞)
C.[－1，0)∪(0，＋∞)
D.R
解析 解得－1≤x<0或x>0，区间表示为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选C.
答案 C
2.下列函数中与函数y＝x(x≥0)有相同图象的一个是( )
A.y＝
B.y＝()2
C.y＝
D.y＝
解析 y＝＝|x|，x∈R；y＝()2＝x，x≥0；y＝＝x，x∈R；y＝＝，x>0，所以选B.
答案 B
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
A.(－3，－1)∪(1，4)
B.(－5，－3)∪(－1，1)
C.(－3，－1)，(1，4)
D.(－5，－3)，(－1，1)
解析 在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4).
答案 C
4.已知函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，则y＝f(x)的单调增区间是( )
A.(－1，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.(2，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以对称轴为直线x＝＝0，解得m＝0.所以f(x)＝x2＋1，所以y＝f(x)的单调增区间是(0，＋∞).
答案 B
5.已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A.x＋1
B.2x－1
C.－x＋1
D.x＋1或－x－1
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝x＋2，
∴∴故选A.
答案 A
6.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A.[－4，0)
B.(－∞，－2]
C.[－4，－2]
D.(－∞，0)
解析 ∵f(x)在R上为增函数，
∴需满足
即－4≤a≤－2，故选C.
答案 C
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝x2＋2x，若f(3－2a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－∞，1)
C.(－1，＋∞)
D.(1，＋∞)
解析 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x是增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以由f(3－2a)>f(a)得3－2a>a，解得a<1.
答案 B
8.二次函数f(x)＝ax2＋2a(a≠0)是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为( )
A.gB.g(0)C.gD.g(3)解析 由题意得解得a＝1，
所以f(x)＝x2＋2，
所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.
因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以g(0)＝g(2).
又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以g所以g答案 A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9.下列说法中正确的有( )
A.若x1，x2∈I，对任意的x1B.函数y＝x2在R上是减函数
C.函数y＝－在定义域上是增函数
D.y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
解析 对于B，在(－∞，0]上是减函数；对于C，在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f(－3)>f(5)，故不正确.
答案 AD
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最大值为
B.f(x)在(－1，0)上是增函数
C.f(x)>0的解集为(－1，1)
D.f(x)＋2x≥0的解集为[0，3]
解析 x≥0时，f(x)＝x－x2＝－＋，
∴f(x)的最大值为，A正确；f(x)在上是减函数，B错误；f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，x<0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确.故选AD.
答案 AD
11.已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](aA.有最大值4
B.有最小值－4
C.有最大值3
D.有最小值－3
解析 法一 根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，故选BC.
法二 当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，∴－4≤f(x)≤3，
即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，
故选BC.
答案 BC
12.已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A.(－∞，－1)
B.(－3，－1)
C.(0，1)
D.(1，3)
解析 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2，3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，
所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1
＝
且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，
所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1).故选BC.
答案 BC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.
解析 设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，
则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，
于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，
所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
答案 －10
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2，则函数f(x)＝________，f(－4)＝________(本题第一空3分，第二空2分).
解析 令x<0，则－x>0，∵x>0时，f(x)＝x2＋2，
∴f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2，
又f(x)为定义在R上的奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2.
当x＝0时，f(x)＝0.
∴f(x)＝
∴f(－4)＝－(－4)2－2＝－18.
答案 －18
15.函数y＝f(x)在(－2，2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________.
解析 由题意知解得答案
16.已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________.
解析 当x>1时，f(x)＝x2是增函数，若f(x)是R上的增函数，则f(x)＝x－1在(－∞，1]上是增函数，且满足×1－1≤12，因此解得4≤a<8.
答案 [4，8)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝
(1)求f(－1)，f，f(4)的值；
(2)求函数的定义域、值域.
解 (1)易知f(－1)＝0，f＝－×＝－，f(4)＝3.
(2)作出图象如图所示.利用数形结合易知f(x)的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}.
18.(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2.
(1)求f(x)；
(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值.
解 (1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，
由于f(f(x))＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，
故解得故f(x)＝－3x＋1.
(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，
故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，
当－1当a>5时，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1，
综上，ymax＝
19.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，F(x)＝
(1)若F(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.
解 (1)由已知可知：
解得
则F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，则g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
则g(x)的对称轴为x＝.
由于g(x)在[－2，2]上是单调函数，
故≤－2或≥2，即k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
设任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1，x2∈[1，＋∞)，x11，2x1x2－1>0，x1－x2<0，
所以<0，即f(x1)即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为
f(1)＝1＋＋2＝.
(2)因为f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立.
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).
21.(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)如图已画出函数y＝f(x)在y轴左侧的图象，请补充完整函数y＝f(x)的图象，并根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；
(2)写出函数y＝f(x)的解析式和值域；
(3)若函数y＝f(x)在[a，b](a解 (1)根据偶函数图象关于y轴对称的特点，可知函数y＝f(x)的图象如图所示.
由图象可知函数的单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞).
(2)设x>0，则－x<0，f(－x)＝x2－2x.
∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)＝x2－2x，
∴f(x)＝值域为{y|y≥－1}.
(3)若f(x)＝3，则x＝－3或x＝3.
又f(－1)＝f(1)＝－1，
结合图象可知，当a＝－3，－1≤b≤3时，
函数值域为[－1，3].此时2≤b－a≤6.
当b＝3，－3≤a≤1时，函数值域为[－1，3].
此时，2≤b－a≤6，综上2≤b－a≤6.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解 (1)由题意，得
∴(经检验符合题意)，故f(x)＝.
(2)任取x1，x2∈(－1，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq
\f(x1,1＋x)－eq
\f(x2,1＋x)
＝eq
\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（1＋x）（1＋x）).∵－1∴x1－x2<0，1＋x>0，1＋x>0.
又－10.
∴eq
\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（1＋x）（1＋x）)<0，即f(x1)∴f(x)在(－1，1)上是增函数.
(3)由(2)知f(x)在(－1，1)上是增函数，又f(x)在(－1，1)上为奇函数，∴f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，
∴解得0∴不等式的解集为{t|0章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.任意角与弧度制
(1)与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.
2.任意角的三角函数
3.同角三角函数基本关系式
4.诱导公式
5.三角函数的图象
(1)正弦曲线：
(2)余弦曲线：
(3)正切曲线：
6.三角函数的性质(表中k∈Z)
7.图象的变换
要点一 任意角三角函数的定义
利用定义求三角函数值的两种方法：
（1）先由射线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.
【例1】 已知角α的终边经过点P（3m－9，m＋2）.
（1）若m＝2，求5sin
α＋3tan
α的值；
（2）若cos
α≤0，且sin
α>0，求实数m的取值范围.
解 （1）若m＝2，则P（－3，4），
所以x＝－3，y＝4，r＝5，
所以－2答案 B
要点二 同角三角函数基本关系式的应用
因为α是三角形的内角，所以sin
α>0，cos
α<0，
要点三 诱导公式的应用
要点四 三角函数的图象与性质
3.求三角函数值域（最值）的方法
（1）利用sin
x，cos
x的有界性.
（2）从y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域.
（3）换元法：把sin
x或cos
x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题.
特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误.
4.求三角函数的单调区间
求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin
x，余弦函数y＝cos
x的单调递增（减）区间对应解出x，即得所求的单调递增（减）区间.
（2）列表，作图如下：
要点五 三角函数图象的变换
由函数y＝sin
x的图象通过变换得到函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的两种方法
当x＝0时，函数f（x）有最小值，
答案 A