(共28张PPT)
4.2 对 数
4.2.1 对数的概念
课标要求
素养要求
1.理解对数的概念.
2.知道自然对数和常用对数.
3.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.
2.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养.
新知探究
2002年我国GDP为a亿元，如果每年平均增长8%.那么经过多少年GDP是2002年的2倍？.
问题 假设经过x年，会列出怎样的关系式？如何求解？
提示 (1＋8%)x＝2?x＝log1.082.
1.对数的概念
如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么称b是以a为底N的对数.记作_________，其中a叫作对数的______，N叫做______.
logaN＝b
底数
真数
2.常用对数与自然对数
通常，我们将以10为底的对数叫做__________，并把log10N记为________.另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718
28…为底数的对数，以e为底的对数称为__________，并把logeN记为_______.
常用对数
lg
N
自然对数
ln
N
拓展深化
[微判断]
1.根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(
)
提示 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.
2.对数式log32与log23的意义一样.(
)
提示 log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以错误.
×
×
×
[微训练]
1.logaa＝________，loga1＝________(a>0，a≠1).
答案 1 0
2.若logx8＝3，则x＝________.
解析 由指对互化知x3＝8，所以x＝2.
答案 2
3.lg
100＝________，若ln
x＝1，则x＝________.
答案 2 e
[微思考]
任何一个指数式都可以化为对数式吗？
提示 不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.
题型一 对数的概念
【例1】 (多选题)下列说法正确的是( )
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以10为底的对数叫做常用对数
D.以e为底的对数叫做自然对数
解析 ①③④正确，②不正确，任何一个底大于零且不等于1的指数式都可以化为对数式，这是对数的定义，如(－5)2＝25就不能写成log(－5)25＝2.
答案 ACD
规律方法 在对数式b＝logaN中，b叫做以a为底N的对数，底数a>0，a≠1，真数N>0.
【训练1】 在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________.
答案 (2，3)∪(3，4)
题型二 指数式与对数式的互化
【例2】 将下列指数式与对数式互化：
(2)log10100＝2，即lg
100＝2.
(3)loge16＝a，即ln
16＝a.
(5)32＝9.
(6)xz＝y.
规律方法 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【训练2】 将下列指数式、对数式互化：
解 (1)因为43＝64，所以log464＝3；
(2)因为ln
a＝b，所以eb＝a；
(4)因为lg
1
000＝3，所以103＝1
000.
题型三 利用对数式与指数式关系求值
【例3】 求下列各式中x的值.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln
e2＝x，得－x＝ln
e2，即e－x＝e2.所以x＝－2.
所以x＝1.
规律方法 对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
【训练3】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.
(4)由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，所以x＝32，即x＝9.
一、素养落地
1.通过学习对数、常用对数、自然对数的概念，提升数学抽象素养.通过运用对数的结论求简单的对数值，提升数学运算素养.
2.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
3.在关系式ax＝N(a>0且a≠1，N>0)中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
二、素养训练
答案 B
2.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
答案 B
3.已知logx16＝2，则x＝________.
解析 化为指数式为x2＝16，∴x＝±4，又x>0，且x≠1，∴x＝4.
答案 4
4.方程lg(2x－3)＝1的解为________.
5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(4)由ln
10＝x可得ex＝10.4.2.1 对数的概念
课标要求
素养要求
1.理解对数的概念.2.知道自然对数和常用对数.3.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.2.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养.
新知探究
2002年我国GDP为a亿元，如果每年平均增长8%.那么经过多少年GDP是2002年的2倍？.
问题 假设经过x年，会列出怎样的关系式？如何求解？
提示 (1＋8%)x＝2?x＝log1.082.
1.对数的概念
如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么称b是以a为底N的对数.记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫做真数.
2.常用对数与自然对数
通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N.另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718
28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N.
拓展深化
[微判断]
1.根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(×)
提示 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.
2.对数式log32与log23的意义一样.(×)
提示 log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以错误.
3.若ln
N＝，则N＝.(×)
提示 ln
N＝，则N＝e.
[微训练]
1.logaa＝________，loga1＝________(a>0，a≠1).
答案 1 0
2.若logx8＝3，则x＝________.
解析 由指对互化知x3＝8，所以x＝2.
答案 2
3.lg
100＝________，若ln
x＝1，则x＝________.
答案 2 e
[微思考]
任何一个指数式都可以化为对数式吗？
提示 不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.
题型一 对数的概念
【例1】 (多选题)下列说法正确的是( )
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以10为底的对数叫做常用对数
D.以e为底的对数叫做自然对数
解析 ①③④正确，②不正确，任何一个底大于零且不等于1的指数式都可以化为对数式，这是对数的定义，如(－5)2＝25就不能写成log(－5)25＝2.
答案 ACD
规律方法 在对数式b＝logaN中，b叫做以a为底N的对数，底数a>0，a≠1，真数N>0.
【训练1】 在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________.
解析 由题意可知解得2
答案 (2，3)∪(3，4)
题型二 指数式与对数式的互化
【例2】 将下列指数式与对数式互化：
(1)2－2＝；(2)102＝100；
(3)ea＝16；(4)64－＝；
(5)log39＝2；(6)logxy＝z(x>0且x≠1，y>0).
解 (1)log2＝－2.
(2)log10100＝2，即lg
100＝2.
(3)loge16＝a，即ln
16＝a.
(4)log64＝－.
(5)32＝9.
(6)xz＝y.
规律方法 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【训练2】 将下列指数式、对数式互化：
(1)43＝64；(2)ln
a＝b；(3)＝n；(4)lg
1
000＝3.
解 (1)因为43＝64，所以log464＝3；
(2)因为ln
a＝b，所以eb＝a；
(3)因为＝n，所以logn＝m；
(4)因为lg
1
000＝3，所以103＝1
000.
题型三 利用对数式与指数式关系求值
【例3】 求下列各式中x的值.
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg
100＝x；
(4)－ln
e2＝x；(5)log(－1)＝x.
解 (1)x＝64－＝(43)－＝4－2＝.
(2)因为x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln
e2＝x，得－x＝ln
e2，即e－x＝e2.所以x＝－2.
(5)因为log(－1)＝x，
所以(－1)x＝＝
＝＝－1，
所以x＝1.
规律方法 对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
【训练3】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值.
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；
(3)log5x2＝2；(4)2log3x＝4.
解 (1)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.
(4)由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，所以x＝32，即x＝9.
一、素养落地
1.通过学习对数、常用对数、自然对数的概念，提升数学抽象素养.通过运用对数的结论求简单的对数值，提升数学运算素养.
2.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
3.在关系式ax＝N(a>0且a≠1，N>0)中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
二、素养训练
1.将＝9写成对数式，正确的是( )
A.log9＝－2
B.log9＝－2
C.log(－2)＝9
D.log9(－2)＝
解析 根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.
答案 B
2.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A.a>且a≠1
B.0C.a>0且a≠1
D.a<
解析 由题意知解得0答案 B
3.已知logx16＝2，则x＝________.
解析 化为指数式为x2＝16，∴x＝±4，又x>0，且x≠1，∴x＝4.
答案 4
4.方程lg(2x－3)＝1的解为________.
解析 由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝.
答案
5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)2－3＝；(2)＝b；(3)lg
＝－3；
(4)ln
10＝x.
解 (1)由2－3＝可得log2＝－3；
(2)由＝b得logb＝a；
(3)由lg
＝－3可得10－3＝；
(4)由ln
10＝x可得ex＝10.
基础达标
一、选择题
1.如果a＝b2(b>0，b≠1)，则有( )
A.log2a＝b
B.log2b＝a
C.logba＝2
D.logb2＝a
解析 指数式b2＝a化为对数式2＝logba.
答案 C
2.ln等于( )
A.0
B.
C.1
D.2
解析 ＝e，所以ln
e＝.
答案 B
3.设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析 3a－b＝3a÷3b＝3log310÷3log37＝10÷7＝.
答案 A
4.已知log2x＝3，则x－等于( )
A.
B.
C.
D.
解析 因为log2x＝3，
所以x＝23＝8.
所以x－＝8－＝＝，故选D.
答案 D
5.有以下四个结论：①lg(lg
10)＝0；②ln(ln
e)＝0；③若10＝lg
x，则x＝10；④若e＝ln
x，则x＝e2.其中正确的是( )
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
解析 lg(lg
10)＝lg
1＝0，ln(ln
e)＝ln
1＝0，故①②正确；若10＝lg
x，则x＝1010，故③错误；若e＝ln
x，则x＝ee，故④错误.
答案 C
二、填空题
6.log81＝________.
解析 设log81＝t，则()t＝81，3＝34，＝4，t＝8.
答案 8
7.已知log7[log3(log4x)]＝0，那么x－＝________.
解析 ∵log7[log3(log4x)]＝0，∴log3(log4x)＝1，
∴log4x＝3，∴43＝x，
∴x－＝(43)－＝(26)－＝2－3＝.
答案
8.方程3log2x＝的解是________.
解析 ∵3log2x＝3－3，∴log2x＝－3，x＝2－3＝.
答案
三、解答题
9.将下列指数式、对数式互化.
(1)35＝243；(2)2－5＝；
(3)log81＝－4；(4)log2128＝7.
解 (1)log3243＝5；(2)log2＝－5；(3)＝81；
(4)27＝128.
10.求下列各式中的x的值.
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27.
解 (1)由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得2－＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，
即x＝(3＋2)－＝－1.
(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.∴x＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，
即33x＝3－2，则3x＝－2，所以x＝－.
能力提升
11.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有( )
A.e0＝1与ln
1＝0
B.log39＝2与9＝3
C.8－＝与log8＝－
D.log77＝1与71＝7
解析 log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误；A，C，D正确.
答案 ACD
12.求下列各式中的x的值.
(1)log5(log2x)＝1；
(2)log(＋1)＝x.
解 (1)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.
(2)＝＝＋1，所以log(＋1)＝log(＋1)(＋1)＝1.∴x＝1.
创新猜想
13.(多选题)下列结论正确的是( )
A.lg(lg10)＝0
B.若10＝lg
x，则x＝10
C.若e＝ln
x，则x＝e2
D.使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是(1，2)∪(2，＋∞)
解析 lg(lg
10)＝lg
1＝0，故A正确；若10＝lg
x，则x＝1010，故B错误；若e＝ln
x，则x＝ee，故C错误；
使log(x－1)(x＋2)有意义，需
∴∴D正确.
答案 AD
14.(多空题)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝0，则x＝________，y＝________.
解析 log2(log3x)＝0，∴log3x＝1，∴x＝3.log3(log4y)＝0，∴log4y＝1，∴y＝4.
答案 3 4